3 t 2(3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (580.64 KB, 71 trang )
nhau. Vậy MH nhỏ nhất khi và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau AB và d.
-Bài toán này được giải dựa trên lập luận như trên.
Lời giải:
- Lấy điểm M trên đường thẳng d, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
đường thẳng AB.
- Tam giác MAB có diện tích S =
1
2
AB.MH đạt giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ
nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AB và đường thẳng d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u = (1;1;0)
Đt AB
AB = (0; -2;-2) = −2u1
qua A(1;
2; 3) và
vu
là véc tơ chỉ phương của đường
1
ớ = (0; thẳng AB.
x=1
i 1;1)
Phương trình tham y = 2 + t '
số đường thẳng AB
∈d
z=3+t'
M(2 + t;MHt;= (
4+ -2)
,H(1; 2+ t’;3+t’)
∈ AB ,
-t -1; t’ – t -2; t’ +5)
. .
MH u1
t
t ' = −3
M
'−
H.
2t
u
=3
=
0
⇔
⇔
. = −3
__.
2t '− t = −3
t
. =0
Ta
có
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =
2
3
, AB =
2
2
Diệ S
n
tích
∆
MA
B
=
6
1
AB.MH =
2
x
Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d: y
cầu
z
tiếp xúc với cả hai ñường thẳng d và trục Ox, hãy
Lời giải:
- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I,
bán kính R tiếp xúc với d tại M,
tiếp xúc với Ox tại N
- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN,
do đó mặt cầu (S) có đường kính
nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ
khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn
vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d u = (0;1; −1)
qua M(0; 0; 2),
có vtcp
Ox i = (1;0;0)
qua
O(0;
0;
0),
có
vtcp
OM
≠0
[ u, i ]
nên d và Ox
= (0; 0; -1) chéo nhau.
(0; 0; 2) =
-2
Với M(0; t; 2MN = (
t)∈ d, N(t’; 0;
t’; -t; t –
0)∈ Ox và
. .
2)
M
N
.
u
−t
t
−
+2
=0
t=1
=
Ta
có
0
. ⇔
. t '
=
0
.
i
⇔ t'=0
=
0 MN
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R
MN
=
=
2
2 2
2
2
1
1
2
2
2
Phương trình mặt cầu (S): x + ( y − ) + (z − ) =
2
2
1
2
3. Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của
đường thẳng, mặt phẳng
Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñ
thẳng
∆ không ñi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (α) ch
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
lên mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc
của A lên ∆, K cố định, đoạn AK không đổi.
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK, vậy d(A;
(α)) lớn nhất thì H ≡ K, khi đó mp(α) là mặt
phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK. Hay
mp(α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).
*) Dựa vào bài toán tổng quát trên, ta áp dụng
vào giải chi tiết ví dụ 1, ví dụ 2 như sau:
Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho ba ñiểm A(2; 1; 3), B(3
Viết phương trình mặt phẳng (α) ñi qua hai ñiểm A,
khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C
một khoảng lớn nhất khi mp(α)
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với
mp(ABC).
Ta AB = (1; −1; −1) , AC = (−2; −3; −2)
có:
mp(ABC) có
n = [AB, AC] = (−1; 4; −5)
vectơ pháp tuyến
mp(α) có vectơ n = [n, AB] = (−9 − 6; −3)
α
pháp tuyến
= −3(3; 2;1)
Phương trình mp(α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z –
3) = 0
⇔ 3x + 2y + z – 11 = 0
Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho
d :
1
x−2
1
1) Chứng minh hai ñường
2) Trong các mặt phẳng chứa
Lời giải:
1) Đường thẳng d1 u = (1; 2; −2) .
1
qua M1(2; 1; -1),
có vtcp
Đường thẳng u = (−2; −4; 4) .
2
d2 qua M2(0;
3; 1), có vtcp
T u và nên hai đường thẳng
2
a = M song song với nhau.
1
th −2
∉d
ấ u
y 1
2
2) Xét mp(α1) là mặt phẳng
chứa d1 và d2 thì mp(α1) có
vectơ pháp tuyến.
n1 = [u1 , M1M 2 ] = (8; 2;6)
= 2(4;1;3) = 2n 2
