Dự kiến thực nghiệm

Câu 4. Lời giải thích sau về phân số tối giản là đúng hay sai? “



3

là phân số

5



tối giản vì 3 và 5 không còn ước chung.”

Giải thích sự lựa chọn của em?

CÂU HỎI THỰC NGHIỆM Ở LỚP 10

Câu 1. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003

Câu 2. Tìm ƯCLN của các cặp số sau trình bày rõ các bước tính cần thiết

a. (18; 36)



b) (32; 45)



c) (1 365; 1 768)



Câu 3. Tìm BCNN(840; 180) và trình bày rõ các bước tính cần thiết

Câu 4. Lời giải thích sau về phân số tối giản là đúng hay sai? “



3

là phân số

5



tối giản vì 3 và 5 không còn ước chung.”

Giải thích sự lựa chọn của em?

Câu 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 36x2y3 + 60xy4 – 168x5y

2.1. Phân tích tiên nghiệm

2.1.1.



Các chiến lược có thể xuất hiện



2.1.1.1.



Câu 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003



Chúng tôi dự đoán có các chiến lược sau sẽ xuất hiện trong câu 1:

S1ch : sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5 và một số ước nguyên tố khác



dựa vào bảng cửu chương và cấu tạo số để kiểm tra. Nếu số đã cho không chia hết

cho bất kì số nào trong những số này thì kết luận đó là số nguyên tố. Phạm vi hợp

thức của chiến lược này là các số đã cho không còn ước nguyên tố nào nằm ngoài

bảng cửu chương hoặc số đó có dấu hiệu chia hết ở cấu tạo số quá rõ ràng. Chiến

lược này sẽ dẫn đến sai lầm nếu cấu tạo số không cho thấy dấu hiệu chia hết.

Ví dụ: số 91 và số 130 đều chia hết cho 13 nhưng HS dễ dàng nhận thấy điều

này ở số 130 hơn ở số 91.



S1dv : Chiến lược chữ số hàng đơn vị. Chiến lược này dựa trên kinh nghiệm cá



nhân của HS thông qua các nhận xét trong quá trình học và giải các bài tập. Đó là:

các số nguyên tố là số chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên ngoài số 2, số nguyên tố

không thể chia hết cho 2. Vì thế, số nguyên tố không thể là số chẵn; nó cũng không

chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng của nó khác 0 và 5. Đặc biệt, chiến lược này

cũng bỏ qua dấu hiệu chia hết cho 3 cũng như một số số nguyên tố khác không có

dấu hiệu chia hết. Phạm vi hợp thức là các hợp số đã cho đều phải là các số chia hết

cho 2 hay 5.

S1can : Chiến lược dựa trên phần bài học đã được hướng dẫn trong SGK 6.1:



kiểm tra xem số đó lần lượt có chia hết cho các ước nguyên tố có bình phương vượt

quá số đã cho hay không. Chiến lược này hợp thức trong mọi trường hợp.

S1thu : Chiến lược dựa trên định nghĩa của số nguyên tố. HS lần lượt thử chia



số đã cho cho 3; 7; 11; … Việc thử các ước này chỉ thực hiện một số bước đối với

các số nhỏ khoảng 2 chữ số chứ HS không biết chính xác khi nào việc thử tìm ước

này kết thúc. Do đó, với những hợp số có ước là những số nguyên tố khá lớn,

thường là từ 17 trở lên thì cơ may HS thử đến ước đó khá ít. Phạm vi hợp thức của

chiến lược này là số đã cho có tất cả các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng các ước

mà HS đã thử.

Tương tự S1thu , chiến lược S1can cũng thường xuất hiện khi số đã cho không có

dấu hiệu chia hết rõ ràng, buộc HS phải thử tìm các ước cho nó. Tuy nhiên, điểm

khác biệt giữa chiến lược S1thu và S1can là nếu HS chọn chiến lược S1thu , HS sẽ chỉ giải

quyết được các hợp số nhỏ khoảng 2 hoặc 3 chữ số. Trong khi đó, chiến lược S1can

luôn giúp HS biết chính xác số lần thử và những ước nào cần phải thử. Do đó, nếu

áp dụng S1can , HS có thể xử lý được cả những số có từ 4 chữ số trở lên.

2.1.1.2.



Câu 2: Tìm ƯCLN của các cặp số: (18; 36), (32; 45) và



(1 365; 1 768)

Vì kiểu nhiệm vụ của câu 2 là tìm ƯCLN nên một số chiến lược của nó cũng

trùng với kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.



Slk2 : Liệt kê tất cả các ước của hai số rồi chọn các ước chung, sau đó chọn số



lớn nhất trong các ước chung. Phạm vi hợp thức của Slk2 là tất cả các trường hợp.

Chiến lược này dựa trên kỹ thuật τ 1 - dùng định nghĩa. Tuy nhiên, Slk2 khá cồng

kềnh, nhất là đối với những số quá lớn hay có quá nhiều ước vì nó còn liên quan

đến bài toán xác định xem một số có là số nguyên tố hay không.

: kiểm tra các ước của số nhỏ hơn có khả năng có là ước chung hay

Schon

2

không, sau đó lấy số lớn nhất trong các ước chung đó. Chiến lược này dựa trên kỹ

là tất cả các

thuật τ 2 - chọn trong các ước của số nhỏ. Phạm vi hợp thức của Schon

2

trường hợp. Tương tự như Slk2 , chiến lược này cũng sẽ gây khó khăn cho người thực

hiện khi số nhỏ nhất trong các số đã cho cũng khá lớn hoặc có nhiều ước.

Spt2 : Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố một cách triệt để rồi làm



theo các bước của kỹ thuật τ 3 . Phạm vi hợp thức của S pt2 là các số đã cho có thừa số

chung.

Sps

2 : Dựa vào ứng dụng đơn giản phân số của máy tính để tìm ra ƯCLN hay



đây là kỹ thuật τ 5 . Phạm vi hợp thức của Sps2 là các số được cho phải nằm trong giới

hạn tính toán của máy tính.

SEu

2 : Giải quyết kiểu câu hỏi này dựa vào thuật chia Euclide, tương ứng với



kỹ thuật τ 4 . Phạm vi hợp thức của chiến lược này là tất cả các trường hợp.

Với riêng câu 2a, ta còn có thêm chiến lược:

Sub

2 : Dựa vào quan hệ chia hết của hai số đã cho, ta kết luận ƯCLN là số nhỏ



hơn nếu số còn lại chia hết cho nó.

2.1.1.3.



Câu 3: Tìm BCNN(840; 180)



Các chiến lược chúng tôi dự kiến sẽ xuất hiện trong câu này là:

S3lk : Liệt kê một số bội chung của hai số rồi chọn số nhỏ nhất trong đó.



Phạm vi hợp thức của S3lk là tất cả các trường hợp. Chiến lược này dựa trên kỹ thuật

τ 1 - dùng định nghĩa.



S3ChonB : Dựa vào định nghĩa bội chung là bội của tất cả các số, HS chọn số



lớn nhất trong các số đã cho rồi nhân số đó lần lượt với 2; 3; 4 ; …. cho đến khi

nào kết quả vừa tìm được chia hết cho các số còn lại. Phạm vi hợp thức của S3ChonB

là tất cả các trường hợp. Chiến lược này rất hiệu quả đối với những số đã cho có

BCNN gấp số lớn nhất từ 2 đến khoảng 5 hay 6 lần. Đối với những BCNN quá to;

gấp số lớn nhất nhiều hơn 10 lần thì việc tìm BCNN phải thử qua rất nhiều lần, đặc

biệt là nếu không có sự trợ giúp của máy tính thì việc tìm bội cũng như kiểm tra

xem nó có chia hết cho số còn lại hay không không phải là việc đơn giản.

S 3pt : Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố một cách triệt để rồi làm



theo kỹ thuật tìm BCNN được giới thiệu trong SGK 6.1. Đây cũng là kỹ thuật τ 3 .

Phạm vi hợp thức của chiến lược này là tất cả các trường hợp.

S3ps : Dựa vào công thức a. b = ƯCLN(a; b). BCNN(a; b) và việc tìm ƯCLN



thông qua đơn giản phân số, HS lấy tích a. b chia cho ƯCLN vừa tìm được. Chiến

lược này hợp thức trong mọi trường hợp.

2.1.2.



Các biến didactic, giá trị lựa chọn và ảnh hưởng của chúng lên



chiến lược

2.1.2.1.



Trong câu 1, các biến được quan tâm là:



a. Biến tình huống

V mt : Sử dụng máy tính.



b. Biến didactic

V1ch : cấu tạo đặc trưng về tính chia hết của số đã cho.

V1dl : độ lớn của số đã cho (khái niệm số lớn ở đây cũng chỉ mang tính tương



đối)

2.1.2.2.



Các biến được quan tâm trong câu 2



a. Biến tình huống

V mt : Sử dụng máy tính



b. Biến didactic



V2hts : hình thức biểu diễn số: số được cho ở dạng chưa phân tích hay ở dạng



đã phân tích ra thừa số nguyên tố.

V1ch : cấu tạo đặc trưng về tính chia hết của số đã cho.



V1dl : độ lớn của số đã cho (khái niệm số lớn ở đây cũng chỉ mang tính tương



đối)

V1ts _ sm : thừa số nguyên tố và số mũ trong dạng phân tích.



V2ub : hai số đã cho có quan hệ ước – bội: một trong hai số là ước của số còn



lại.

2.1.2.3.



Các biến được quan tâm trong câu 3



Trong câu 3, do kiểu nhiệm vụ tìm BCNN tương đồng với kiểu nhiệm vụ tìm

ƯCLN về các kỹ thuật giải cũng như giữa chúng có mối liên hệ ước bội nên các

biến ở câu 3 giống với các biến xuất hiện ở câu 2.

2.2.



Phân tích các lựa chọn biến và chiến lược trong thực nghiệm



Đối với câu 1, các số chúng tôi đã cho tương ứng với các biến đã nêu để cho

thấy ở mỗi sự lựa chọn biến, chiến lược của HS cũng thay đổi theo. Đặc biệt, ứng

với biến V1ch với dấu hiệu chia hết không rõ và V1dl với giá trị là số đã cho có 4 chữ

số trở lên, số chiến lược xuất hiện nhiều nên chúng tôi sẽ lưu ý lựa chọn hai biến

này cho phần thực nghiệm.

Ở câu 2, với câu a, chúng tôi lựa chọn biến V2ub , tức là trong 2 số đã cho có

18 là ước của 36 nhằm tạo cơ hội cho chiến lược Sub

2 xuất hiện. Bên cạnh đó, nhằm

làm rõ quy tắc hợp đồng, chúng tôi cũng cố ý chọn số 18 và 36 là 2 số nhỏ, dấu

hiệu chia hết của hai số này cũng rất rõ ràng. Yếu tố này tạo điều kiện thuận lợi cho

HS thực hiện theo chiến lược Spt2 .

Ở câu b, cặp số 32 và 45 cũng là những số nhỏ, có dấu hiệu chia hết rõ ràng.

HS cũng thường xuyên gặp các số này nên việc phân tích các số này ra thừa số

nguyên tố là một nhiệm vụ quen thuộc. Chính sự quen thuộc này cộng với việc HS

làm việc theo quy tắc hợp đồng H1 hướng HS theo chiến lược S pt2 . Và đây chính là

ý đồ của chúng tôi: khi làm theo chiến lược này, HS dễ dàng nhận thấy hai số này



không có ước nguyên tố nào chung. Từ đây, HS có hai hướng để kết luận: “hai số

đã cho không có ƯCLN” hoặc “ƯCLN của hai số này là 1”. Sai lầm của HS sẽ bộc

lộ ngay ở kết luận này.

Ở câu c, cặp số 1 365 và 1 768 lại là những số khá lớn. Tuy nhiên, HS có thể

nhận thấy ngay một số ước của hai số này: 1 365 chia hết cho 5 và 1 768 chia hết

cho 2. HS sẽ thử chia ngay cho hai ước này và có thể ra được kết quả sau:

1365 = 5. 273



và



1768 = 2. 884 = 2. 2. 442 = 2. 2. 2. 221



Số 273 là một số chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết của nó cũng khá dễ để

nhận ra. Thực hiện phép chia 273 cho 3, ta được thương là 91. Đến đây, số 91 là

một số không nằm trong bảng cửu chương, cũng không có dấu hiệu chia hết cơ bản

nào nên bài toán đặt HS trước nhiệm vụ kiểm tra 91 có phải là số nguyên tố hay

không.

Đối với những HS nhận ra được số 91 là hợp số ở câu 1, HS sẽ dễ dàng vượt

qua trở ngại này. Tuy nhiên, số 221 cũng không có dấu hiệu chia hết vì ước của nó

là 17 và 13. Với hai ước này, HS rất khó nhận ra vì hai số nguyên tố này khá lớn và

HS cũng ít có cơ hội tiếp xúc với các ước này theo yêu cầu của thể chế. Do đó, nếu

sử dụng thuật chia Euclide hay sử dụng cách đơn giản phân số ở câu này sẽ giúp

HS tránh được bước kiểm tra số nguyên tố.

Mặt khác, các số 1365 và 1768 là các số nhỏ so với giới hạn tính toán của

máy tính. Do đó, máy tính hoàn toàn có thể giúp HS tính ra ƯCLN của hai số này.

Còn đối với chiến lược liệt kê, việc nêu ra tất cả các ước của hai số này rồi chọn ra

ước chung, lấy số lớn nhất trong các số được chọn theo như định nghĩa thì có thể

nói là cực kỳ khó khăn đối với HS. Số 1365 có dạng phân tích là 1365 = 3. 5. 7. 13

nên có 8 ước, còn 1768 có dạng phân tích là 1768 = 23. 13. 17 nên có tất cả là 16

ước, mà các ước của mỗi số đều không dễ tính vì rất khó để nhận ra ước 13 hay 17

ở hai số này.

Với câu 3, khi xét biến V1ts _ sm , số 840 và 180 được chọn vì trong dạng phân

tích ra thừa số của hai số này có các thừa số nguyên tố chung và riêng, trong đó có

thừa số 2 và 3 có số mũ khác nhau. Điều này dễ cho thấy sự lựa chọn thừa số chung



hay tất cả các thừa số, số mũ lớn hay nhỏ. Đây là bước rất dễ gây nhầm lẫn với kỹ

thuật tìm ƯCLN. Hơn nữa, hai số này khá lớn nên khi HS tính được kết quả cũng

khó kiểm tra lại bằng việc tính nhẩm. Mặt khác, nếu HS chọn sai các thừa số, dẫn

đến kết quả của HS là bội của BCNN thì HS cũng khó nhận ra số đó lớn hơn

BCNN thật sự.

Ở câu 4, câu hỏi được đặt ra với mục đích là kiểm chứng nhận định: “HS

cho rằng có số nguyên a, b sao cho ƯCLN(a, b) không tồn tại.” Do đó, số 3 và 5

được chọn vì đây là hai số nhỏ và là hai số nguyên tố. HS dễ dàng nhận thấy ngay 3

không là ước của 5 và chúng không có ước chung nào lớn hơn 1. Qua đó, nếu HS

trả lời sai ở câu hỏi này thì rõ ràng nhận định của chúng tôi là có cơ sở.

Ở câu 5, với yêu cầu phân tích đa thức A = 36x2y3 + 60xy4 – 168x5y thành

nhân tử, ta có thể tính được các hệ số 36; 60 và 168 có ƯCLN là 12. Tuy nhiên, nếu

HS không nhận ra điều này, HS sẽ phải rút thừa số chung ra nhiều lần.

Mặt khác, các thừa số x, y được viết thành dạng tích tạo điều kiện rất thuận

lợi cho việc rút thừa số chung. Chỉ qua 1 bước, HS có thể rút hết thừa số chung của

các đơn thức có chứa x,y ra ngoài. Điều này cho thấy dạng viết thành tích rất thuận

tiện cho việc đặt nhân tử chung. Ngoài ra, nó còn làm ta liên tưởng đến việc chọn

các thừa số trong kỹ thuật (τ 3 ) - phân tích ra thừa số nguyên tố. Do đó, theo sách

Pre – Algebra của Mỹ, các thừa số được rút ra ngoài trong dạng phân tích cuối cùng

được gọi là ƯCLN của các đơn thức có trong đa thức. Đây là khái niệm mà SGK ở

Việt Nam không hề đề cập, ngay cả trong những bài học về phân tích đa thức thành

nhân tử ở lớp 8.



3. Kết quả thực nghiệm ở lớp 6

Thực nghiệm được tiến hành trên 96 HS của các lớp 6A1, 6A3, 6A4 trường

THCS – THPT Đinh Thiện Lý. Thời điểm chúng tôi thực nghiệm là sau khi HS học

xong bài học về rút gọn phân số.

3.1.



Câu 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 91; 984; 1003



Có 22 trên tổng số 96 bài không viết gì hoặc không ra được kết quả gì ở câu

hỏi này. Số lượng trên phần nào cho thấy đây là một kiểu nhiệm vụ lạ hoặc gây khó

khăn nhất định cho các em.

Bảng 4.1. Thống kê các chiến lược trong câu 1 ở lớp 6

Chiến lược

S1ch - chia hết

S1dv - đơn vị

thu

1



S - thử

S1can - căn



Tổng số câu trả lời của HS có

thể phân chia theo chiến lược

Số HS thành công



91

Số lượng

0



984

Số lượng

48



1003

Số lượng

0



17



2



29



39



1



4



56



51



33



49



57



11



(Những ô số tô in đậm tương ứng với những chiến lược mà chúng tôi dự

đoán sẽ được số đông HS lựa chọn.)

Qua tổng số câu trả lời của HS có thể phân chia theo chiến lược ở từng câu

hỏi và số HS thành công trong mỗi câu này cho thấy: rõ ràng số 1003 gây khó khăn

nhất định cho HS. Số HS tham gia trả lời câu hỏi này ít hơn hẳn so với hai số trước

đó, trong đó có đến 29 em cho rằng 1003 là số nguyên tố. Thêm nữa, số HS thành

công ở câu này lại càng ít hơn: chỉ có 11 trên tổng số 96 HS có đáp án đúng. Ngoài

4 HS làm theo chiến lược thử từng ước, có 7 HS làm đúng nhưng không nháp gì

trong phần giấy nháp cũng như không thể hiện mình đã chọn chiến lược gì ở bài

làm của các câu tiếp theo; hoặc chia thẳng 1003 cho 17 nên chúng tôi không xác

định được các em đã sử dụng chiến lược S1thu hay S1can . Đó cũng là lý do mà số HS

có câu trả lời có thể phân chia thành các chiến lược ở trường hợp 984 ít hơn số HS

có câu trả lời đúng. Tuy nhiên, theo quan sát của chúng tôi lúc cho HS làm thực

nghiệm thì có thể nói, HS không sử dụng chiến lược S1can cho kiểu nhiệm vụ này.

Chúng tôi nhận thấy hầu hết HS chỉ dùng máy tính để chia thử từng ước cho đến khi

nào nhận được thương là số tự nhiên thì ngừng lại chứ chưa thấy HS có xét xem

phải thử đến số nguyên tố nào là được. Mặt khác, chiến lược S1thu hay S1can giống