2 Cơ sở lý thuyết chung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 69 trang )
∞
x(t ) = ∑ xk (t ) =
k =0
∞
1
A0 + ∑ Ak cos(2π f k t + ϕk )
2
k =1
Trong đó: fk = k.
(3.1)
1
T
(3.2)
Nếu biểu diễn (3.1) dưới dạng phức: ei2fkt = cos(2fkt) + i.sin(2fkt)
x(t ) =
=
∞
1
A0 + ∑ Re Ak .e i (2π f k t +ϕk )
2
k =1
(
∞
1
A0 + ∑ Re Z k .ei 2π fk t
=
2
k =1
(
)
)
với Z k = Ak e iϕk (3.3)
x(t ) =
=
(3.3)
∞
1
i 2π f t +ϕ
− i 2π f t +ϕ
A0 ∑ Ak e ( k k ) − e ( k k )
2 k =1
∞
∑
k =−∞
Ak i (2π f k t +ϕk )
.e
2
=
∞
∑X
k =−∞
n
Như vậy, so sánh (3.3) và (3.4) ta thấy: X k =
.ei 2π f k
(3.4)
Z k Ak iϕk
= .e
2
2
Từ (3.2) f(-k) = -fk; A(-k) = Ak; (-k) = -k X . ( −k ) = X k *
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(*): là số phức liên hợp
Đồ thị biểu diễn Ak(fk) gọi là phổ biên độ
k(fk) gọi là phổ pha (pha ban đầu)
(3.1)gọi là chuỗi Fourier thực 1 phía
(3.3)gọi là chuỗi Fourier phức 1 phía
(3.4)gọi là chuỗi Fourier phức 2 phía
b. Biến đổi Fourier liên tục
- Biến đổi Fourier biểu diễn dưới dạng phức:
F X ( t) = X ( f ) =
∞
∫ x(t) e
− ( i 2π ft )
dt
(3.7)
−∞
34
- Biến đổi ngược
F −1 { X ( f ) } = x(t ) =
∞
∫ X ( f )e
i 2π ft
df
(3.8)
−∞
Như vậy phép biến đổi F biến đổi tín hiệu x(t) từ miền thời gian (time domain) sang X(f) trong
miền tần số (frequency domain). Biến đổi này có tính hai chiều: F-1 biến đổi X(f) từ miền tần số
sang x(t) trong miền thời gian.
Mét số tính chất của biến đổi Fourier
- Biến đổi Fourier là tuyến tính
F [ x1 (t ) + x 2 (t )] = F [ ( x1 (t ) ] + F [ x 2 (t )
]
F [ a1 x1 (t )] = a1F [ x1 (t ) ]
- Các giá trị của X tại tần số f và (-f) là phức liên hợp:
X ( f ) = X * ( − f ) với
x(t) là thực
(3.10)
(3.10)
- Nếu g (t ) = x(t − t 0 ) ; t 0 :là hằng số
G ( f ) = F [ g (t ) ] = e − i 2π ft0 . X ( f )
(3.11)
t
a
- Nếu g (t ) = x( ) ; a:là hằng số
G ( f ) = F [ g (t ) ] = a X (af )
(3.12)
- Đối với phép nhân và phép chập
F [ x(t ).g (t ) ] = F [ x (t ) ] * F [ g (t )]
(3.13)
F [ x(t )* g (t ) ] = F [ x (t ) ] .F [ g (t ) ] (3.14)
(3.14)
c) Biến đổi Fourier rời rạc (discrete fourier transform:DFT)
và Biến đổi Fourier nhanh (Fast fourier transform:FFT)
Đối với tín hiệu số x(n), n = 1...N,
∆t =
1
Fs (F : tần số lấy mẫu và ∆t : độ phân giải thời gian),
s
ta có thuật toán biến đổi Fourier rời rạc:
1
X (k ) =
N
N
∑ x ( n )e
n =1
− i 2π ( k −1)
n −1
N
= F [ x (n ) ]
(3.15)
35
N
x ( n ) = ∑ X ( k )e
i 2π
( k −1)( n −1)
N
k =1
= F −1 { x (k )}
(3.16)
-Từ các giá trị đó của số điểm lấy mẫu N và ∆t : ta tính được T = ∆t ( N −1), khi đú cỏc điểm
tần số được xác định : f k = k
1
1
= ∆fk ; với ∆f = : độ phân giải tần số.
T
T
Như vậy đối với 1 tín hiệu thực trong miền thời gian, bằng biến đổi Fourier ta sẽ thu được 1
phổ phức với các điểm tần số rời rạc f k . Biên độ của hệ số Ak trong công thức (3.1) có quan hệ
với X(k) theo hệ thức:
Ak = 2 X (k )
(3.17)
góc pha ϕk = arctg
Re { X ( k )}
Im { X ( k )}
(3.18)
(3.18)
Khi N = 2 m với m nguyên (ví dụ: N = 512, 1024...) thì tồn tại một thuật toán biến đổi Fourier
nhanh (FFT). Các bộ FFT - Analyer hiện nay được ứng dụng rộng rãi để phõn tớch dao động.
3.2.3 Biến đổi Hilbert (Hilbert Transform) và tín hiệu giải tích
- Biến đổi Hilbert của tín hiệu x(t) được biểu diễn dưới dạng:
H { x(t )} =
∞
1 x(τ )
d (τ ) = h(t )
∫
n −∞ t − τ
H { X ( f )} =
(3.19)
∞
1 X (η )
dη = H ( f )
∫
n −∞ f − η
(3.20)
Như vậy biến đổi H được thực hiện từ miền thời gian miền thời gian
và miền tần sè miền tần số
- Biến đổi ngược: H −1 = − H
x(t ) = −
∞
1 h(τ )
∫ dτ
n −∞ t − τ
(3.21)
- Tín hiệu giải tích: tín hiệu giải tích của tín hiệu thực x(t) được định nghĩa:
ˆ(
x t ) = x(t ) + jH { x (t )} ,trong đó j là đơn vị ảo(3.22)
Vớ dô:
x(t ) = A cos(tω)
H { x(t )} = A sin(tω)
ˆ
x(t ) = A[ cos(tω ) + i sin(tω )] = Ae itω = Ae iϕ
36
(3.22)
- Tín hiệu giải tích có một số tính chất đặc bệt:
ˆ
Phổ tần số của x (t ) chỉ có thành phần tần số dương.
Và
ˆ
x (t )
là đường bao của tín hiệu x (t )
3.2.4 Các chỉ số thống kê của tín hiệu dao động
Giá trị
Trung
Tín hiệu liên tục
bình
đại
số
(mean)
Trung bình hiệu dụng
(root mean square -
Tín hiệu rời rạc
T
x=
%
x=
1
x (t ) dt
T∫
0
1
T
x=
T
∫ ( x(t ) − x )
2
%
x=
dt
0
1
N
N
∑x
i =1
1
N
i
N
∑( x − x )
2
i
i =1
RMS)
xmax = max ( x(t ) )
xmax = max ( x(t ) )
(maximum, minimum)
xmin = min ( x(t ) )
xmin = min ( x(t ) )
Trung bình chia (peak)
peak =
1
( xmax − xmin )
2
peak =
1
( xmax − xmin )
2
Crest =
peak
%
x
Crest =
peak
%
x
Cực đại và cực tiểu
Hệ sè Crest
(Crest factor)
Hệ sè Kurtosis
(Kurtosis factor)
Kurtosis =
1
T
T
∫ ( x(t ) − x ) dt
4
0
%
x
4
Kurtosis =
1
N
N
∑( x − x )
i =1
4
i
%
x4
Bảng 3.6: Các chỉ số thống kê của tín hiệu dao động
3.3 Một số phương pháp phân tích tín hiệu dao động máy
3.3.1 Phân tích phổ
Phổ tần số của tín hiệu x(t) cho phép ta xác định được các thành phần tần số của x(t). Bằng phép
biến đổi Fourier, ta có thể biểu diên X(f) dưới dạng phổ hai phía (tần số dương và tần số âm).
Trong thực tế ta chỉ giữ lại các thành phần tần số dương trên phổ để mô tả trên đồ thị.
Một sè tham sè quan trọng của 1 phổ tần số gồm:
- Độ phân giải tần số ∆ f =
1
1
=
(3.23)
T
∆t ( N −1)
37
(3.23)
t
trong đó ∆ : độ phân giải thời gian ∆t =
1
( f :tần số lấy mẫu)
fs s
N: số điểm lấy mẫu N: số điểm lấy mẫu
- Tần số biên (tần số Nyquist) f N =
fs
: phổ tần số chỉ nằm trong khoảng 0 f N là có ý nghĩa
2
(phần còn lại đối xứng)
- Các điểm tần sè f k = k∆f = k
1
T
(3.24)
Biểu diễn Ak theo fk ta thu được phổ biên độ của x(n), xem (3.17)
Biểu diễn k theo fk ta thu được 1 phổ pha của x(n), xem (3.18)
2
A
Biểu diễn k theo fk ta thu được phổ công suất của x(t)
2
- Ví dụ 1: Phân tích phổ tần số tín hiệu dao động tắt dần có phương trình:
x = e −2π f ν t A cos(2π ft + φ0 )
(*)
với: = 0,02; A = 2; f = 200 (Hz); 0 = 0; fs = 5000 (Hz); N = 4096.
Thêi gian (s)
Hình 3.7: Tín hiệu dao động tắt dần (*) trên miền thời gian
TÇn sè (Hz)
Hình 3.8: Phổ biên độ của tín hiệu dao động tắt dần (*)
38
