1 Khái niệm đồng dư
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (938.6 KB, 139 trang )
26
3. ĐỒNG DƯ
Quan hệ đồng dư modulo m chia Z thành các lớp tương đương. Tập các lớp
tương đương modulo m, thường được ký hiệu là Z/mZ, gồm các lớp tương
đương đôi một không giao nhau.
Hiển nhiên là các số nguyên 0, 1, ..., m − 1 thuộc về các lớp đồng dư
khác nhau modulo m. Vì rằng mỗi số nguyên n đều viết được n = mq+r, 0 ≤
r ≤ m − 1, nên số n này đồng dư với một trong các số 0, 1, ..., m − 1. Vậy
có đúng m lớp tương đương modulo m.
Ví dụ 3.1.2.
Z/4Z
gồm bốn lớp tương đương đôi một không giao nhau:
· · · ≡ −8 ≡ −4 ≡ 0 ≡ 4 ≡ 8 ≡ · · · (mod 4)
· · · ≡ −7 ≡ −3 ≡ 1 ≡ 5 ≡ 9 ≡ · · · (mod 4)
· · · ≡ −6 ≡ −2 ≡ 2 ≡ 6 ≡ 10 ≡ · · · (mod 4)
· · · ≡ −5 ≡ −1 ≡ 3 ≡ 7 ≡ 11 ≡ · · · (mod 4).
Đònh lý 3.2. Giả sử a, b, c, m là các số nguyên,
Khi đó:
1.
a − c ≡ b − c (mod m)
3.
và a ≡ b (mod m).
a + c ≡ b + c (mod m)
2.
m>0
ac ≡ bc (mod m)
Chứng minh. Dễ, đọc giả tự chứng minh, xem như bài tập.
Chú ý là: Từ hệ thức ac ≡ bc (mod m), nói chung không thể suy ra a ≡ b
(mod m); chẳng hạn 6·2 ≡ 1·2 (mod 10), nhưng 6 ≡ 1 (mod 10). Tuy nhiên
ta cũng có đònh lý sau.
Đònh lý 3.3. Nếu ac ≡ bc
(mod m), d = (c, m) thì a ≡ b (mod m/d). Đặc
biệt, nếu ac ≡ bc (mod m), (c, m) = 1 thì a ≡ b (mod m).
Chứng minh. Từ ac ≡ bc (mod m), ta suy ra m | (ac − bc) = c(a − b). Vậy
có số nguyên
k để c(a − b) = km. Suy ra (c/d)(a − b) = k(m/d), hay
(m/d) | (c/d)(a − b). Vì (m/d, c/d) = 1 nên (m/d) | (a − b), hay a ≡ b
(mod m/d).
27
3.1. KHÁI NIỆM ĐỒNG DƯ
Đònh lý 3.4. Nếu a ≡ b
(mod m)
1.
a + c ≡ b + d (mod m)
2.
a − c ≡ b − d (mod m)
3.
và c ≡ d (mod m) thì:
ac ≡ bd (mod m)
Chứng minh. Từ đònh lý 3.2 ta có
1.
a + c ≡ b + c (mod m) ≡ b + d (mod m)
2.
a − c ≡ b − c (mod m) ≡ b − d (mod m)
3.
ac ≡ bc (mod m) ≡ bd (mod m)
Từ đònh lý trên, ta có thể đònh nghóa phép cộng và phép nhân trên
như sau.
Z/mZ
Giả sử A và B là các lớp đồng dư modulo m, tương ứng chứa các phần
tử a và b. Khi đó A + B và A · B được hiểu là các lớp đồng dư modulo m,
tương ứng chứa các phần tử a + b và ab.
Dễ dàng thấy rằng (Z/mZ, +, ·) là một vành giao hoán. Phần tử 0 của
nhóm này chính là lớp gồm các bội của m. Phần tử đối của lớp chứa a chính
là lớp chứa −a.
Đònh lý 3.5. Nếu m1, m2 , ..., mk là các số nguyên dương và a ≡ b
a ≡ b (mod m2 ), ..., a ≡ b (mod mk )
(mod m1 ),
thì a ≡ b (mod [m1 , m2 , ..., mk ]).
Chứng minh. Ta có mj | (a − b), 1 ≤ j ≤ k. Từ bài tập 17, ta có
[m1 , m2 , ..., mk ] | (a − b),
hay a ≡ b
(mod [m1 , m2 , ..., mk ]).
28
3. ĐỒNG DƯ
3.2 Các đồng dư tuyến tính
Trong mục này chúng ta chỉ xét các đồng dư tuyến tính một biến. Đó là các
đồng dư dạng
ax ≡ b (mod m)
trong đó x được hiểu là số nguyên.
Trước hết ta có nhận xét rằng, nếu x = x0 là nghiệm của đồng dư ax ≡ b
(mod m) và x1 ≡ x0 (mod m) thì ax1 ≡ ax0 ≡ b (mod m), hay x − 1 cũng
là một nghiệm. Như vậy, nếu một phần tử của lớp đồng dư modulo m là
nghiệm thì tất cả các phần tử của lớp này cũng là nghiệm. Từ đây, vấn đề
được đặt ra là: có bao nhiêu lớp đồng dư modulo m là nghiệm.
Đònh lý 3.6. Giả sử a, b, m là các số nguyên, m > 0 và d = (a, m). Khi đó:
1. Nếu d b thì ax ≡ b (mod m) không có nghiệm
2. Nếu d | b thì ax ≡ b (mod m) có đúng d nghiệm không đồng dư nhau
modulo m. Đặc biệt, nếu (a, m) = 1 thì ax ≡ b (mod m) có duy nhất
nghiệm modulo m.
Chứng minh. Đồng dư ax ≡ b (mod m) là tương đương với phương trình
Diophantus tuyến tính hai biến ax − my = b. Số nguyên x là nghiệm của
phương trình ax ≡ b (mod m), khi và chỉ khi, có số số nguyên y với ax −
my = b. Từ đònh lý 2.8 ta có:
1. Nếu d
b
thì ax ≡ b
(mod m)
không có nghiệm.
2. Nếu d | b thì ax − my = b có các nghiệm là
x = x0 + (m/d)t, y = y0 + (a/d)t
trong đó x0,
y0
là một nghiệm riêng.
Vậy x = x0 +(m/d)t là tất cả các nghiệm của đồng dư ax ≡ b
(mod m).
Bây giờ chúng ta xác đònh số các nghiệm x không đồng dư nhau modulo
Ta thấy:
m.
x1 = x0 + (m/d)t1 ≡ x2 = x0 + (m/d)t2
(mod m)
29
3.2. CÁC ĐỒNG DƯ TUYẾN TÍNH
khi và chỉ khi
(m/d)t1 ≡ (m/d)t2
(mod m)
Vì (m/d, m) = m/d và dònh lý 3.3 nên hệ thức trên tương đương với
t1 ≡ t2
(mod d).
Do có đúng d lớp đồng dư modulo d nên ax ≡ b (mod m) có đúng d
nghiệm không đồng dư nhau modulo m. Có thể lấy d nghiệm không
đồng dư nhau modulo m làx = x0 + (m/d)tj , 0 ≤ j ≤ d − 1.
Ta đã biết, đồng dư ax ≡ 1 (mod m) có nghiệm khi và chỉ khi (a, m) | 1.
Trong trường hợp này nghiệm là duy nhất modulo m và nó được gọi là nghòch
của a modulo m.
Ví dụ 3.2.1. Nghòch đảo của 3 modulo 10 bằng 7, và ngược lại, nghòch đảo
của 7 modulo 10 bằng 3, vì 3 · 7 = 7 · 3 ≡ 1 (mod 10). Nghòch đảo của 1 và
của 9 modulo 10 bằng chính nó vì 1 · 1 ≡ 1 (mod 10) và 9 · 9 ≡ 1 (mod 10).
Các số 0, 2, 4, 5, 6, 8 không có nghòch đảo modulo 10.
Giả sử a là nghòch đảo của a modulo m. Khi đó dễ dàng thấy rằng đồng
dư ax ≡ b (mod m) có nghiệm duy nhất modulo m, đó là x ≡ ab (mod m).
Ví dụ 3.2.2. Chúng ta cần xác đònh tất cả các nghiệm của đồng dư 7x ≡ 4
(mod 12). Vì (7, 12) = 1 nên phương trình có duy nhất nghiệm modulo
12. Chúng ta chỉ cần xác đònh một nghiệm của phương trình Diophantus
7x + 12y = 4. Áp dụng thuật toán Euclid, ta có:
12 = 7 · 1 + 5,
7 = 5 · 1 + 2,
5 = 2 · 2 + 1,
2 = 1 · 1.
Suy ra
1=5−2·2
