4 Biểu diễn số nguyên

8



1. SỐ NGUYÊN

qk−2 = bqk−1 + ak−1 ,



0 ≤ ak−1 ≤ b − 1,



0 ≤ ak ≤ b − 1.



qk−1 = b.0 + ak ,



Dễ dàng suy ra:

n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0



với ø 0 ≤ aj ≤ b − 1, ak = qk−1 = 0.

Ta sẽ chứng minh tính duy nhất của biểu diễn bằng qui nạp theo số

nguyên dương n.

Trường hợp n = 1 ta chỉ có biểu diễn duy nhất với k = 0, và a0 = 1. Giả

sử ta có

n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 = cm bm + cm−1 bm−1 + · · · + c1 b + c0 .



(∗)



Do đònh lý 1.6: phần dư của phép chia n cho b là duy nhất, nên a0 = c0. Do

a0 = c0 nên từ (*) ta suy ra:

n1 = ak bk−1 + ak−1 bk−2 + · · · + a1 = cm bm−1 + cm−1 bm−2 + · · · + c1 .



Dễ chứng tỏ được rằng n1 < n, vậy theo giả thiết qui nạp ta có: m = k và

a1 = c1 , · · · , ak = ck .



Hệ quả 1.7.1. Mọi số nguyên dương đều là tổng các lũy thừa khác nhau của 2.

Chứng minh. Theo đònh lý 1.7 với b = 2, ta có

n = ak 2k + ak−1 2k−1 + · · · + a1 2 + a0 ,



với k là số tự nhiên, các aj bằng 0 hoặc 1,



ak = 0.



Nhận xét:

1) Số nguyên dương n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0 trong đònh lý

1.7 thường được viết là (ak ak−1 · · · a1 a0 )b .

2) Việc đổi số nguyên dương (ak ak−1 · · · a1 a0 )q trong hệ đếm cơ số q

sang cơ số b được thực hiện hoàn toàn tương tự như thuật toán tìm biểu diễn

của số nguyên dương trong đònh lý 1.7 chỉ lưu ý là khi chia cho b (trong hệ

q−phân) thì b đã được viết trong hệ q−phân, sau đó các số dư phải được đổi

sang hệ b−phân để biểu diễn số trong hệ b−phân.



1.4. BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN



9



Ví dụ 1.4.1. Chúng ta cần đổi số thập phân 610 sang hệ nhò phân. Vì trong



hệ thập phân nhò vẫn được viết là 2 nên ta thực hiện liên tiếp các phép chia

cho 2 trong hệ thập phân:

106 = 2 · 53 + 0,

53 = 2 · 26 + 1,

26 = 2 · 13 + 0,

13 = 2 · 6 + 1,

6 = 2 · 3 + 0,

3 = 2 · 1 + 1,

1 = 2 · 0 + 1.



Thuật chia dừng vì thương đã bằng 0. Các số dư viết trong hệ nhò phân tương

ứng là: c0 = 0, c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = 1; vậy số đã

cho có biểu diễn trong hệ nhò phân là 1101010.



Ví dụ 1.4.2. Chúng ta cần đổi số thập phân 2003 sang hệ thập lục phân. Vì



số thập lục trong hệ thập phân được viết là 16 nên ta thực hiện liên tiếp các

phép chia cho 16 trong hệ thập phân:

2003 = 16 · 125 + 3,

125 = 16 · 7 + 13,

7 = 16 · 0 + 7.



Thuật chia dừng vì thương đã bằng 0. Các số dư viết trong hệ thập lục

phân tương ứng là: c0 = 3, c1 = D, c2 = 7; vậy số đã cho có biểu diễn trong

hệ thập lục phân là 7D3.



BÀI TẬP CHƯƠNG I



10



1. SỐ NGUYÊN



1. Chứng minh tính đúng đắn của đònh nghóa phép cộng, phép nhân trên

Z và (Z, +, ·) là một vành giao hoán.

2. Chứng minh rằng Z là miền nguyên, đếm được, cực tiểu chứa N như

là nửa nhóm con cộng và nửa nhóm con nhân.

3. Chứng minh rằng Z, ≤ là một vành được sắp thứ tự Archimed.

4. Chứng minh đònh lý1.5

5. Xác đònh thương và phần dư trong phép chia cho 7 và cho −7 của các

số:

a) 9



b) 99



c) 999



d) 9999



e) 99999



6. Xác đònh thương và phần dư trong phép chia cho

các số:

a) − 8



b) − 88



c) − 888



d) − 8888



17



và cho −17 của



e) − 88888



7. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là các số nguyên với a và c khác 0 sao

cho a | b và c | d thì ac | bd.

8. Giả sử a, b, c là các số nguyên và c = 0. Chứng minh rằng a | b khi và

chỉ khi ac | bc.

9. Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên và a | b thì an | bn với mọi

số số tự nhiên n.

10. Hãy đổi các số thập phân 1955, −1973 sang hệ sang hệ thập lục phân,

hệ tứ phân, hệ nhò phân, hệ bát phân.

11. Hãy đổi số thập lục phân ABCDEF sang hệä hệ nhò phân, hệ tứ phân

và hệ bát phân.

12. Hãy phát biểu việc chuyển đổi số từ hệ đếm cơ số r sang hệ đếm cơ

số rn và ngược lại ? khi r, n > 1 là các số nguyên dương.

13. Chứng minh rằng nếu b < −1 là một số nguyên thì mọi số nguyên

n = 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng

n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a1 b + a0



trong đó k là số nguyên không âm, các aj là số nguyên với 0 ≤ aj ≤

và hệ số đầu tiên ak = 0.

Hãy biểu diễn các số thập phân −7, −17, 61 trong hệ cơ số −2.

|b| − 1



11



1.4. BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN



14. Chứng minh rằng mọi số nguyên

nhất dưới dạng



n=0



đều viết được một cách duy



n = ak 3k + ak−1 3k−1 + · · · + a1 3 + a0



trong đó k là số nguyên không âm, các aj bằng −1, 0, hoặc 1 và hệ số

ak = 0.(Khai triển thăng bằng cánh én)

Hãy khai triển thăng bằng cánh én các số thập phân: 13, 40, 121.

15. Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố.

16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đều tồn tại n số tự nhiên

liên tiếp là hợp số.

17. Chứng minh rằng nếu a, n là các số nguyên dương sao cho a n − 1 là

số nguyên tố thì a = 2 và n là số nguyên tố.

18. Chứng minh rằng nếu n là hợp số thì nó có ước nguyên tố không vượt

√

quá n.

19. Chứng minh√ ng nếu ước nguyên tố nhỏ nhất p của số nguyên dương

rằ

n vượt quá n thì n/p là số nguyên tố hoặc bằng 1.

3



12



1. SỐ NGUYÊN



2

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT.

SỰ PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ

NGUYÊN TỐ.

2.1 Ước chung lớn nhất

Nếu a, b là các số nguyên không đồng thời bằng không, thì tập các ước chung

của a và b là hữu hạn và chứa các số +1 và −1. Chúng ta sẽ quan tâm đến

số nguyên lớn nhất nằm trong các ước chung này.

Ước chung lớn nhất của hai số nguyên không đồng thời bằng không a và

b là số nguyên lớn nhất chia hết đồng thời cả a và b.

Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b được ký hiệu là (a, b).

Khái niệm ước chung lớn nhất của của các số nguyên không đồng thời

bằng không a1 , a2 , · · · , an được hiểu hoàn toàn tương tự như khái niệm

ước chung lớn nhất của của các số nguyên. Đó chính là số nguyên lớn nhất

chia hết đồng thời tất cả các aj , 1 ≤ j ≤ n. Ước chung lớn nhất của của các

số nguyên a1 , a2 , · · · , an được ký hiệu là (a1 , a2 , · · · , an ).



Ví dụ 2.1.1. Ước chung của 24 và 84 là ±1,



đó (24, 84) = 12. Tương tự, ta có

1, (17, −289) = 17, (−6, −15) = 3.



±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Do

(100, 5) = 5, (0, 44) = 44, (−17, 25) =



(24, −84, 100) = 4, (15, 0, 20, −17) = 1, (10, 20, 30, 40, 55) = 5.



13



14 2. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT.SỰ PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ.

Chúng ta cũng quan tâm đến các cặp số nguyên mà chúng không có ước

chung lớn hơn 1. Các cặp số nguyên như vậy được gọi là nguyên tố cùng

nhau.

Hiển nhiên là (a, b) = (b, a) và (a, b) = (|a|, |b|).



Đònh lý 2.1. Nếu a, b, c là các số nguyên và (a, b) = d thì:

1. (a/d, b/d) = 1



2. (a + cb, b) = (a, b)

Chứng minh. Giả sử e là các số nguyên dương sao cho e | (a/d) và e | (b/d).



Thế thì có số nguyên k, l để a/d = ke và b/d = le, cũng vậy a = dek, b = del.

Vậy de là ước chung của a và b; từ đó de ≤ d; suy ra e = 1.

Nếu u là một ước chung của a và b, thì do đònh lý 1.5 ta có u | (a + cb);

vậy u là ước chung của a + cb và b. Ngược lại, nếu u là một ước chung của

a + cb và b, thì cũng do đònh lý 1.5 ta có u | (a + cb) − cb = a; vậy u là ước

chung của a và b.

Nếu a, b là các số nguyên, ta nói số nguyên dạng ma + nb là tổ hợp tuyến

tính của a và b, trong đó m, n là các số nguyên.

Một tập M = ∅ các số nguyên được gọi là một module nếuu nó có tính

chất: nếu m, n ∈ M thì m − n ∈ M.

Từ đònh nghóa của module suy ra rằng, nếu m, n ∈ M, thì

0 = m − m ∈ M, −n = 0 − n ∈ M, m + n = m − (−n) ∈ M.



Nói một cách khác, nếu a, b ∈ M thì các tổ hợp tuyến tính của a và b cũng

thuộc M. Module M = {0} được gọi là module tầm thường.



Đònh lý 2.2. Mỗi module không tầm thường



M chính là tập tất cả các bội

của một số nguyên dương nào đó.

Chứng minh. Vì M không tầm thường nên nó chứa số dương. Giả sử d là số



dương nhỏ nhất của M. Thế thì M chứa tất cả các bội của d.

Bây giờ giả sử m ∈ M . Từ đònh lý 1.6, ta có m = dk + c, 0 ≤ c < d.

Do m, dk ∈ M nên c = m − dk ∈ M. Vì d là số dương nhỏ nhất của M nên

c = 0, hay m là bội của d.