IV, Tứ diện gần đều

* Bốn mặt là các tam giác bằng nhau.

* Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.

* Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện bằng 180.

* Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau

* Tất cả các mặt của tứ diện tương đương nhau.

* Bốn đường cao của tứ diện có độ dài bằng nhau.

* Tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và trùng với

trọng tâm của tứ diện .

* Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.

* Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ

diện bằng nhau.

* Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là

đường vuông góc chung của hai cạnh đó.

* Tứ diện có ba trục đối xứng.

* Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một

mặt của tứ diện bằng 1.

3, Ví dụ

1,

a, Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O. Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của AB, BC, và CA. Chứng tỏ O.MNP là một tứ

diện gần đều.

b, Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh ACB’D’

là một tứ diện gần đều.

Giải

a, Chứng minh O.MNP là tứ diện gần đều:

Thật vậy:



AB



OM

=



2



 PN = AB



2



Nên OM=PN.

Tương tự ta có ON=PM; OP=MN.



b, Chứng minh A.CB’D’ là gần đều

hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nên AC=B’D’.

Tương tự CB’=AD’ và AB’=CD’.



2, Chứng minh rằng nếu bốn mặt của một tứ diện có diện tích

bằng nhau thì bốn mặt ấy bằng nhau.

Giải

Cho tứ diện A.BCD có bốn mặt diện tích bằng nhau. Ta chứng

minh các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một.

Trong tam giác CAB và tam giác DAB ta kẻ đường cao CH và

DK. Do diện tích của 2 tam giác này bằng nhau nên CH=DK.

Gọi OI là đoạn vuông góc chung của AB và CD và (P) là mặt

phẳng qua OI và vuông góc với AB. Gọi C’, D’ là hình chiếu của

C, D xuống (P). Do CH và DK song song với (P) nên:



OD' = CH

⇒ OC' = OD' ⇒ OC'D'



OC' = DK



Mặt khác

Vậy OI



^



ˆ = 90

OIC



cân tại O.



0



nên định lý chiếu góc vuông cho



ˆ = 90

OIC



0



C’D’.



Do đó I là trung điểm CD.

Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được O là trung điểm

của AB.

S



Ta có:



OI

A ¬ 

→B



S



OI

C ¬ 

→D



 AC = BD

⇒

 AD = BC

Sử dụng đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh khác ta cũng

sẽ được:



 AB = CD



 AC = BD

Tóm lại ba cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau nên các mặt

của tứ diện bằng nhau(C-C-C).

3, Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ diện gần đều là:

Các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối là đoạn vuông góc

chung của các cạnh đó.

Giải

Thuận:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB,CD .Do hai tam giác

CAB và DBA bằng nhau nên: CI=DI

Vậy tam giác ICD cân ở I nên : IJ



^



CD.



^



Tương tự như vậy ta có IJ AB

Đối với các cặp cạnh khác ta cũng làm như trên.

Đảo:

Giả sử IJ là đoạn vuông góc chung của AB,CD (trong đó I là

trung điểm của AB,J là trung điểm của CD).

Thế thì:

S



OI

A ¬ 

→B



S



OI

C ¬ 

→D



 AC = BD

⇒

 AD = BC

Sử dụng đoạn vuông góc chung của AD,BC



 AB = CD



 AC = BD



Ta có:

Vậy A.BCD là tứ diện gần đều.

4, Cho tứ diện A.BCD là tứ diện gần đều với: AB=CD=a;

AC=BD=b; BC=AD=c. Hãy tính góc tạo nên bởi mỗi một cặp

cạnh đối.

Giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta biết rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Gọi E là trung điểm của AC. Ta có:

uur uur

2

2

2

IJ = EI + EJ − 2 EI .EJ.cos EI .EJ



(



)



2

2

uur uur

c

c

IJ =

− .cos EI .EJ

2

2



(



2



)



(1)



Mặt khác

2



2



2



2



2



2

2

2 b +c −a

2b + 2c − a

BJ =

⇒ IJ = BJ − BI =

4

2

2



2



(2)



Từ (1) và (2) suy ra:

uur uur

2

2  2

2

2

c .cos EI ;EJ = c −  b + c − a ÷







(



)



uur uur a 2 − b 2

⇔ cos EI ;EJ =

.

2

c

α

α

Gọi là góc nhọn tạo bởi BC va AD thế thì được xác định

bởi:



(



)



2



cosα =



a −c

c



2



2



.



Tương tự như vậy ta định được các góc nhọn

AC và BD; AB và CD như sau:



β



và



γ



tạo bởi



2



cosβ =



a −c

b



2



2



cosγ =



2



b −c

a



và



2



.



2



A



I



D



B

J

C



V, Tứ diện có tích độ dài hai cạnh đối bằng nhau

Ví dụ 1, Cho tứ diện A.BCD. chứng minh các tính chất sau

đây là tương đương:

1, Các đường nối đỉnh với tâm đường nội tiếp mặt đối diện

đồng quy.

2, Tứ diện A.BCD thõa mãn: AB.CD=AC.BD=AD.BC

3, Các phân giác của 2 mặt tứ diện có chung một cạnh thì 2

chân đường phân giác hạ xuống cạnh chung này sẽ trùng

nhau.

Giải

Chứng minh theo sơ đồ a)=>b)=>c)=>a).



A1,B1, C1, D1



Kí hiệu

lần lượt là tâm các vòng tròn nội tiếp các

mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) của tứ diện A.BCD.

1)=>2). Do các đường nối đỉnh và tâm vòng tròn nội tiếp đồng

quy nên AA1, B B1 xác định một mặt phẳng. Mặt phẳng này cắt

CD tại M. Khi đó AM, BM lần lượt là các đường phân giác ta có:



 MC

 MD =



 MC =

 MD



AC

AC BC

AD

⇒

=

BC

AD BD

BD



Hay AC.BD =AD.BC.

Lập luận tương tự cho các đường phân giác khác suy ra tích độ

dài các cặp cạnh đối bằng nhau.

2)=>3) . Tức là nếu AC.BD =AD.BC =AB.CD thì phân giác của

hai mặt đối diện vẽ trên cạnh chung có chân trùng nhau;



AC.BD = AD.BC ⇒

Thật vậy,



MC AC

=

( 1) .

MD AD



tại N. Theo tính chất đường phân giác



So sánh (1), (2) và



AC BC

=

AD BD



Giả sử BA1 cắt CD



NC BC

=

( 2) :

ND BD



nhận được



MC NC

=

MD ND



. Hai điểm



M≡N



M, N cùng chia trong cạnh CD theo cùng tỉ lệ nên

. Lập

luận tương tự cho các cặp đường phân giác khác vẽ trên một

cạnh chung.

3)=>1). Từ điều kiện c) suy ra hai đường nối đỉnh và tâm

đường tròn nội tiếp mặt đối diện cắt nhau.

Rõ ràng các đường nối đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp mặt

đối diện đôi một cắt nhau vì chúng không đồng phẳng nên

phải đồng quy.

VI.Tứ diện có bốn mặt tam giác vuông

Nhân xét:

Không thể sắp xếp bốn tam giác vuông để tạo một hình tứ

diện như “hình vẽ” để tại mỗi đỉnh của tứ diện có một góc

phẳng vuông vì lúc đó AB>AD>DC>BC>BC>AB vô lý.