I. Tính độc lập của hai biến cố

Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



b. Cách thứ hai

Vì P(A) =



2 1

1

= và P (A B ) = nên A và B độc lập do P(A) = P ( A B ) .

6 3

3



Hoặc ta cũng có P(B) =



3

1

và P (B A) = tức là P(B) = P ( B A) nên A và B độc lập.

6

2



2. Định lý



Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B , A và B, A và B cũng sẽ là những cặp

biến cố độc lập.

Chứng minh:



Chẳng hạn ta chứng minh rằng nếu A và B độc lập thì A và B cũng độc lập.

Thật vậy ta có:

P(A. B ) = P(A).P (B A ) = P(A)[1-P (B A) ]

= P(A)[1-P(B)] (do A và B độc lập )

= P(A)P( B ).

Vậy A và B độc lập.

Thí dụ 2: Bốn ngời N i (i = 1,4 ) có tật nói dối. Họ có thể nói đúng điều mình nghe đợc



cho ngời khác với xác suất là 1/3 và nói điều ngợc lại với xác suất 2/3. Ngời thứ nhất

N1 nhận đợc một tin dới dạng (có, không) và nói lại cho N2, N2 truyền lại cho N3,

N3 báo lại cho N4 và cuối cùng N 4 công bố ra ngoài. Biết rằng các thông báo của bốn

ngời độc lập với nhau, khi đó:

a. Tính xác suất để tin đợc công bố là đúng khi nhận đợc.

b. Biết rằng tin công bố là đúng, hãy tính xác suất để N1 truyền đúng tin.

Bài giải

a. Gọi Ai là biến cố tin do Ni truyền đi là đúng.

Bi là biến cố ngời thứ i nói đúng điều mình nghe đợc (i = 1,4 )

Khi đó:

A1 = B1 . Vậy P(A1) = P(B1) =



1

3



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



34



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



A2 = A1B2 + A 1 B 2 . Vậy P(A2) = P(A1B2 + A 1 B 2)

Vì A1B 2 và A 1 B 2 là hai biến cố xung khắc nên

P(A2) = P(A1B2) + P( A 1 B 2)

Do các thông báo của những ngời này là độc lập nên các biến cố A 1 và B 2 độc lập, A 1 và

B 2 độc lập. Vì thế:

P(A 2 ) = P(A 1 )P(B 2 ) + P( A 1)P( B 2)

=



5

2 2

1 1

. + . =

3 3

3 3 9



Tơng tự ta có:

P(A 3 ) = P(A 2 B 3 + A 2 B 3)

và P(A 3 ) = P(A 2 )P( B 3) +P( A 2 )P( B 3)

=



5 1 4 2 13

.

. + . =

9 3 9 3 27



P(A 4 ) = P(A 3 )P(B 4 ) + P( A 3)P( B 4) =



41

13 1 14 2

. +

. =

27 3 27 3 81



Vậy xác suất để tin đợc công bố là đúng nh khi nhận đợc là



41

.

81



b. Ta phải tính P (A 1 A 4 ) .

Ta có:

1

.P( A4 A1 )

P( A1 ) P( A4 A1 )

P( A1. A4 )

P (A 1 A 4 ) =

=

= 3

.

41

P( A4 )

P( A4 )

81



Ta thấy P ( A4 A1 ) là xác suất để N 4 công bố đúng tin khi N1 đã truyền đúng tin.

Nếu A 1 đã xảy ra thì:

A 2 = B 2 do đó P(A 2 ) = P(B 2 ) =



1

.

3



A 3 = A 2 B 3 + A 2 B 3 . Vậy P(A 3 ) =



1 1 2 2 5

. + . = .

3 3 3 3 9



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



35



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut



A 4 = A 3 B 4 + A 3 B 4 . Vậy P(A 4 ) =

Giá trị



5 1 4 2 13

.

. + . =

9 3 9 3 27



13

là xác suất xảy ra A 4 tính trong điều kiện A 1 đã xảy ra, tức nó là

27



P (A 4 A 1 ) . Vậy cuối cùng:

1 13

.

3 27 = 13 .

P (A 1 A 4 ) =

41

41

81



II. Tính độc lập của nhiều biến cố

1. Định nghĩa



Cho {Ai } (i= 1, n ) là n biến cố của không gian xác suất ( ,



A, P). Các biến cố này



đợc gọi là độc lập toàn bộ (gọi tắt là độc lập) nếu với mọi k (2 k n) và với mọi bộ k

chỉ số 1 i 1 < i 2 < ...< i k n ta đều có:

P (A i1 A i 2 ...A i k ) = P (A i1 ) P (A i2 ) ... P (A i k ) .

2. Các ghi chú

Ghi chú 1:



Từ sự độc lập toàn bộ ta suy ra sự độc lập của mọi cặp biến cố, nhng điều ngợc lại

không đúng.

Thí dụ 1: Giả sử = {w1 , w2 , w3 , w4 }



P ( i ) =



1

4



A = G().

Ta đặt:



LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



36



Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut

A= {w1 , w2 ,}



B = {w1, w3 }

C = {w1 , w4 }

Khi đó:

P(A) = P(B) = P(C) =



2 1

=

4 2



Mặt khác A B = B C = C A = {w1}

Vì thế

P(AB) = P(BC) = P(CA) = P( {w1}) =



1

4



Nh vậy:

P(AB) = P(A)P(B); P(AC) = P(A)P(C); P(BC) = P(B)P(C)

Do đó A, B, C độc lập từng đôi nhng A B C = {w1} nên

P(A B C) = P( {w1}) =



1

1

P(A).P(B).P(C) =

4

8



Vậy A, B và C không độc lập toàn bộ.

Ghi chú 2:



Định nghĩa về tính độc lập toàn bộ của n biến cố nêu trên tơng đơng với định nghĩa

sau đây:

Các biến cố {A i } (i= 1, n ) của không gian xác suất ( , A, P) đợc gọi là độc lập toàn

bộ nếu:



P (A i A j1 A j2 ...A j m ) = P(A i ) ( i= 1, n )

(1 j 1 < j 2 < ...
Và vì thế từ định lý nhân xác suất trong trờng hợp tổng quát:

n



P( A i ) = P (A1 ) P (A 2 A1 ) P (A 3 A1A 2 ) ... P (A n A1A 2 ...A n 1 ) ,

i =1



ta suy ra:

LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD



37