2 Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange

30



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



nhưng có thể tham số hoá được dưới dạng

x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v)



và y



= χ(u, v)



sao cho

F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0



Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy = y dx ta có

∂ϕ

∂ψ

∂ψ

∂ϕ

du +

dv = χ(u, v)

du +

dv

∂u

∂v

∂u

∂v



Xem u như là hàm của v ta có phương trình

∂ϕ ∂ψ

−

du

∂v

∂v

=

∂ϕ

∂ψ

dv

−χ

∂u

∂u

χ



Đây là dạng phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử có nghiệm là

u = ξ(v, C)



Ta thay vào biểu thức của

phương trình (2.5) là



x



và y ta được nghiệm tổng quát dưới dạng tham số của

x = ϕ[ξ(v, C), v]

y = ψ[ξ(v, C), v]

2



Ví dụ: Giải phương trình y = y 2 − y x + x

2



Ta có thể tham số hoá phương trình bằng cách đặt x = x, y = p và y = p2 − px +

(xem x và p là hai tham số). Khi đó, vi phân đẳng thức cuối ta được



x2

2



dy = (x − p)dx + (2p − x)dp



Để ý rằng dy = pdx, từ đẳng thức trên, nếu 2p − x = 0 ta có

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y=

x



dp

= 1,

dx



suy ra p = x + C .



x2

+ Cx + C 2

2



Nếu 2p − x = 0 ta có p = , thay vào biểu thức tham số hoá ta có nghiệm

2

nghiệm này là nghiệm kỳ dò.



y=



x4

,

2



31



2.2. Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange



2.2.2 Phương trình Clairaut

Phương trình Clairaut là lớp các phương trình vi phân dạng

(2.6)



y = xy + f (y )



trong đó, nói chung, f là một hàm phi tuyến.

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p = y . Khi đó

y = px + f (p)



Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy = pdx ta được

hay



pdx = pdx + {x + f (p)} dp

{x + f (p)} dp = 0



Từ đó ta suy ra dp = 0 hay x + f (p) = 0.

Nếu dp = 0 thì p = C , thay vào (2.6) ta được nghiệm tổng quát

y = Cx + f (C)



(∗)



và đây là một họ đường thẳng.

Nếu x + f (p) = 0, cùng với (2.6), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số

x = −f (p)

y = −pf (p) + f (p)



Người ta chứng minh rằng nếu f (p) liên tục và khác không thì nghiệm cho dưới dạng

tham số là bao hình của họ đường thẳng (∗).

Ví dụ: Xét phương trình y = (x − 1)y − y 2

Đây là phương trình Clairaut với f (t) = −t2 − t. Thay thế y bởi C ta được nghiệm

tổng quát là họ đường thẳng

y = C(x − 1) − C 2



Để tìm nghiệm kỳ dò, tức là bao hình của họ đường thẳng trên ta xét hệ

x = 2C + 1

y = C(x − 1) − C 2



Khử C từ hệ phương trình này ta được bao hình là parabol

2.1).



y=



(x − 1)2

4



(xem Hình



32



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



3



0



-3



3



-3



Hình 2.1: Nghiệm của phương trình Clairaut với f (t) = −t2 − t.



2.2.3 Phương trình Lagrange

Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x và y dạng

y = ϕ(y )x + ψ(y )



(2.7)



được gọi là phương trình Lagrange 1.

Giả sử ϕ(y ) = y , nếu không phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đã

xét trên đây. Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p = y . Khi

đó phương trình (2.7) trở thành

y = ϕ(p)x + ψ(p)



(∗)



Vi phân hai vế theo x ta được

p=



dp

dy

= ϕ(p) + {ϕ (p)x + ψ (p)}

dx

dx



Xem p là biến số độc lập ta có phương trình tuyến tính mà ẩn là x = x(p) như sau:

ϕ (p)

ϕ (p)

dx

+

x=

dp ϕ(p) − p

p − ϕ(p)



Tích phân phương trình tuyến tính này theo phương pháp đã biết ta được nghiệm tổng

quát x = h(p, C), với C là tham số tuỳ ý.

Kết hợp với (∗) ta có nghiệm tổng quát của (2.7) cho dưới dạng tham số tham số

hoá theo tham số p:

y = ϕ(p)h(p, C) + ψ(p)

x = h(p, C)



1



J.L.Lagrange (1736 − 1813) là nhà toán học nổi tiếng người Pháp.



33



2.3. Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I



Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trò của tham số p = pi (trong đó pi là nghiệm

của phương trình ϕ(p) − p = 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (2.7).

Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này có thể là nghiệm kỳ dò hoặc không.

Ví dụ: Giải phương trình y = xy 2 − y .

Đặt p = y , khi đó

y = xp2 − p



Vi phân hai vế của đẳng thức này theo x với chú ý dy = pdx, sau khi thu gọn ta được

(p2 − p)dx + (2px − 1)dp = 0



Giả sử p2 − p = 0 ta có



dx

2

1

+

x=

dp p − 1

p(p − 1)



Giải phương trình này ta được:

x=



C + p − ln p

(p − 1)2



Thay vào biểu thức của y ta được nghiệm tổng quát dạng tham số:

x=

y=



C+p−ln p

(p−1)2

(C+p−ln p)p2

(p−1)2



−p



Các nghiệm ứng với p = 0 và p = 1 là y = 0 và y = x − 1 tương ứng.



2.3 Nghiệm kỳ dò của PTVP cấp I

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dò

Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với PTVP cấp

I dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

= f (x, y)

dx



Trong mục này ta xét trường hợp PTVP cấp I dạng tổng quát

F (x, y, y ) = 0



(2.8)



Nói chung ta không luôn luôn viết phương trình này dưới dạng giải ra được đối với

đạo hàm. Điều đó cho thấy rằng tính chất duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

(2.8), với điều kiện ban đầu (x0 , y0), không phải lúc nào cũng được bảo đảm. Nói

cách khác, qua điểm (x0, y0) ∈ R2 có thể có nhiều nghiệm của (2.8) đi qua.



34



Chương 2. Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm



Ví dụ: Phương trình Clairaut (2.6) với



có nghiệm kỳ dò là parabol

(xem hình 2.1). Tại mỗi điểm dọc theo parabol này có tồn tại một nghiệm

khác mà đồ thò là đường thẳng tiếp xúc với parabol nói trên tại điểm đó.

Đònh lý sau đây khẳng đònh sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng

quát.

(x − 1)

4



2



f (t) = −t2 − t



Đònh lý 2.3.1. Nếu hàm F (x, y, p) thoả các điều kiện sau:

i) F (x, y, p) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trong lân cận của (x0 , y0 , p0 ) ∈

R3 (tức là F thuộc lớp C 1 trong lân cận điểm này)

ii) F (x0 , y0 , p0 ) = 0

iii)



∂F

(x0 , y0 , p0 ) = 0

∂p



thì phương trình (2.8) có duy nhất một nghiệm y = y(x) lớp C 1 trong lân cận của x0

thoả điều kiện ban đầu:

y(x0 ) = y0



sao cho



y (x0 ) = p0



Chứng minh: Các giả thiết trong đònh lý trên chính là các giả thiết của đònh lý hàm



ẩn, do đó phương trình (2.8) xác đònh duy nhất hàm p = f (x, y) lớp C 1 sao cho

p0 = f (x0 , y0 ). Khi đó ta có phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

= f (x, y)

dx



trong đó f khả vi liên tục. Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo đònh

lý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấy

có tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) thoả điều kiện ban đầu y(x0) = y0.



2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dò theo p−biệt tuyến

Đònh lý trên cho thấy nghiệm kỳ dò có thể xảy ra khi các điều kiện của đònh lý không

thoả mãn. Rõ ràng với hàm F = F (x, y, p) khả vi liên tục, nghiệm kỳ dò chỉ có thể

xảy ra nếu tại đó

∂F

=0

∂p



Ta gọi M ⊂ R3 là siêu mặt cho bởi phương trình F (x, y, p) = 0 và giả sử π : M −→ R2 ,

π(x, y, p) = (x, y) là phép chiếu tự nhiên theo toạ độ p. Khi đó các điểm kỳ dò của

ánh xạ π cho bởi hệ phương trình



 F (x, y, p) = 0

∂F

=0



∂p



(∗)