Phân tích ra thừa số nguyên tố ( )
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.26 MB, 100 trang )
Thuật toán như sau:
Nếu b là ước của a, đặt r 0 = b. Nếu không, ta thực hiện lần lượt
các phép chia có dư số:
a = bq1 + r1
, 0 ≤ r1 ≤ b
b = r1q2 + r2
, 0 ≤ r2 ≤ r1
r1 = r2 q1 + r3
, 0 ≤ r3 ≤ r2
………………………………….
rk = rk +1qk + 2 + rk + 2
, 0 ≤ rk + 2 ≤ rk +1
………………………………….
Do b > r1 > r2 > ... > rk > ... ≥ 0 , thuật toán sẽ ngưng lại sau một số
hữu hạn bước.
Gọi rn +1 là dư số đầu tiên bằng không. Ta có:
rn − 2 = rn −1qn + rn
, 0 ≤ rn ≤ rn −1
rn −1 = rn qn +1 + 0
[…]
rn là ước số chung lớn nhất của a và b.
[TRR, tr 106]
Thuật toán này dựa trên hai mệnh đề sau:
a = bp ⇒ ƯCLN(a; b) = b
a = bp + r (r ≠ 0) ⇒ ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r)
Thuật toán Euclide có thể mô tả bằng sơ đồ sau:
[SH, tr 12]
Thuật toán này được chứng minh trong tài liệu [TRR] bằng phương pháp quy
nạp toán học. Đó là công nghệ θ 4 của τ 4 . Tìm hiểu sâu hơn, τ 4 được xây dựng và
chứng minh một cách hoàn chỉnh hơn dựa trên tính chất đặc trưng của vành
Euclide: tồn tại ánh xạ δ sao cho:
δ : N* → N
r →r
Trong phần chứng minh thuật toán được trình bày trong [ĐSĐC, tr 117], r là
số dư trong phép chia của số tự nhiên a cho số tự nhiên b. Tính chất của ánh xạ này
làm cho thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên
không thể giảm vô hạn. Do đó, Đại số đại cương chính là lý thuyết tham chiếu của
công nghệ θ3 .
Một biến thể khác của thuật toán này là: Với hai số tự nhiên a, b, trong đó
a>b thì ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a – b, b).
Với cách làm này, ta không phải thực hiện phép chia mà thay vào đó là phép
trừ qua lại giữa các số, cho đến khi nào ta được cặp số bằng nhau. Do đó, kĩ thuật
này đơn giản hơn do việc thực hiện phép trừ dù sao cũng dễ hơn việc thực hiện
phép chia, đặc biệt là với các đa thức. Kỹ thuật này cũng được trình bày ở trang 48
và 49 trong sách giáo khoa môn Tin học lớp 10 hiện hành.
Ví dụ: Để tìm ƯCLN của 108 và 30, ta làm như sau:
108 = 30. 3 + 18
Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18)
30 = 18. 1 + 12
Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18) = ƯCLN(18; 12)
18 = 12. 1 + 6
Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18) = ƯCLN(18; 12) = ƯCLN(12; 6)
Mà 12 chia hết cho 6 nên 6 là ƯCLN(108; 30)
5. Dùng máy tính cầm tay ( τ 5 )
Những thuật toán ở trên có thể đều cần đến máy tính cầm tay để quá trình
tính toán nhẹ nhàng hơn nhưng ở thuật toán này, máy tính cầm tay giúp ta tìm được
ƯCLN một cách trực tiếp chứ không chỉ là một công cụ tính toán. ƯCLN của hai số
được tìm ra dựa trên chức năng đơn giản phân số của máy tính và định nghĩa của
phân số tối giản: Đó là phân số có ƯCLN của tử và mẫu là 1, hay tử và mẫu là hai
số nguyên tố cùng nhau. Để đơn giản phân số, máy tính đã được lập trình để chia tử
và mẫu cho ƯCLN của chúng. Theo đó, với mỗi phân số nhập vào, máy tính đều
đơn giản đến dạng tối giản. Ứng dụng này được lập trình thành vòng lặp dựa trên
thuật toán Euclide.
Bên cạnh đó, dựa vào định nghĩa của phân số tối giản và tính duy nhất của
dạng phân tích thành thừa số nguyên tố, khi đơn giản phân số thì tử và mẫu đơn
giản cho nhau những thừa số chung. Ta tìm được ƯCLN là tích của những thừa số
chung đó. Có thể tóm tắt kỹ thuật này như sau:
• Nhập a và b thành dạng phân số
số này, ví dụ thành
a
rồi dùng máy tính đơn giản phân
b
c
.
d
• ƯCLN(a, b) = a : c hay ƯCLN(a, b) = b : d
Việc sử dụng máy tính đã đơn giản các công đoạn tính toán của HS và cho
kết quả xuất hiện nhanh chóng. Trong [HDMTCT, tr 65] có đưa ra một ví dụ minh
họa với 2 số 209865 và 283935 thì kết quả theo các bước hướng dẫn xuất hiện chỉ
trong khoảng chưa đầy 1 phút, nhanh hơn nhiều so với việc tính tay. Từ đó, việc tìm
ƯCLN của 3 số tự nhiên trở lên có thể được thực hiện bằng cách tìm ƯCLN của
từng cặp và chọn ra số nhỏ nhất trong các ƯCLN của từng cặp đó. Quan trọng hơn,
việc sử dụng máy tính còn giúp HS tránh được bước kiểm tra một số có phải là số
nguyên tố không, vốn là bước khó nhất trong thuật toán phân tính thành thừa số
nguyên tố.
Tuy nhiên, máy tính chỉ thực hiện chính xác các phép tính trong giới hạn là
±1 ở chữ số thứ 10 nên với những trường hợp vượt quá giới hạn này, kết quả của
máy tính không còn chính xác nữa.
Ví dụ: Với yêu cầu tìm ƯCLN(987 654 321; 123 456 789), dựa vào dấu hiệu
chia hết cho 9, ta biết rằng 2 số này có ước chung là 9 nên ƯCLN của chúng sẽ lớn
hơn hay bằng 9. Tuy nhiên, khi nhập vào máy tính phân số
987654321
, máy tính
123456789
không thể xuất kết quả ở dạng phân số mà màn hình chỉ hiện ra số thập phân
8,000000073 là thương của phép chia. Như vậy, để tìm ƯCLN của 2 số này, ta phải
thực hiện thêm các bước: tìm số dư của phép chia bằng cách tính hiệu của
987654321 – 8. 123456789 = 9. Theo thuật toán Euclide, ta có:
ƯCLN(987654321; 123456789) = ƯCLN(123456789; 9) = 9
Kết quả này dễ thấy qua dấu hiệu chia hết cho 9, hoặc thực hiện phép chia
trên máy tính cũng cho thấy kết quả là số nguyên.
Dù vậy, nếu xét trong chương trình toán 6 hiện hành, rõ ràng, việc sử dụng
máy tính sẽ thuận tiện và dễ dàng hơn cho học sinh.
Do được lập trình dựa vào thuật toán Euclide nên thuật toán này cùng với kỹ
thuật τ 3 và những lập trình khác của máy tính chính là công nghệ của τ 5 và lý
thuyết của công nghệ là Đại số đại cương.
