BÀI 13.2: PHÂN PHỐI CHUẨN

•



Bước 3: Tạo ra một biểu đồ tần số tương đối cho thấy sự phân bố của đầu. Sử

dụng danh sách 2 như tần số. Mô tả hình dạng và vùng gái trị của biểu đồ. Giá



•



trị lớn nhất là bao nhiêu?

Bước 4: vẽ đồ thị P(x) sử dụng cửa sổ với miền xác định quen thuộc, chẳng hạn

như [0,18.8, 1, -0.01, 0.25, 0.1]. Bạn có thể bậc chế độ ẩn các trục để thấy tất cả

các điểm. Giá trị nào của x để hàm số xác định? Viết một mô tả ngắn gọn cho

biểu đồ. Bao gồm hình dạng và ước tính của bạn cho mode, trung bình, và giá trị

trung bình của phân phối.Làm thế nào đẻ biểu đồ này khác với biểu đồ trong

bước 3?



•



Bước 5: vẽ đồ thị



sử dụng một cửa sổ với miền xác định



quen thuộc, chẳng hạn như [0, 47, 1, -0.01, -0.25, 0.1]. Những thử nghiệm lý

thuyết này mô tả phương trình nào?. Một lần nũa, viết mô tả ngắn gọn cho biểu

đồ bao gồm hình dạng, tập xác định và vùng giá trị, và ước tính của bạn cho

mode, trung bình và giá trị trung bình của phân phối. So sánh đồ thị này với đồ

•



thị trong bước 4.

Bước 6: Nhập các giá trị được xác định của x và P(x) trong các danh sách L1 và

L2. Sau đó tìm giá trị tủng bình và đọ lệch chuẩn của phân phối.[ Xem Lưu ý



•



tính 2B để hiểu làm thế nào để tìm số liệu thống kê của bảng tần số.]

Bước 7: Nếu số đồng tiền tăng lên. Câu trả lời cho bước 6 và 7 có thay đổi

không? Viết dự đoán của bạn và sau đó xác minh chúng.

Như tăng lên càng lớn, phân phối nhị thức trông càng giống đường cong

liên tục hình chuông bên phải. Sự phân phối dân số lớn có

hình dạng này. Chiều cao, kích thước quần áo và những

điểm kiểm tra là một vài ví dụ. Trong thực tế đường cong

hình chuông rất phổ biến, nó được gọi là đường cong chuẩn, và phân phối hình

chuông được gọi là phân phối chuẩn.

Các đường cong chuẩn thường phân phối của một mẫu hay toàn bộ dân

số. Bạn có thể sử dụng x và s để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn

của một mẫu, nhưng bạn sử dụng muy và sigma ( phát âm là “mew” và “sigma”)

để đại diện cho giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của toàn bộ dân số.



Trong chương này bạn sẽ thấy một số tính chất của phân phối chuẩn.

Phương trình tổng quát của một đường cong phân phối chuẩn có dạng y=. Nếu

bạn vẽ đồ thị hàm số y =, bạn sẽ có dd]ơcj một đường conh hình chung đối xứng

qua trục thẳng đứng. Để mô tả một phân phối đặc biệt của dữ liệu, bạn dịch các

đường cong theo chiều ngang được tập trung tại giá trị trung bình của dữ liệu, và

bạn căng nó theo chiều ngang để phù hợp với độ lệch chuẩn của dữ liệu. Sau đó,

bạn thu nhỏ nó theo chiều dọc để diện tích là một. Các bước này được thể hiện

qua đồ họa dưới đây. Bạn sẽ muốn bắt đầu với một hàm gốc có độ lệch chuẩn là

một.



Hàm gốc của phân phối xác suất có độ lệch chuẩn là một, và được gọi là

phân phối chuẩn chính tắc để đáp ứng các điều kiện của phân phối chuẩn chính

tắc, các nhà thống kê đã sử dụng toán học tiên tiến để xác định các giá trị của a

và b trong phương trình y =. . Gía trị của a liên quan đến số



a=



1

2π ≈



π



.



0.399



Giá trị của b liên quan đến một hằng số toán học thông thường, số siêu

việt e.

b=



e ≈



1.649



Máy tính cho phép bạn làm việc với những con số khá dễ dàng

2.



Ví dụ

Một nhóm học sinh căng 500 đồng xu Mĩ họ nhaqanj ra rằng những đống



xu có cân nặng được phân phối chuẩn với một giá trị trung bình là 3.1gam và độ

a.



lệch chuẩn là 0.14g.

Sử dụng máy tính của bạn để tạo ra một đồ thị cho đường cong chuẩn này.



b.



Xác suất mà một đồng xu được chọn ngẫu nhiên có cân nặng giữa 3.2 và 3.4g là



c.



bao nhiêu?

Xác suất mà một đồng xu được chọn ngẫu nhiên có cân nặng lớn hơn 3.3g là



d.



bao nhiêu?

Xác suất mà cân nặng của một đồng xu sẽ nằm giữa một độ lệch chuẩn của giá

trị trung bình? Hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình? Ba độ lệch chuẩn của



a.



giá trị trung bình?

Giải

Giá trị trung bình là 3.1 và độ lệch chuẩn là 0.14g

Bạn có thể vẽ độ thị đường cong xác suất sử dụng n( x, 3.1, 0.14 )



b.



Xác suất mà một đồng xu chọn được ngẫu nhiên sẽ có trọng lượng giữa 3.2 và

3.4g bằng với diện tích dưới đường cong chuẩn giữa 3.2 và 3.4g.



Bạn có thể sử dụng N ( 3.2, 3.4, 3.1, 0.14 ) để tìm diện tích này. Diện tích

khoảng 0.22, vì thế cơ hội là 22% để một đông xu lựa chọn ngẫu nhiên sẽ có

c.



khối lượng giữa 3.2 và 3.4g.

Bạn muốn tìm diện tích dưới đường cong bên phải của 3.3g tuy nhiên khoảng

này không có giới hạn trên. Làm thế nào để xây dựng ràng buộc trên. Cho dù

bạn sử dụng 100 hoặc 1000, bạn cũng nhận được câu trả lời tương tự, chính xác

đến 8 chữ số.

N(3.3, 100, 3.1, 0.14) = .0765637714

N(3.3, 1000, 3.1, 0.14) = .0765637714



d.



Vì vậy bạn có thể sử dụng bất kì một số nào cho giới hạn trên.

Xác suất mà một đồng xu sẽ nặng hơn 3.3g là khoảng 0.07.

Xác suất mà khối lượng sẽ nằm trong một độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là

N ( 3.1 – 0.14, 3.1 + 0.14, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.683. Xác suất mà khối lượng

sẽ nằm trong hai độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 – 0.28, 3.1 +



0.28, 3.1, 0.14 ), hoặc xấp sĩ 0.995. Xác suất mà khối lượng sẽ nằm trong ba độ

lệch chuẩn của giá trị trung bình là N ( 3.1 – 0.42, 3.1 + 0.42, 3.1, 0.14 ), hoặc

xấp sĩ 0.997.

Phân phối chuẩn

Phương trình của một phân phối chuẩn với giá trị trung bình

chuẩn



σ



µ



và độ lệch



là



Nhìn vào độ cao của một đường cong chuẩn. Tại các điểm mà một độ lệch

chuẩn chính xác từ giá trị trung bình, những thay đổi đường cong giữa uốn cong

xuống ( một phần của đường cong có độ giốc giảm) và uốn cong lên phía trên

( các bộ phận của đường cong có độ dốc tăng). Các điểm này được gọi là điểm

uốn. Bạn có thể ước tính độ lệch chuẩn của mọi phân phối chuẫn bằng cách xác

định điểm uốn của đồ thị của nó.



II.

2.1.



BÀI TẬP

Từ mỗi phương trình, ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn.



2.2.



Từ mỗi độ thị, ước tính giá trị và độ lệch chuẩn.



Các nhà sản xuất Sweet Sips nước uống trái cây 100% đã phát hiện ra rằng máy



2.3.



điền của họ sẽ điền vào một chai với độ lệch chuẩn là 0.75 o z. Kiểm soát trên

máy tính sẽ thay đổi giá tri trung bình nhưng sẽ không ảnh hưởng đến độ lệch

a.



chuẩn.

Họ nên đặt giá trị trung bình ở đâu để 90% các chai có ít nhất 12 o z nước trái



b.



cây trong chúng?

Nếu một chai nước uống trái cây có thể giữ 13.5 o z trước khi tràn, bao nhieu

phần trăm chai sẽ tràn ở ví dụ 8a?



BÀI 13.4:



GIÁ TRỊ Z VÀ KHOẢNG TIN CẬY



I. Điều tra

1. Khu vực và phân phối

Bất kỳ một phép đo chiều dài nào của một đối tượng cũng chỉ là xấp xỉ chiều

dài thực tế. Thông thường,các phép đo được thực hiện bởi nhiều người sẽ được

phân phối chuẩn. Bạn sẽ sử dụng ý tưởng này để khám phá khu vực dưới đường

cong.

•



Bước 1:



Đo chiều dài của sợi dây thừng, chính xác đến

0,1cm. Giả sử đo lường của bạn là giá trị trung bình

của tất cả các phép đo và có độ lệch chuẩn là 0,8 cm.

Phác họa một đường cong dựa trên đo lường của bạn.

•



Bước 2 :



Sử dụng phần dưới đường cong để tìm xác suất mà một phép đo mới sẽ là

a. trong vòng một độ lệch chuẩn của chiều dài đó. (Tức là, tìm diện tích giữa

-0,8 và + 0,8).

b. trong hai độ lệch chuẩn của chiều dài đó

c. trong ba độ lệch chuẩn của chiều dài đó

•



Bước 3:



Có một quy luật trong thống kê được gọi là " quy luật 68-95-99.7." .So sánh

kết quả của bạn từ bước2 với những thành viên trong nhóm của bạn, và viết một

quy luật mà có thể theo tên đó.

Khi nói rằng trọng lượng trung bình của một đồng xu là 0,4 g thì bạn không

thể biết được liệu những giá trị nhỏ hơn nó là thiểu số hay đa số.Nhưng nếu nói

rằng trọng lượng của một đồng xu có độ lệch chuẩn là 2,86 từ giá trị trung bình

thì đó là giá trị thiểu số.

Trong nghiên cứu này, bạn sẽ tập trung vào hai thông số độ lệch chuẩn và giá

trị trung .Giá trị độ lệch chuẩn của một phân phối chuẩn biến x là giá trị trung



bình được gọi là z-giá trị. Về z-giá trị, cuộc điều tra đã yêu cầuxác suất mà một

phép đo mới sẽ có một giá trị z giữa -1 và 1, giữa- 2 và2, và giữa -3 và 3. Quy

luật 68-95-99.7 đã trả lời cho những câu hỏi về 68%, 95%, và 99.7%

Đối với quy luật 68-95-99.7,68% số

giá trị nằm trong khoảng 1 lần độ

lệch chuẩn so với trị trung bình,

khoảng 95% số giá trị trong khoảng

hai lần độ lệch chuẩn và khoảng

99.7% nằm trong khoảng 3 lần độ

lệch chuẩn.



Biến ngẫu nhiên x có số trung bình là 0 và phương sai là 1 thì z được gọi là

biến ngẫu nhiên chuẩn hóa,và được tính bằng công thức .Sau đây là ví dụ minh

họa về biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa:

2. VÍ DỤ A:

Chiều cao của một nhóm nam giới được phân phối chuẩn với số trung bình

là 70 in và độ lệch chuẩn là 2.5 in.

a. Tìm xác suất để giá trị z là 67.5 in và 72.5 in

b. Tìm xác suất để 67.5
c. Tìm khoảng giá trị của x, đối xứng với giá trị trung bình,chứa 90% chiều cao.

Giải

Đối với dân số này, µ = 70 và σ = 2,5.

a.



Sử dụng công thức

= -1



để chuẩn hóa các biến

và



Trong bản phân phối này, 67,5 tương ứng với một giá trị z là -1, có nghĩa

là giá trịđộ lệch chuẩn dưới trung bình. Chiều cao 72,5 nhập tương ứngmột z-giá

trị là 1, có nghĩa là độ lệch chuẩn trên trung bình.

b. Z-giá trị của 65in là hoặc -2, và z-giá trị của 75in là



hoặc 2.