Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 116 trang )
I. ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. TẬP HỢP
Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó.
Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.
Ví dụ:
- Tập hợp sinh viên trong lớp 9A
- Tập hợp N mọi số tự nhiên.
- Tập hợp R mọi số thực.
5
1. TẬP HỢP
Có 2 cách xác định một tập hợp:
a) Liệt kê mọi phần tử của tập hợp.
b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn tập hợp có số phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.
Tập hợp vô hạn đếm được
Tập hợp vô hạn không đếm được
6
2. QUY TẮC NHÂN
Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đoạn.
Nếu có n1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I,
Nếu có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II
…
Và có nk cách hoàn thành giai đoạn cuối cùng.
Khi đó sẽ có tất cả:
k
n = n1.n2 ...nk = ∏ ni
i =1
cách hoàn thành công việc.
7
Ví dụ
Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta muốn ghé qua vị trí C. Có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C tới B.
Khi đó ta có tất cả :
n = 2.3 = 6
cách đi khác nhau từ A đến B.
8
3. CHỈNH HỢP
Chỉnh hợp chập k của n phần tử
( k ≤ n)
là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:
n!
A =
(n − k )!
k
n
9
Ví dụ
Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày?
Giải:
(cách)
6!
A =
= 30
(6 − 2)!
2
6
10
4. CHỈNH HỢP LẶP
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …,
k lần trong nhóm tạo thành.
Ký hiệu là:
k
n
A =n
k
11
Ví dụ
Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1, 2,… 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy?
Giải:
Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậy có thể đánh số được:
3
9
A = 9 = 729
3
12
4. CHỈNH HỢP LẶP
Chú ý:
Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể lớn hơn n.
13
5. HOÁN VỊ
Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.
Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là
n!
n!
Pn = A =
= = n!
(n − n)! 0!
n
n
14
Ví dụ
Một bàn có 4 học sinh ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?
Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là:
P4 = 4!= 24
15
