II. Các đại lượng cơ bản của phân bố xác suất.

•



Trung bình: Số d sao cho đường x = d chia khu vực trên thành 2 phần với diện



•



tích bằng nhau.

Kì vọng (giá trị trung bình): trung bình cộng của gía trị xác suất. Vì thế, hoành

độ của trọng tâm, hoặc điểm cân bằng của khu vực cũng là giá trị trung bình.

1. VÍ DỤ B:

Một số lượng lớn người dân được yêu cầu hoàn

thành một câu đố. Thời gian làm của mõi người được

ghi nhận.Các dữ liệu thể hiện trong đồ thị phân bố xác

suất bên phải, với thời gian dao động giữa 0 và 8 giây.

a.

b.

c.



Tim mode

Tìm trung bình

Tìm giá trị trung bình (kì vọng)



Giải

Chú ý rằng khu vực bóng mờ có diện tích bằng 1.

Yếu vị là hoành độ của điểm cao nhất, 2 giây.

Tìm đường thẳng đứng mà chia tam giác trên thành hai khu

a.



b.



vực, mõi khu vực có diện tích là 0.5. Một vài thử nghiệm

cho thấy trung bình khoảng 3 s. Tam giác nhỏ hơn có cạnh đáy là 5 và chiều

cao khoảng 2.

A ~ 0.5 x 5 x 0.2 ~ 0.5

Vì thế khoảng một nửa diện tích của tam giác nhỏ hơn nằm sau 3. Để tính

chính xác trung bình, bạn ó thể dùng phương trình của các đường hình thành

ranh giới của khu vực. Phương trình của đường thẳng đi qua (2, 0.25) và (8, 0)

là y = -(x -8)/24. Dùng phương trình này để tìm gái trị của trung bình, d, vì thế

diện tích tam gaics bên phải ó trung bình là 0.5.

A = 0.5bh = 0.5(8 – d)[-(d – 8)/24]

0.5 = 0.5(8 – d)[-(d – 8)/24]

1 = -(- d^2 -16d – 64)/24

- 24 = - d^2 -16d – 64

- d^2 -16d – 40 = 0

d ~ 3.101, 12.899



Diện tích của tam giác băng ½ tích của

cạnh đáy (8 – d) và chiều cao. Chiều cao là

gái trị của y tại x = d.

Giải tìm d khi diện tích là 0.5

Chia hia vế cho 0.5 và nhân nhị thức.

Nhân hai vế cho -24

Viết phương trình bậc 2 theo hình thức

chung



Sử dụng công thức bậc hai để giải ra d.



Gía trị thứ 2 là bên ngoài của miền xác định, vì vậy trung bình của phân

phối là khoảng 3.101.

c.



Bằng cách cắt ra hình tam giác và cân bằng nó trên đầu tẩy của 1 bút chì, bạn có

thể nhận được một ước lượng khá tốt mà giá trị trung binh là 3.33 in.



BÀI TẬP

III.1 Trả lời các bài tập 1-4 ở trang 729 cho mỗi phân phối dưới đây.



III.



1.

2.

3.

4.



Tìm chiều cao của hộp lưới trên trục y để diện tích là 1.

Tìm xác suất mà một giá trị được chọn ngấu nhiên sẽ nhỏ hơn 3.

Ước tính trung bình.

Ước tính giá trị trung bình.

III.2 Giả sử mõi người trong lớp bạn lựa chọn một bộ 4 số từ 1 đến 8

(cho phép lặp đi lặp lại) và mỗi người tính toán giá trị trung bình

của tập hợp của mình.



a. phát thảo một biểu đồ có thể có của các giá trị trung bình. Giải thích lí

do cho biểu đồ của bạn.

b. Dựa vào biểu đồ của bạn, ước tính giá trị trung bình và trung bình của

phân phối của bạn.



3.3 12. bảng này liệt kê các lứa tuổi của Chủ tịch và Phó Chủ tịch của Hoa

Kì khi lần đầu tiên họ nhận chức.

President

Washington

J. Adams

Jefferson

Madison

Monroe

J. Q. Adams

Jackson

Van Buren

W. Harrison

Tyler

Polk

Taylor

Fillmore

Pierce

Buchanon

Lincoln

A Johnson

Grant

Hayes

Garfield

Arthur

Cleveland

B Harrison



Tuổi

57

61

57

57

58

57

61

54

68

51

49

64

50

48

65

52

56

46

54

49

50

47

55



President

Mckinley

T. Rốevelt

Taft

Wilson

Harding

Coolidge

Hoover

F. D. Roosevelt

Truman

Eisenhower

Kennedy

L. B. Johnson

Nixon

Ford

Carter

Reagan

G. H. W. Bush

W. Clinton

G. W. Bush



Phó tổng thống

J. Adams

Jefferson

Burr

G. H. Clinton

Gerry

Tompkins

Calhoun

Van Buren

R. M. Johnson

Tyler

Dallas

Fillmore

King

Breckinridge

Hamlin

A. Johnson

Colfax

Wilson

Wheeler

Arthur

Hendricks

Morton

Stevenson

a.



Tuổi

53

53

45

65

68

42

42

50

56

50

52

49

66

36

51

56

45

61

56

51

65

64

57



Phó tổng thống

Hobart

T. Roosevelt

Fairbanks

Sherman

Marshall

Coolidge

Dawes

Curtis

Wallace

Truman

Barkley

Nixon

L. B. Johnson

Humphrey

Agnew

Ford

Rockefeller

Mondale

G. H. W. Bush

Quayle

Gore

7 Cheney



Nhập dữ liệu của hai danh sách vào máy tính riêng của bạn và tính giá trị trung

bình, độ lệch chuẩn, s, trung bình và IQR của mõi danh sách. So sách các dữ liệu



b.



được thiết lập dựa trên các thống kê này.

Vẽ một biểu đồ cho mõi tập dữ liệu. sử dụng cùng một phạm vi và kích cỡ cho

mõi đồ thị. Mô tả cách thức biểu đồ phản ánh số liệu thống kê cho mỗi bộ dữ



c.



liệu.

Tính toán cho mỗi muc và tạo ra hai danh sách mới để chuyển đổi các lứa tuổi



d.



trong danh sách thành một quy mô tiêu chuẩn hóa ( dịch lại)

Vùng biến thiên của các gía trị trong mỗi bản phân phối là gì? Giải thích những



e.

f.



đại diện của phân phối mới.

Vẽ biểu đồ cho mỗi tiêu chuẩn hóa. Sử dụng miền – 3.5 ≤ x ≤ 3.5.

So sánh và mô tả các đồ thị.



3.4



giả sử bạn tung 1 cặp xúc sắc cân xứng 5 lần. Xác suất để tổng là 8 ít nhất 3

lần?



BÀI 13.2:



PHÂN PHỐI CHUẨN



Trong chương 12 bạn đã tìm hiểu phân phối nhị thức, (p + q), cho biến ngẫu

nhiên rời rạc. Số các phép thử được đại diện bởi n, và p và q đại diện chỉ đại

diện cho haikeets quả của mỗi ặ kiện. Trong bài này bạn sẽ khám phá ra một số

tính chất của phân phối xác suất.



I.

1.



Điều tra

Cái chuông



Xét số đầu, x, khi 15 đòng xu cân xứng được tung cùng một lúc. Phân phối

xác suất, P(x), là một phân phối nhị thức, bởi vì có chính xác hai kết quả có thể

cho mỗi lần tung là đầu hoặc đuôi.

•



Bước 1: Phân phối xác suất nhị thức cho thử nghiệm này là



p



là xác suất xuất hiện dầu cho mỗi lần tung đồng xu. Tạo một bản tính cho hàm

này với mục bảng tạo giá trị nguyên của x từ 0đến 15. Bạn nên dùng giá trị nào

•



cho p?. Gái trị của x cho P(x) đạt gái trị lớn nhất.

Bước 2: Tạo hai danh sách, L1 và L2. Các mục trong danh sách L1 nên chứa tất

cả các giá trị có thể xẩy ra của x. Nhập các giá trị tương ứng của P(x) trong danh

sách L2. Bạn có thể thực hiện nhanh bằng cách xác định L2 như sự bieeur diễn

của Y1 (L1). Hoàn thành bản dưới đây. Tổng các giá trị trong danh sách 2 là bao

nhiêu? Tại sao câu trả lời này có ý nghĩa?



Đầu

P(x)



0



1



2



....



15



•



Bước 3: Tạo ra một biểu đồ tần số tương đối cho thấy sự phân bố của đầu. Sử

dụng danh sách 2 như tần số. Mô tả hình dạng và vùng gái trị của biểu đồ. Giá



•



trị lớn nhất là bao nhiêu?

Bước 4: vẽ đồ thị P(x) sử dụng cửa sổ với miền xác định quen thuộc, chẳng hạn

như [0,18.8, 1, -0.01, 0.25, 0.1]. Bạn có thể bậc chế độ ẩn các trục để thấy tất cả

các điểm. Giá trị nào của x để hàm số xác định? Viết một mô tả ngắn gọn cho

biểu đồ. Bao gồm hình dạng và ước tính của bạn cho mode, trung bình, và giá trị

trung bình của phân phối.Làm thế nào đẻ biểu đồ này khác với biểu đồ trong

bước 3?



•



Bước 5: vẽ đồ thị



sử dụng một cửa sổ với miền xác định



quen thuộc, chẳng hạn như [0, 47, 1, -0.01, -0.25, 0.1]. Những thử nghiệm lý

thuyết này mô tả phương trình nào?. Một lần nũa, viết mô tả ngắn gọn cho biểu

đồ bao gồm hình dạng, tập xác định và vùng giá trị, và ước tính của bạn cho

mode, trung bình và giá trị trung bình của phân phối. So sánh đồ thị này với đồ

•



thị trong bước 4.

Bước 6: Nhập các giá trị được xác định của x và P(x) trong các danh sách L1 và

L2. Sau đó tìm giá trị tủng bình và đọ lệch chuẩn của phân phối.[ Xem Lưu ý



•



tính 2B để hiểu làm thế nào để tìm số liệu thống kê của bảng tần số.]

Bước 7: Nếu số đồng tiền tăng lên. Câu trả lời cho bước 6 và 7 có thay đổi

không? Viết dự đoán của bạn và sau đó xác minh chúng.

Như tăng lên càng lớn, phân phối nhị thức trông càng giống đường cong

liên tục hình chuông bên phải. Sự phân phối dân số lớn có

hình dạng này. Chiều cao, kích thước quần áo và những

điểm kiểm tra là một vài ví dụ. Trong thực tế đường cong

hình chuông rất phổ biến, nó được gọi là đường cong chuẩn, và phân phối hình

chuông được gọi là phân phối chuẩn.

Các đường cong chuẩn thường phân phối của một mẫu hay toàn bộ dân

số. Bạn có thể sử dụng x và s để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn

của một mẫu, nhưng bạn sử dụng muy và sigma ( phát âm là “mew” và “sigma”)

để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của toàn bộ dân số.