§3 Chu trình Carnot và định lý Carnot

Nhiệt học



- 45 P

1



T1



Q1



T2



4



0



V1



2



V4



3



V2



V3



V



H.1

Ta tính hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghòch. Giả sử tác

nhân là khí lý tưởng. Theo (2) ta có :



η= 1-



Q2

Q1



Q1 và Q2 là nhiệt lượng khí nhận của nguồn nóng T1 và nhả cho

nguồn lạnh nhiệt độ T2 trong hai quá trình đẳng nhiệt :



Q1 =

Q1 =



V

m

RT1ln 2

µ

V1



V

m

RT2ln 3

V4

µ



(= - Q’2 , Q’2 là nhiệt lượng khí nhận của



nguồn lạnh ).

Thay Q1 và Q2 vào biểu thức của η ta được :



V3

V4

η = 1−

V2

T1 ln

V1

T2 ln



Trong quá trình đoạn nhiệt 2-3 và 4-1 ta có :



T1V2γ −1 = T2 V3γ −1



Trần Kim Cương



Khoa Vật lý



Nhiệt học



- 46 γ

T1V1γ −1 = T2 V4 −1



Chia vế đối vế hai đẳng thức này ta được :

γ −1



hay :



⎛ V2 ⎞

⎛V ⎞

⎜ ⎟ =⎜ 3⎟

⎜V ⎟

⎜V ⎟

⎝ 1⎠

⎝ 4⎠

V2 V3

=

V1 V4



Cuối cùng ta có :



η = 1−



γ −1



T2

T1



(4)



Như vậy hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghòch đối với

khí lý tưởng chỉ phụ thuộc nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh.

Xét chu trình Carnot chạy theo chiều nghòch. Khi đó khí nhận

của nguồn lạnh nhiệt lượng Q2 trong quá trình 4-3, nhận công A và nhả

cho nguồn nóng nhiệt lượng Q1 trong quá trình 2-1.

Theo nguyên lý I, trong một chu trình công mà khí nhận vào sẽ

bằng nhiệt nó tỏa ra :



A = Q1 – Q2



Hệ số làm lạnh của chu trình Carnot ngược :



K=



Q2

Q2

=

A Q1 − Q 2



Trong quá trình đẳng nhiệt 4-3 và 2-1 ta có :



m

V

RT2 ln 3

µ

V4

m

V

Q1 = RT1 ln 1

µ

V2



Q2 =



Thay Q2 và Q1 vào biểu thức của K ta được :



K=



Trần Kim Cương



T2 ln

T1 ln



V3

V4



V1

V

− T2 ln 3

V2

V4

Khoa Vật lý



Nhiệt học



- 47 -



Làm tượng tự như trên ta có



K=



T2

T1 − T2



V1 V3

=

. Cuối cùng ta được :

V2 V4

(5)



Như thế hệ số làm lạnh của chu trình carnot ngược cũng chỉ

phụ thuộc nhiệt độ của nguồn lạnh và nguồn nóng.

2) Đònh lý Carnot



Hiệu suất của tất cả các động cơ thuận nghòch chạy theo chu

trình Carnot với cùng nguồn nóng và nguồn lạnh đều bằng nhau và

không phụ thuộc vào tác nhân cũng như cách chế tạo máy. Hiệu suất

của động cơ không thuận nghòch nhỏ hơn hiệu suất của động cơ thuận

nghòch.

Giả sử có hai động cơ thuận nghòch I và II chạy theo chu trình

Carnot với cùng nguồn nóng và nguồn lạnh, nhiệt lượng chúng lấy của

nguồn nóng đều là Q1 và nhả cho nguồn lạnh tương ứng là Q2I và Q2II.

Như vậy hiệu suất của chúng là :

I

Q2

ηI = 1 −

Q1



và



II

Q2

ηII = 1−

Q1



I

II

Ta chứng minh ηI = ηII . Giả sử ηI > ηII tức Q 2 < Q 2 :



Xét động cơ ghép gồm hai động cơ trên với động cơ I chạy

theo chiều thuận và động cơ II chạy theo chiều ngược. Trong một

I

chu trình động cơ I sinh công bằng Q1 – Q2 . Động cơ II lấy của

nguồn lạnh nhiệt lượng Q2II, nhả cho nguồn nóng nhiệt lượng Q1

II

và nhận công bằng Q1 – Q2 . Kết quả là động cơ không trao đổi

II

I

nhiệt với nguồn nóng, nhận của nguồn lạnh nhiệt lượng Q2 - Q2

> 0 và sinh công :



(Q1 – Q2I) – (Q1 – Q2II) = Q2II – QI > 0



Nội năng của cả hai động cơ không thay đổi vì chúng thực hiện

chu trình.



Trần Kim Cương



Khoa Vật lý



Nhiệt học



- 48 -



Động cơ ghép không vi phạm nguyên lý I vì sau một chu trình

toàn bộ nhiệt nhận được đều sinh công, nhưng nó vi phạm nguyên lý II

vì nó sinh công chỉ bằng nhiệt trao đổi với một nguồn nhiệt. Vì vậy

không thể có động cơ này, tức không thể xảy ra trường hợp ηI > ηII .

Trường hợp ηI < ηII , chứng minh tương tự như trên ta thấy



cũng không thể xảy ra ηI < ηII .



Như thế bắt buộc ηI = ηII . Trong toàn bộ lý luận ở trên, ta



không hề giả thiết động cơ chạy với tác nhân nào. Vì vậy ta có thể đi

đến kết luận hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghòch chạy với bất

kỳ tác nhân nào, với bất kỳ loại máy nào cũng bằng :



η = 1−



T2

T1



(6)



Ta chứng minh ý thứ 2 của đònh lý Carnot :

Giả sử có hai động cơ : 1 động cơ chạy theo chu trình Carnot

thuận nghòch, 1 động cơ chạy theo chu trình không thuận nghòch. Hai

động cơ cùng lấy ở nguồn nóng nhiệt lượng Q1 và cùng nhả cho nguồn

lạnh nhiệt lượng Q2 . Hiệu suất của động cơ không thuận nghòch là :



ηK =



A' Q1 − Q 2 − Q 3

=

Q1

Q1



A’ là công do động cơ không thuận nghòch sinh ra, Q3 là nhiệt



lượng mất mát do truyền cho các vật khác và chống lại sự ma sát. Như

thế so sánh với hiệu suất của động cơ thuận nghòch :



A Q1 − Q 2

=

Q1

Q1

Ta thấy rõ ràng ηK < η

η=



Cũng chứng minh được rằng hiệu suất của chu trình thuận

nghòch bất kỳ thực hiện giữa các nguồn nhiệt nóng và lạnh bao giờ

cũng nhỏ hơn hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghòch chạy với 2

nguồn nhiệt đó.

Từ đònh lý Carnot, ta rút ra một số nhận xét quan trọng sau :

+ Nhiệt không thể biến đổi hoàn toàn thành công : ta biết hiệu

suất lớn nhất là của động cơ chạy theo chu trình Carnot thuận nghòch

Trần Kim Cương



Khoa Vật lý



Nhiệt học



η = 1−



- 49 -



T2

, T2 không thể bằng 0 và T1 không thể bằng ∞ và như vậy

T1



η không thể bằng 1 hay η < 1 ⇒ A < Q tức là công mà hệ sinh ra

luôn nhỏ hơn nhiệt lượng mà nó nhận vào.

+ Hiệu suất động cơ nhiệt càng cao nếu nhiệt độ nguồn nóng T1

càng cao nhiệt độ nguồn lạnh T2 càng thấp. Trong thực tế, thường thì

T2 là nhiệt độ môi trường tự do. Vì vậy để tăng η ta phải tăng T1. Với

cùng nhiệt lượng nhận vào Q1, η càng lớn nếu T1 càng lớn. Điều này

có nghóa nhiệt lượng lấy từ vật có nhiệt độ cao có “chất lượng” cao

hơn nhiệt lượng lấy từ vật có nhiệt độ thấp hơn.

+ Muốn tăng hiệu suất động cơ nhiệt phải chế tạo sao cho nó

càng gần thuận nghòch càng tốt. Muốn vậy phải giảm mất mát do

truyền nhiệt và ma sát trong hệ.



§4 Entropi

1) Biểu thức đònh lượng của nguyên lý II



Với chu trình Carnot thuận nghòch ta có :



η=



Q1 − Q 2 T1 − T2

=

Q1

T1



⇒



Q1 Q 2

=

T1 T2



Qui ước nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng Q1 > 0, nhiệt lượng tỏa

ra cho nguồn lạnh Q2 < 0 thì ta có thể viết :



Q1 Q 2

+

=0

T1 T2



(7)



Với chu trình bất kỳ làm việc với 2 nguồn nhiệt độ T1 và T2

theo đònh lý Carnot ta có :



Q1 Q 2

+

≤0

T1 T2



Trần Kim Cương



(8)



Khoa Vật lý



Nhiệt học



- 50 -



Trường hợp tổng quát hệ biến đổi theo một chu trình thuận

nghòch với nhiều nguồn nhiệt độ T1 , T2 , … với nhiệt lượng Q1 , Q2 , …

mà hệ nhận được từ bên ngoài.

Chia chu trình thành những chu trình Carnot nhỏ (H.2). ta thấy

chu trình thứ i và i+1 chung nhau đường đẳng nhiệt nhưng có chiều

ngược nhau nên tổng nhiệt lượng trao đổi bằng 0 và tổng nhiệt lượng

hệ các chu trình Carnot nhỏ trao đổi là nhiệt lượng trao đổi của chu

trình ta xét. Khi đó (7) thành :



Q



∑ Ti

i



=0



(9)



i



P



T1



T2



0



V



H.2

Nếu chu trình hệ biến thiên liên tục (số chu trình Carnot nhỏ

→ ∞ ) thì giới hạn của (9) là tích phân :



δQ

∫ T =0



(10)



δQ

∫ T ≤0



(10’)



Với chu trình bất kỳ thì :



2) Hàm Entropi



Trần Kim Cương



Khoa Vật lý