4 Chỉ số số học

70



5. CĂN NGUYÊN THỦY



Như vậy aind a ≡ a (mod m). Từ đònh nghóa ta cũng thấy ngay rằng, đối

với mọi số a, b nguyên tố cùng nhau với m, hệ thức a ≡ b (mod m) là tương

đương với indr a = indr b.

Có một số tính chất của chỉ số tương tự như của logarithm, chỉ có điều

thay dấu bằng bởi dấu đồng dư modulo ϕ(m).

r



Đònh lý 5.16. Giả sử số nguyên dương m có căn nguyên thuỷ r, và a, b là

các số nguyên tố cùng nhau với m. Thế thì:

1. indr 1 ≡ 0 (mod ϕ(m)).

2. indr (ab) ≡ indr a + indr b (mod ϕ(m)).

3. indr ak ≡ k · indr a (mod ϕ(m)) với k nguyên dương.



1.



Chứng minh.



r ϕ(m) ≡ 1 (mod m),



kéo theo



indr 1 = ϕ(m) ≡ 0



(mod ϕ(m)).



2.

3.



r indr (ab) ≡ ab ≡ rindr a · rindr b ≡ rindr a+indr b (mod m). Theo



ta có



đònh lý 5.2



indr (ab) ≡ indr a + indr b (mod ϕ(m)).

k



r indr a ≡ ak ≡ (rindr a )k ≡ rk·indr a (mod m),



kéo theo



indr ak ≡ k · indr a (mod ϕ(m)).



Ví dụ 5.4.1. Chúng ta cần giải đồng dư 7x ≡ 6



(mod 17). Dễ dàng xác đònh

modulo 17. Như vậy, bằng cách



được ϕ(17) = 16 và 3 là căn nguyên thuỷ

lấy chỉ số với cơ sở 3 modulo 17 cả hai vế, ta có



ind3 7x ≡ ind3 6 = 15 (mod 16).



Vì

nên



ind3 7x ≡ x · ind3 7 ≡ 11x (mod 16),

11x ≡ 15 (mod 16).



Do 3 là nghòch đảo của 11 modulo 16, nên

x ≡ 3 · 15 = 45 ≡ 13



(mod 16).



71



5.4. CHỈ SỐ SỐ HỌC



Giả sử m, k là các số nguyên dương và (a, m) = 1; ta sẽ nói a là thặng dư

lũy thừa k của m nếuu đồng dư xk ≡ a (mod m) có nghiệm.

Khi m có căn nguyên thuỷ, đònh lý sau đây sẽ cho một tiêu chuẩn để

xem số nguyên a nguyên tố cùng nhau với m có là thặng dư lũy thừa k của

m hay không.



Đònh lý 5.17. Giả sử

(a, m) = 1.



m có căn nguyên thuỷ, k là các số nguyên dương và

Thế thì: đồng dư xk ≡ a (mod m) có nghiệm khi và chỉ khi

aϕ(m)/d ≡ 1



(mod m)



trong đó d = (k, ϕ(m)). Hơn nữa, nếu đồng dư xk ≡ a (mod m) có nghiệm

thì có đúng d nghiệm không đồng dư nhau modulo m.

Chứng minh. Giả sử r là căn nguyên thuỷ của m. Đồng dư

xk ≡ a (mod m)



tương đương với



k · indr x ≡ indr a (mod ϕ(m)).



Đặt d = (k, ϕ(m)), y = indr x, hay cũng vậy x ≡ ry (mod m).

Ta đã biết đồng dư ky ≡ indr a (mod ϕ(m)) không có nghiệm

d indr a, hay cũng vậy, không có x thỏa



y



khi



xk ≡ a (mod m).



Trong trường hợp d | indr a, đồng dư ky ≡ indr a (mod ϕ(m)) có đúng d các

nghiệm y không đồng dư nhau modulo ϕ(m), do đó có đúng d nghiệm x của

xk ≡ a (mod m)



không đồøng dư nhau modulo m.

Mặt khác, ta có



d | indr a



tương đương với

(ϕ(m)/d)indr a ≡ 0



(mod ϕ(m)),



72



5. CĂN NGUYÊN THỦY



hay



indr aϕ(m)/d ≡ indr 1



(mod ϕ(m)).



Đồng dư cuối cùng lại tương đương với

aϕ(m)/d ≡ 1



(mod m).



Trong đònh lý trên, nếu m = p là số nguyên tố và (a, p) = 1 thì a là thặng

dư lũy thừa k của p khi và chỉ khi

a(p−1)/d ≡ 1



(mod p)



trong đó d = (k, p − 1).

Ví dụ 5.4.2. 1. Cần xác đònh xem 4 có là thặng dư lũy thừa năm của 11

hay không, nghóa là xét xem đồng dư

x5 ≡ 4 (mod 11)



có nghiệm hay không.

Ta có



410/(5,10) = 42 = 16 ≡ 1



(mod 11),



vậy 4 không là thặng dư lũy thừa năm của 11.

2. Ta có 4 là thặng dư bình phương của 11 vì

410/(2,10) = 45 = 1024 ≡ 1



vậy 4 là thặng dư bình phương của 11.



BÀI TẬP CHƯƠNG V



(mod 11),



73



5.4. CHỈ SỐ SỐ HỌC



1. Hãy tìm bậc của các số sau:

ord5 2; ord10 3; ord13 10; ord10 7;

ord11 3; ord17 2; ord21 10; ord25 9.



2. Hãy tìm tất cả các căn nguyên thuỷ của các số sau:

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.



3. Chứng minh rằng:

nếu a là nghòch đảo của a modulo m thì ordm a = ordm a.

¯

¯

4. Chứng minh rằng:

nếu (a, m) = (b, m) = (ordm a, ordm b) = 1 thì ordm (ab) = ordm a·ordm b.

5. Chứng minh rằng nếu (a, m) = 1 và ordm a = st thì ordm at = s.

6. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng r là căn nguyên thuỷ

modulo p khi và chỉ khi

r(p−1)/q ≡ 1



7.

8.

9.

10.

11.



(mod p)



đối với mọi ước nguyên tố q của p.

Chứng minh rằng nếu r là nghòch đảo của r modulo m và r là căn

¯

nguyên thuỷ của m thì r cũng là căn nguyên thuỷ của m.

¯

Giả sử m = an − 1, với a, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng

ordm a = n và n | ϕ(m).

Cho p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau. Chứng minh rằng pq là số

giả nguyên tố cơ sở 2 khi và chỉ khi ordq 2 | (p − 1) , ordp 2 | (q − 1).

Cho p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau. Chứng minh rằng pq là số

giả nguyên tố cơ sở 2 khi và chỉ khi Mp Mq = (2p − 1)(2q − 1) là số giả

nguyên tố cơ sở 2.

Xác đònh số nghiệm không đồng dư nhau modulo 11 của các đa thức

sau

x2 + 2;



x2 + 10;



x4 + x2 + 1.



12. Xác đònh số nghiệm không đồng dư nhau modulo

sau

x2 + 1;



x2 + 3x + 2;



x4 + x2 + x + 1.



13



của các đa thức



74



5. CĂN NGUYÊN THỦY



13. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng đồng dư x 2 ≡ −1

có nghiệm khi và chỉ khi p ≡ 1 (mod 4).



(mod p)



14. Giả sử q và p = 2q + 1 là các số nguyên tố, 1 < a < p − 1. Chứng minh

rằng p − a2 là căn căn nguyên thuỷ modulo p.

15. Các số nguyên nào trong các số từ 1 đến 100 có căn nguyên thuỷ.

16. Xác đònh tất cả các căn nguyên thuỷ modulo



22,



modulo



25,



modulo



38.



17. Chứng minh rằng m có căn nguyên thuỷ khi và chỉ khi đồng dư x2 ≡ 1

(mod m) chỉ có các nghiệm là x ≡ ±1 (mod m).

18. Giả sử n có căn nguyên thuỷ. Bằng cách sử dụng căn nguyên thuỷ,

hãy chứng minh rằng tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn n

và nguyên tố cùng nhau với n là đồng dư với −1 modulo n. (Khi n là

số nguyên tố, ta nhận được đònh lý Wilson.)

19. Xác đònh tất cả các nghiệm của đồng dư:

a)

c)



3x5 ≡ 1 (mod 23);

3x ≡ 2 (mod 23);



b)

d)



3x14 ≡ 2 (mod 23);

13x ≡ 5 (mod 23).



20. Tìm các số nguyên a để đồng dư sau có nghiệm:

a) ax4 ≡ 2 (mod 13);

b) 8x7 ≡ a (mod 29).

21. Sử dụng chỉ số với cơ sở



2



modulo



13



để tìm nghiệm của



2x ≡ x



(mod 13).



22. Xác đònh tất cả các nghiệm của đồng dư:



xx ≡ x (mod 23).



23. Cho p là số nguyên tốû lẻ và r là căn nguyên thuỷ của p. Chứng minh

rằng indr (p − 1) = (p − 1)/2.

24. Giả sử



p là số nguyên tốû lẻ. Chứng minh rằng

(mod p) có nghiệm khi và chỉ khi p ≡ 1 (mod 8).



đồng dư



25. Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 8k + 1.



x 4 ≡ −1



6

THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG

6.1 Thặêng dư bình phương

Giả sử m là số nguyên dương. Chúng ta nói rằng số nguyên a là thặng dư

bình phương của m nếuu (a, m) = 1 và đồng dư x2 ≡ a (mod m) có nghiệm.

Nếu đồng dư x2 ≡ a (mod m) không có nghiệm thì ta nói a là không thặng

dư bình phương.

Ví dụ 6.1.1. Để tìm các thặng dư bình phương của 11 chúng ta tính bình

phương của tất cả các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ta thấy 12 ≡ 102 ≡ 1



(11), 22 ≡ 92 ≡ 4 (11), 32 ≡ 82 ≡ 9 (11), 42 ≡ 72 ≡ 5 (11), 52 ≡ 62 ≡ 3

(11). Như vậy, các thặêng dư bình phương của 11 là: 1, 3, 4, 5, 9; các không

thặng dư bình phương của 11 là: 2, 6, 7, 8, 10.



Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu p là số nguyên tố lẻ thì số các thặng dư

bình phương bằng số các không thặng dư bình phương của p trong dãy

1, 2, · · · , p − 1.



Đònh lý 6.1. Nếu p là số nguyên tố lẻ và p



thì đồng dư x2 ≡ a (mod p)

hoặc không có nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm không đồng dư nhau modulo

a



p.



Chứng minh. Giả sử đồng dư x2 ≡ a (mod p) có nghiệm x = x0 . Ta thấy



x = −x0 cũng là nghiệm, vì (−x0 )2 = x2 ≡ a (mod p). Nhưng x0 ≡ −x0

0

(mod p); vì nếu trái lại thì p | x0 − (−x0 ) = 2x0 , điều này kéo theo p | x0 ,

và như vậy p | a.



75



76



6. THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG



Giả sử



x = x1 là một nghiệm của đồng dư x2 ≡ a (mod p). Thế thì

x2 ≡ a ≡ x2 (mod p). Suy ra p | x2 − x2 = (x1 − x0 )(x1 + x0 ); điều này kéo

1

0

1

0

theo p | (x1 − x0 ) hoặc p | (x1 + x0), hay cũng vậy x1 ≡ x0 (mod p) hoặc

x1 ≡ −x0 (mod p).



Đònh lý 6.2. Nếu p là số nguyên tố lẻ thì số các thặng dư bình phương bằng



số các không thặng dư bình phương của p trong dãy 1, 2, · · · , p − 1.



Chứng minh. Để xác đònh tất cả các các thặng dư bình phương của p trong



dãy 1, 2, · · · , p − 1 chúng ta tính các thặng dư dương nhỏ nhất modulo p

của bình phương của tất cả các số 1, 2, · · · , p − 1. Vì có cả thảy p − 1 các

bình phương và mỗi đồng dư x2 ≡ a (mod p) hoặc không có nghiệm hoặc

có đúng hai nghiệm, ta suy ra có đúng (p − 1)/2 các thặng dư bình phương,

và do đó có p − 1 − (p − 1)/2 = (p − 1)/2 các không thặng dư bình phương

của p.

Giả sử p là øsố nguyên tố lẻ và p a. Ta đònh nghóa ký hiệu Legendre

a

:=

p



1

−1



nếu a là thặng dư bình phương của p

nếu a là không thặng dư bình phương của p



Ví dụ 6.1.2. Trong ví dụ trước đã chỉ ra

3

4

5

9

1

=

=

=

=

= 1,

11

11

11

11

11

6

7

8

10

2

=

=

=

=

= −1.

11

11

11

11

11



Sau đây chúng ta đưa ra tiêu chuẩn của số nguyên là thặng dư bình

phương của số nguyên tố.



Đònh lý 6.3. Tiêu chuẩn Euler. Nếu p là số nguyên tố lẻ và p

a

≡ a(p−1)/2

p



thì



(mod p).



a

= 1.

p



Khi đó, đồng dư

nghiệm, giả sử là x = x0 . Theo đònh lý Fermat, ta có



Chứng minh. Trường hợp



a



a(p−1)/2 ≡ (x2 )(p−1)/2 = xp−1 ≡ 1

0

0



x2 ≡ a (mod p)



(mod p).



có