7 Hàm mật độ xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ổn định

Do đó hàm đặc trưng được viết là φ (t) = eiδ t−γ |t| . Thay α = 1 và β = 0 vào (1.11),

số hạng thứ hai trong dấu ngoặc biến mất và ta thu được biểu thức đúng bằng hàm

đặc trưng trên đây.

3. Phân phối Lévy Khi α =



1

2



và β = ±1, phân phối ổn định trùng với phân



phối Lévy với tham số vị trí δ và tỷ lệ γ .

Chứng minh. Trong (1.11) đặt α =



1

2



và β = 1 ta thu được



φ (t) = exp iδ t −



γ |t| [1 − i sgn (t)] ;



Đây là hàm đặc trưng tương ứng với phân phối Lévy với mật độ

f (x; δ , γ ) =



γ/ 2π



e

(x − δ )3



γ

− 2(x−δ )



,



∀x > δ .



Trường hợp β = −1 được chứng minh tương tự.



1.7.2



Các tính chất giải tích của phân phối ổn định



Tính chất 1.8 (Tính liên tục). Mỗi phân phối ổn định là liên tục và hàm mật độ

xác suất khả vi vô hạn.

Tính chất 1.9 (Giá). Giá của phân phối ổn định là toàn bộ đường thẳng thực khi

|β | = 1 và α



1.



Trong các trường hợp còn lại giá phụ thuộc vào cách tham số hóa:

Trong trường hợp tham số hóa 1 của (1.11),



a) Nếu β = 1 và α < 1 thìgiá của hàm mật độ là

[δ , +∞[ ,



(1.38)



b) Nếu β = −1 và α < 1 thì giá của hàm mật độ là

]−∞, δ ]

28



(1.39)



Trong trường hợp tham số hóa 0 của (1.23),

a) Nếu β = 1 và α < 1 thì giá của hàm mật độ là



δ − γ tan



πα

, +∞

2



(1.40)



b) Nếu β = −1 và α < 1 thì giá của hàm mật độ là

−∞, δ + γ tan



πα

2



(1.41)



Tính chất 1.10 (Mốt). Phân phối ổn định có một mốt. Khi phân phối ổn định đối

xứng với 1 < α



2, mốt trùng với (1.31) hoặc (1.32). Trong các trường hợp khác



mốt không có dạng hiển và cần một số xấp xỉ để xác định mốt.



1.7.3



Khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định



Vấn đề không tồn tại dạng hiển của hàm mật độ xác suất gây ra một cản trở lớn

cho việc sử dụng phân phối ổn định. Tuy nhiên, với năng lực của máy tính ngày

càng mạnh hơn, vấn đề này được khắc phục bằng phương pháp tính số gần đúng.

Ý tưởng đầu tiên là dùng phép biến đổi ngược hàm đặc trưng để xác định hàm

mật độ.

1

2π

1

= ℜ

π



f (x; α , β ) =



+∞

−∞



e−itx φ (t; α , β ) dt



∞



0



e−itx φ (t; α , β ) dt .



Biểu thức ở trên có thể ước lượng bằng phép biến đổi Fourier nhanh (Mittnik,

Doganoglu và Chenyao 1999), nhưng chỉ thu được một tập hợp các tọa độ rời rạc

liên quan đến mật độ. Tiếp đó hàm mật độ trên có thể được tái tạo bằng cách dùng

hàm nội suy.

Sau đây, sẽ trình bày hai phương pháp thay thế được dùng cho việc tính toán

hàm mật độ.

Dáng điệu tiệm cận của hàm mật độ, khi x → +∞ hoặc khi x → 0+ được xác định

29



từ khai triển tiệm cận của Bergstrøm (1952), cho bởi công thức sau:

kπα

1 ∞ Γ (kα + 1)

sin

K (α ) (−1)k−1 x−kα −1

f2 (x; α , β ) = ∑

π k=1 Γ (k + 1)

2

kπα

1 ∞ Γ k α +1

f2 (x; α , β ) = ∑

sin

k (α ) (−x)k−1 ,

π k=1 Γ (α + 1)

2α

với

K(α ) = α + β min (α , 2 − α ) .

Biểu thức đầu là khai triển tiệm cận khi x → +∞ với α ∈ (1, 2) và chuỗi đó hội tụ

tuyệt đối ∀x > 0 khi α ∈ (0, 1). Biểu thức sau là khai triển tiệm cận khi x → 0+ với



α ∈ (0, 1) và chuỗi là hội tụ tuyệt đối ∀x > 0 khi α ∈ (1, 2).



Chú ý rằng biểu thức ở trên không xử lý được khi x mang giá trị âm. Tuy nhiên,



trong trường hợp này hàm mật độ tính toán đơn giản bằng cách sử dụng tính chất

phản chiếu,

f (x; α , β ) = f (−x; α , −β ) .

Biểu thức trên không áp dụng được khi α = 1. Trong trường hợp đó, cho β > 0 ta

có

f (x; α , β ) =

ở đây

1

bk =

Γ (k + 1)



1 +∞

∑ (−1)k−1bk kxk−1,

π k=1



∞



e−β u ln u uk−1 sin (1 + β ) u



π

du.

2



0



Định lý trình bày dưới đây khai triển (1.41) thành biều thức tiện lợi và tính toán dễ



30



dàng hơn. Trước tiên ta đưa ra một vài định nghĩa. Ký hiệu





−β tan πα nếu α = 1

2

ζ (α , β ) =



0

nếu α = 1



1

 arctan β tan πα

nếu α = 1

α

2

u0 (α , β ) =

π



nếu α = 1

2



1 π −u



nếu α < 1

π 2

0





c1 (α , β ) = 0

nếu α = 1









1

nếu α > 1



α

1

α −1 cos[α u0 +(α −1)u]

(cosα u ) α −1

cos u



nếu α = 1



0

cos u

sin α (u+u0 )





π

V (u; α , β ) = 2 2 +β u exp 1 π + β u tan u nếu α = 1, β = 0

β 2

 π cos u











Định lý 1.5 (Hàm mật độ xác suất). Cho X có hàm đặc trưng (1.23); khi đó hàm

mật độ xác suất của X được cho bởi

1

α −1



α (x − ζ )

π |α − 1|



π

2



V (u; α , β ) e

−u0



α



−(x−ζ ) α −1 V (u;α ,β )



du



nếu α = 1, x > ζ

nếu α = 1, x = ζ



f (−x; α , −β )

πx

1 − 2β

e

2 |β |



1

Γ 1 + α cos u0

√

π 2α 1 + x2



nếu α = 1, x > ζ



π

2



−π

2



V (u; 1, β ) exp −e



πx

− 2β



V (u; 1, β ) du



1

π (1 + x2 )



nếu α = 1, β = 0

nếu α = 1, β = 0.



31



Định lý 1.6 (Hàm phân phối tích lũy). Cho X có hàm đặc trưng (1.23); khi đó hàm

phân phối tích lũy F (x; α , β ) của X có dạng

c 1 (α , β ) +



π

2



sgn (1 − α )

π



V (u; α , β ) e−(x−ζ )



α

α −1 V (u;α ,β )



du nếu α = 1, x > ζ



−u0



1 u0

−

2 π



nếu α = 1, x = ζ



1 − F (−x; α , −β )



1

π



+π

2



nếu α = 1, x < ζ



πx



nếu α = 1, β > 0



1 1

+ arctanx

2 π



nếu α = 1, β = 0



1 − F (x; α , −β )



−π

2



exp −e− 2β V (u; 1, β ) du



nếu α = 1, β < 0



(1.42)



(1.43)



1.7.4



Vấn đề tính số



Khó khăn chính liên quan đến tính toán số để ước lượng (1.43) và (1.44) nằm ở

việc xấp xỉ tích phân

π

2



−u0



V (u; α , β ) e



α



−(x−ζ ) α −1 V (u;α ,β )



du



trong (1.43). Nolan (1997) đã đưa ra cách tính toán dễ dàng hơn cho hàm mật độ

(1.43) khi x > ζ như sau:

f (x; α , β ) = c2 (x; α , β )

với



π

2



−u0













g (u; x, α , β ) e−g(u;x,α ,β ) du,



α

|

c2 (x; α , β ) = π 1α − 1| (x − ζ )







2 |β |

32



nếu α = 1

nếu α = 1



(1.44)



và

g (u; x, α , β ) =







(x − ζ ) αα V (u; α , β )

−1

πx

 − 2β

e

V (u; 1, β )



nếu α = 1

nếu α = 1



Chú ý rằng do tính chất của hàm V (u; α , β ), việc tính toán xấp xỉ như trên sẽ gặp

nhiều khó khăn cho trường hợp α gần 0 hoặc α gần 1.



1.7.5



Mô phỏng



Mặc dù gánh nặng tính toán liên quan đến ước lượng hàm mật độ xác suất, các

số ngẫu nhiên ổn định được mô phỏng trực tiếp bằng cách sử dụng thuật toán của

Chambers, Mallow và Stuck (1976). Cho W là một biến ngẫu nhiên có phân bố mũ,

với kỳ vọng 1 và U là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên

cho ζ = arctan β tan



Z=



πα

2



cosαζ cosU



π



π

2



. Đồng thời



/α . Khi đó biến ngẫu nhiên





 √ α (ζ +U)

 αsin

2





−π π

2 ,2



cos(αζ +α U−U)

W



+ β U tanU − β ln



1−α

α



π W cosU

2

π +β U

2



nếu α = 1



(1.45)



nếu α = 1



có phân phối S0 (α , β ). Các số ngẫu nhiên trong trường hợp tổng quát cũng chứa

tham số vị trí δ và tham số tỷ lệ γ có thể thu được bằng cách sử dụng tính chất tiêu

chuẩn hóa (1.3). Tương tự, những số ngẫu nhiên của phân phối S1 (α , β , γ , δ ) dễ

dàng thu được bằng cách sử dụng biểu thức (1.24).



33



Chương 2



Ước lượng các tham số của

phân phối ổn định

2.1



Phương pháp phân vị



Ý tưởng đầu tiên khai thác ước lượng tham số của phân phối ổn định, đặc biệt

phân phối dày đuôi α , phải dùng đến phương pháp phân vị. Những đóng góp đầu

tiên theo hướng này tập trung vào phân phối ổn định đối xứng. Fama và Roll (1968)

đã chỉ ra rằng tham số vị trí δ ước lượng không chệch được bằng phương pháp trung

bình chặt cụt, có nghĩa là ước lượng theo phần trung tâm của mẫu. Họ đề xuất ứng

dụng thực tế, sử dụng trung bình chặt cụt 50%, khi biết α nằm giữa 0 và 2.

Trong một bài báo tiếp theo (Fama và Roll 1971), các tác giả đã trình bày cụ

thể cách ước lượng các tham số γ và α . Đối với tham số tỷ lệ, quan sát thấy rằng

phân vị 0.72 của phân phối S1 (α , 0)) có giá trị rất gần với 0.827 phụ thuộc α . Do

đó họ đề xuất



γ=



q.72 − q.28

2 · 0.827



trong đó qs là phân vị mức s của phân phối.

34



(2.1)



Vì ước lượng này là tổ hợp tuyến tính của các thống kê thứ tự, nó có phân phối

tiệm cận với phân phối chuẩn. Một nghiên cứu dùng phương pháp mô phỏng Monte

Carlo chỉ ra rằng sai lệch tiệm cận của ước lượng đó là bé hơn 0.4%.

Có thể áp dụng phương pháp tương tự để ước lượng α . Ta xác định tham số

dáng điệu đuôi của phân phối thông qua ước lượng

zf =



q f − q1− f

2γ



(2.2)



Sau đó sử dụng một bảng thích hợp cho giá trị của α có phân vị lý thuyết phù hợp

với z f . Lựa chọn mức f là một vấn đề khó khăn. Vì ta cần ước lượng tham số dáng

điệu đuôi nên phải chọn giá trị của f đủ lớn. Tuy nhiên, nếu giá trị của f quá lớn

thì sẽ dẫn tới sự gia tăng độ biến động mẫu. Một nghiên cứu bằng phương pháp

Monte Carlo chỉ ra rằng các giá trị phân vị từ 0.95 đến 0.97 sẽ khống chế được sự

biến động giá trị thực của α

Một ước lượng tinh tế và mở rộng hơn phương pháp ước lượng phân vị cơ sở do

McCulloch đề xuất (1986) sau đó. Xét phân phối S1 (α , β , γ , δ ). Các phân vị

q.95 − q.05

q.75 − q.25

q.95 + q.05 − 2q.5

νβ =

q.95 − q.05



να =



(2.3)



không phụ thuộc vào γ và δ . Dựa vào nhận xét đó, tác giả lập bảng là một hàm của



α và β . Từ đó ước lượng hai tham số trên bằng cách đối chiếu sự tương thích giá

trị của hàm số đó tính từ mẫu số liệu và tính theo phân phối lý thuyết.

Khi có được ước lượng của α và β , chúng ta chuyển sang ước lượng tham số tỷ

lệ γ . Các giá trị của đại lượng



νγ =



q.75 − q.25

γ



được lập thành bảng như là hàm của α và β , như vậy



γ=



q.75 − q.25



νγ α , β

35



.



(2.4)