III. Định lý số gia hữu hạn - Định lý Lagrange:
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.77 KB, 32 trang )
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
f ( b) − f ( a) = ( b − a) f ′ ( c)
Từ đó suy ra: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) = 0 với mọi x thuộc (a,b)
thì f(x) = const
y
f(b)
B
C
f(a)
M
A
a
c
b
x
(hình 3)
Ngoài ra định lí Lagrange còn được phát biểu dưới dạng tích phân như sau:
Định lí: Nếu
f ( x) là hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) thỏa
b
mãn:
∫ f ( x)dx = f (c)(b − a)
a
Định lí Lagrange dạng tích phân được áp dụng chứng minh một số bài toán
liên quan đến tích phân và giới hạn hàm số.
2. Chứng minh:
Xét hàm số:
7
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
f (b ) − f ( a )
x
b− a
.
F ( x) = f ( x) −
Ta có: F(x) là hàm liên tục trên đoạn
[a; b] , có đạo hàm trên khoảng (a; b) và
F (a) = F (b) .
Theo định lí Rolle tồn tại
Mà
F '( x) = f '( x) −
Suy ra :
f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
f '(c) =
b − a , suy ra
b−a .
f ′ ( c) =
Hay
c ∈ (a; b) sao cho F '(c) = 0 .
f ( b) − f ( a )
b− a
f ( b) − f ( a) = f ′ ( c) ( b − a )
*Chú ý:
•
f ( b) − f ( a)
b− a
Ý nghĩ hình học: Tỷ số
là hệ số gọc của cát tuyến AM (hay
MB), còn
điểm
f ′ ( c)
là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
C ( c, f ( c ) )
8
y = f ( x)
tại
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
•
Theo định lí Largrange trên dây cung AM tìm được ít nhất một điểm c
mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AM. Trường hợp
f ( a) = f ( b)
ta có định lí Rolle.
c ∈ ( a, b )
•
Bởi vì
, nên ta có thể viết
thức Lagrange có thể viết dưới dạng:
c = a + θ ( b − a ) ,0 < θ < 1
. khi đó công
f ( b ) − f ( a ) = f a + θ ( b − a ) ( b − a ) ,0 < θ < 1
•
Nếu đặt
a = x, b = x + ∆ x thì ta nhận được:
f ( x + ∆ x) − f ( x) = f ′ ( x + θ ∆ x)
, trong đó
0< θ < 1
3. Hệ quả:
a. Hệ quả 1: (định lí giới hạn của đạo hàm)
Cho hàm số
f : ( a , b ) → R , x0 ∈ ( a , b )
thỏa mãn:
x
1. Hàm f(x) liên tục tại 0
2. Hàm f(x) khả vi trên
3.
Lim f ′ ( x ) = 1
x→ x0
( a, b ) / { x0}
f ′ ( x)
x
0
. Khi đó hàm f khả vi tại và
Chứng minh:
9
x
liên tục tại 0 .
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
Vì
lim f ′ ( x ) = 1
x → x0
nên
∀ ε > 0, ∃ η > 0 sao cho
∀ x ∈ ( a, b ) \ { x0} : 0 < x − x0 < η ⇒ f ′ ( x ) − l < ε
Áp dụng định lí Lagrange trên
f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 ) f ′ ( cx )
[ x, x0 ] , như vậy tồn tại cx ∈ ( x,x0 )
sao cho
và đương nhiên
cx − x0 < x − x0 < η
f ( x ) − f ( x0 )
− l = f ′ ( cx ) − l < ε
x − x0
Từ đó suy ra
Điều này chứng tỏ
f ′ ( xo ) = l
và từ điều kiện cảu định lí suy ra
f ′ ( x)
x
tại 0 .
(Chú ý: Chúng ta nhận được định lí tương tự đối với hàm trái hoặc phải.)
b. Hệ quả 2:
Cho hàm số
f : ( a, b ) → R
thỏa mãn:
10
liên tục
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
x
1. Hàm số f liên tục tại 0
2. Hàm khả vi trên (a,b)
3.
lim+ f ′ ( x ) = 1
x → x0
khi đó
f p′ ( x0 ) = lim+
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
=1
x0
c. Hệ quả 3:
Cho hàm số
f : ( a, b ) → R
x∈
1. Hàm số f liên tục 0
2. Hàm f khả vi trên
3.
( a, b )
( a, b ) \ { x0}
lim f ′ ( x ) = + ∞ ,(− ∞ )
x → x0
thỏa mãn:
lim
x → x0
khi đó
f ( x ) − f ( x0 )
= +∞,(−∞)
x − x0
IV. Định lí trung bình Cauchy
1. Định nghĩa:
Cho hàm số
f , g : ( a, b ) → R
thỏa mãn:
1. Hàm f,g liên tục trên [a,b]
2. Hàm f,g khả vi trên (a,b)
3.
g ′ ( x ) ≠ 0, ∀ x ∈ ( a, b )
. Khi đó tồn tại
c ∈ ( a, b )
11
để có
f ( b) − f ( a) f ′ ( c)
=
g ( b) − g ( a) g′ ( c)
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
(Chú ý: nếu thay bằng hai điều kiện khác là
f ′ 2 ( x ) + g ′ 2 ( x ) ≠ 0, ∀ x ∈ ( a, b )
g ( a ) ≠ g ( b)
và
thì định lí vẫn đúng.)
2. Chứng minh:
Trước hết thấy ngay
ra tồn tại
c ∈ ( a, b )
Xét hàm số
để
g ( a) ≠ g ( b)
g′ ( c) = 0
, vì nếu
g ( a) = g ( b)
, theo định lí Rolle suy
, vô lí theo giả thiết.
h : ( a, b ) → R
cho bởi:
h ( x) = f ( x) − f ( a) −
f ( b) − f ( a)
( g ( x) − g ( a) )
g ( b) − g ( a)
Hàm h thỏa mãn các điều kiện cảu định lí Rolle nên tồn tại
h′ ( c ) = 0
f ′ ( c) −
, tức là
f ( b) − f ( a)
g′ ( c) = 0
g ( b) − g ( a )
hay
c ∈ ( a, b )
để
f ( b) − f ( a ) f ′ ( c )
=
g ( b) − g ( a ) g′ ( c)
*Chú ý:
Thấy ngay rằng định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy
( lấy
g ( x) = x
trên
[ a, b ] )
12
