Khu vực và phân phối

bình được gọi là z-giá trị. Về z-giá trị, cuộc điều tra đã yêu cầuxác suất mà một

phép đo mới sẽ có một giá trị z giữa -1 và 1, giữa- 2 và2, và giữa -3 và 3. Quy

luật 68-95-99.7 đã trả lời cho những câu hỏi về 68%, 95%, và 99.7%

Đối với quy luật 68-95-99.7,68% số

giá trị nằm trong khoảng 1 lần độ

lệch chuẩn so với trị trung bình,

khoảng 95% số giá trị trong khoảng

hai lần độ lệch chuẩn và khoảng

99.7% nằm trong khoảng 3 lần độ

lệch chuẩn.



Biến ngẫu nhiên x có số trung bình là 0 và phương sai là 1 thì z được gọi là

biến ngẫu nhiên chuẩn hóa,và được tính bằng công thức .Sau đây là ví dụ minh

họa về biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa:

2. VÍ DỤ A:

Chiều cao của một nhóm nam giới được phân phối chuẩn với số trung bình

là 70 in và độ lệch chuẩn là 2.5 in.

a. Tìm xác suất để giá trị z là 67.5 in và 72.5 in

b. Tìm xác suất để 67.5
c. Tìm khoảng giá trị của x, đối xứng với giá trị trung bình,chứa 90% chiều cao.

Giải

Đối với dân số này, µ = 70 và σ = 2,5.

a.



Sử dụng công thức

= -1



để chuẩn hóa các biến

và



Trong bản phân phối này, 67,5 tương ứng với một giá trị z là -1, có nghĩa

là giá trịđộ lệch chuẩn dưới trung bình. Chiều cao 72,5 nhập tương ứngmột z-giá

trị là 1, có nghĩa là độ lệch chuẩn trên trung bình.

b. Z-giá trị của 65in là hoặc -2, và z-giá trị của 75in là



hoặc 2.



Xác suất 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn so với giá trị

trung bình.. Đồ thị dưới đây sẽ khẳng định dự đoán này. (Xem lưu ý 13c để nhớ

lại cách vẽ đường cong này)



c. Bạn đã biết rằng 68% chiều cao rơi vào khoảng -1 ≤ z ≤ 1 ,tương ứng

với



67,5 ≤ x ≤ 72,5 . Bạn cũng biết rằng 95% chiều cao rơi vàokhoảng 65≤



x ≤ 75. Vì vậy, bạn có thể đoán rằng một khoảng thời gian khoảng 66 ≤ x ≤

74 sẽ chứa 90% độ cao. Sử dụng máy tính và thử nghiệm và tìm lỗi để được kết

quả chính xác nhất. Màn hình máy tính dưới đây cho thấy rằng khoảng 65,8875

≤ x ≤ 74,1125 chứa 90,003% dữ liệu.



Sử dụng giá trị z và nguyên tắc 68-9599.7 giúp bạn họcvề dân số từ một mẫu

phân bố chuẩn lấy từ những người đó?

Bạn có thể kết luận, choví dụ, rằng xác

suất là 68% số giá trị nằm trong khoảng

1 độ lệch chuẩn so với trị trung bình .

Không thực sự như vậy, các dân số có

thể hoặc không nằm trong khoảng này,

vì vậy khả năng mà nó có là 0 hoặc 1.

Nhưng bạn có thể khẳng định giá trị

trung bình dân số nằm trong một

khoảng cụ thể.



II. Khoảng tin cậy



Giả sử một mẫu từ phương sai tổng thể có phân bố chuẩn với kích thước n

và giá trị trung bình , và độ lệch chuẩn của phương sai tổng thể σ. Khi đó

khoảng tin cậy p% là một khoảng xung quanh giá trị trung bìnhtrong đó bạn có

thể khẳng định rằng p% là trung bình của tổng thể,µ. Nếu z là độ lệch chuẩn từ

giá trị trung bình thì p% là dữ liệu phân bố chuẩn, các khoảng tin cậy p% là

-<µ<+

Khoảng tin cậy cũng có thể được thể hiện như

µ=



hay µ = (- , + )



Trong tình huống thực tế, bạn có thể không biết độ lệch chuẩn tổng thể.

Tuy nhiên, nếu cỡ mẫu đủ lớn, thường n > 30, bạn có thể sử dụng độ lệch chuẩn

mẫu, s, trongđặt khi tính toán khoảng tin cậy.

1. Ví dụ

VÍ DỤ A:

Lớp học của bạn có được một mẫu của 30 phép đo chiều dài của dây, với

giá trị trung bình là 32,4 cm và độ lệch chuẩn 0,8 cm. Bạn không thể nói rằng

trung bình dân số là chính xác32,4 cm. Nhưng bạn có thể mô tả khoảng tin cậy

của của giá trị trung bình tổng thể (chiều dài thực tế của dây) nằm trong một

khoảng. Ví dụ, khi biết rằng 95% dữ liệu phân bố chuẩn có một giá trị z giữa -2

và 2, bạn có thể nói rằng 95% dộ tin cậy giá trị trung bình của tổng thể nằm

trong khoảng ( 32.4 – ; 32.4 + ) hoặc (32.1; 32.7).

Nguyên tắc 68-95-99.7 rất hữu ích trong trường hợp như thế này, nhưng

đôi khi bạn muốn độ tin cậy là một tỉ lệ phần trăm khác 68%, 95%, hay 99,7%.

Bạn có thể tìm thấy sự liên quan của giá trị z bằng thử nghiệm với một đường

cong chuẩn và cố gắng để tìm thấy một khu vực đối xứng với giá trị trung bình

mà có tỷ lệ phần trăm mong muốn của tổng diện tích. Đây là giá trị z ứng với

những khoảng tin cậy hay được sử dụng:

Khoảng tin cậy

Giá trị z



90 %

1.645



99% 99.9%

2.576 3.291



Trong ví dụ sau, khoảng tin cậy được tính bằng z-giá trị từ bảng này.

VÍ DỤ B:

Jackson là huấn luyện viên cuộc đua xe 100 m. Ông ta bấm giờ chạy của

mình là 11,47s. Kinh nghiệm trong các khóa đào tạo trước đó chỉ ra rằng độ lệch

chuẩn cho thời gian đua là 0,28 s.

a. Tìm các khoảng tin cậy 95%.

b. Những khoảng tin cậy tương ứng với 2,3 độ lệch chuẩn?

c. Tìm khoảng tin cậy 90%.



Giải

Bởi vì chỉ biết được thời gian một lần chạy, giá trị cho n là 1. Một khoảng

tin cậy được cho như: (11.47 – ; 11.47 – ). Đây là khoảng bắt đầu và kết thúc

11.47 0.28z

a. Từ quy tắc 68-95-99.7, z có giá trị cho 95% là

khoảng hai lần độ lệch chuẩn.Khoảng bắt đầu và

kết thúc là khoảng tin cậy, sau đó, là 11,47 0,28

(2). Huấn luyện viên cho rằng 95% độ tin cậy

thời gian thực tế là giữa khoảng 10,91 và 12,03

s.

b.Từ suy đoán-và-kiểm tra, khoảng bắt đầu và

kết thúc là 11,47 0,28 (2.3), có nghĩa là, hoặc

giữa 10,826 và 12,114 s, có một xác suất của N

(10,826, 12,114, 11.47, 0.28), hoặc .9786. Một

giá trị có độ lệch chuẩn 2.3 tương ứng với một

khoảng tin cậy 98%.

c. Sử dụng bảng ở trang 748, huấn luyện viên

cho rằng 90% độ tin cậy thời gian thực tế là giữa

11,47 0,28 (1.645), hoặc giữa 11,01 và 11,93 s.

Trong ví dụ B, huấn luyện viên chỉ dựa vào thời gian của một lần đo duy

nhất. Nếu có bốn người, thay vì chỉ có một, cùng tính thời gian chạy, và giá trị

trung bình của những lần đo được là 11,47 s, sau đó là 95% sẽ rơi vào khoảng

bắt đầu và kết thúc 11.47 , làm cho nó nằm giữa 11,19 và 11,75 s. Nói chung,

lớn hơn kích thước mẫu, hẹp khoảng tin cậy của giá trị trung bình của phương

sai tổng thể.

III. Bài tập

3.1



Thực hành kỹ năng của bạn

1. Theo dõi các đường cong chuẩn ở bên phải trang

giấy.Hãy vẽ thêm các đương đẻ chứng minh quy tắc

68-95-99.7.

2. Một tập hợp các dữ liệu phân phối có giá trị trung bình là 63 và độ lệch



chuẩn là 1.4. Tìm giá trị z cho mỗi giá trị dữ liệu



a. 64,4



b. 58,8



c. 65,2



d. 62



3. Một tập hợp các dữ liệu phân phối có giá trị trung bình là 125 và độ lệch

chuẩn là 2.4 Tìm giá trị z cho mỗi giá trị dữ liệu

a. z = -1



b. z = 2



c. z = 2,9



d. z = - 0,5



3.2 Lý do và Áp dụng

4 . Thời gian đi lại trung bình giữa hai điểm dừng xe

buýt là 58 phút với độ lệch chuẩn là 4,5 phút .

a . Tìm giá trị z cho một chuyến đi mà phải mất

66,1 phút

b . Tìm các giá trị z cho một chuyến đi mà phải

mất 55 phút .

c . Tìm xác suất mà các chuyến đi xe buýt mất từ

55 đến 66,1 phút .

5 . Một tập hợp các dữ liệu phân phối có giá tri trung bình 47s và độ lệch

chuẩn là 0,6 s. Tìm tỷ lệphầntrăm của dữ liệu trong các khoảng:

a . từ 45s đến 47s

b . trên 1.5s hoặc dưới trung bình

6. ÁP DỤNG Năm mươi nghiên cứu gần đây về vận tốc của ô tô cho thấy thời

lượng trung bình là 31 mi / gal với độ lệch chuẩn là 2,6 mi / gal . Giả sử đó là

phân phối chuẩn, tìm khoảng tin cậy 95 % .

7 . ÁP DỤNG Một hãng hàng không cho biết , trong vòng 60 ngày qua, trung

bình bán được 207,5 vé cho hành khách bay 7:24 sáng. Độ lệch chuẩn của dữ

liệu là 12 hành khách.

a. Giả sử đây là phân phối chuẩn , tìm khoảng tin cậy 95 % .

b.Nếu máy bay có 225 ghế ngồi , thì máy bay có bị quá tải hay không ?

3.3 Xem xét

8. Chọn một số thực ngẫu nhiên trong khoảng tử 0 đến 50, theo phân phối xác

suất ở bên phải. Tìm các giá trị mô tả