Định lí (quy tắc L’Hospital):
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.77 KB, 32 trang )
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
0
2. Dạng 0 :
Quy tắc L’Hospital còn đúng cho trương hợp
, Chẳng hạn khi
lớn. Nếu
lim
x→ + ∞
và giả thiết f và g là khả vi và
f ′ ( x)
=A
g′ ( x )
Chứng minh: Thật vậy, đặt
khi
g′ ( x) ≠ 0
f ( x)
=A
x →+∞ g ( x )
lim
thì
x=
1
f ÷
f ( x)
f ( y)
y
= = 1
g( x)
1 g ( y)
g ÷ 1
f
y
với 1
f ( x), g ( x) → 0
1
y ở đây
x → +∞ khi y → 0 + . Ta có
( y ) , g1 ( y ) dần tới 0 khi y → 0+ .
f ( x), g1 ( x)
Áp dụng quy tắc L’Hospital với 1
ta có:
1 1
f ′ ÷ − 2 ÷
f ( y)
y
y
f ′ ( y)
lim+ 1
= lim+ 1 = lim+
=A
y→ 0 g ( y )
y → 0 g′ ( y )
y→ 0
1
1
1
1
g′ ÷ − 2 ÷
y y
14
hay
khi x đủ
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
lim
x→ + ∞
Do đó:
f (x)
=A
g( x )
∞
3. Dạng ∞ :
Giả sử
c ∈ ( a; b )
và khi
mà đủ gần c các hàm f và g khả vi tại x với
g′ ( x ) ≠ 0
lim f ( x ) = + ∞ , lim g( x ) = + ∞
x→ c
Hơn nữa
x→ c
Trường hợp này vẫn có thể áp dụng được quy tắc L’Hospital, nghĩa là nếu
f ′( x)
=A
x → c g′ ( x )
lim
Chứng minh: Thật vậy, lấy
hạn
lim
thì
x, x 0 ∈ ( a, b )
x→ c
f ( x)
g( x)
=A
và ằm về cùng một phía đối với c, chẳng
c < x < x0 , áp dụng định lí Cauchy ta có:
f ( x ) − f ( x0 ) f ′ ( ω )
=
, x < ω < x0
′
g ( x ) − g( x 0 ) g ( ω )
15
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x )
f ( x)
=
.
g( x )
g ( x ) − g( x 0 ) g ( x )
1− 0
g( x )
1−
Mặt khác
So sánh hai đẳng thức này ta nhận được:
g( x 0 )
f ( x) f ′ ( ω )
g( x )
=
.
f (x )
g ( x ) g′ ( ω )
1− 0
f ( x)
1−
lim =
Do
x →c
f ′( x)
=A
g ′ (c )
nên ε
> 0 , có thể chọn x0 đủ gần c sao cho khi c < t < x0 ta có:
A− ε <
Vì
nên
f ′ ( t)
< A+ ε
g′ ( t )
f′( ω )
A− ε <
< A+ ε
g′ ( ω )
. Cố định
lim f ( x ) = + ∞ , lim g( x) = + ∞
x→ c
x→ c
16
x0
và
, từ giả thiết
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
g( x0 )
g( x )
→1
f ( x0 )
1−
f (x)
1−
Suy
ra
khi
1 + δ ( x ), δ ( x ) → 0 khi x → c
.
nó
có
thể
viết
dưới
dạng
. Từ đó
( A − ε)(1 + δ( x )) <
lim =
x →c
Vậy
vậy
f ( x)
< ( A − ε)(1 + δ( x ))
g( x )
f ′( x )
=A
′g (c)
B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ FERMAT, ROLLE, LAGRANGE,
CAUCHY. QUY TẮC L’HOSPITAL.
I. Ứng dụng của định lí Fermat trong bài toán cực trị về hàm khả vi một
biến
Bài 1.1
0,1] f ′ ( 0) . f ′ ( 1) < 0
∃ ξ ∈ ( 0,1)
[
Giả sử f(x) khả vi trên đoạn
và
. Chứng minh
sao cho
f′(ξ ) = 0
Chứng minh:
17
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
Thật vậy theo giả thiết hàm liên tục trên
nhất trên
[ 0,1] , nên đạt giá trị lớn nhất, bé
[ 0,1] .
f′
Giả sử +
( 0) < 0, f−′ ( 1) > 0 , ta có:
f +′ ( 0 ) = lim+
x →0
f ( x ) − f ( 0)
<0
x
Suy ra
hay
Hơn nữa do
f ( x ) − f ( 1)
>0
x
−
1
Nên
hay
f ( x ) − f ( 0)
<0
x
f ( x ) − f ( 0) < 0
f −′ ( 1) = lim+
x →0
với x>0 khá bé.
f ( x ) − f ( 1)
>0
x −1
f ( x ) − f ( 1) > 0
, hay
f ( x ) < f ( 1)
khi x khá gần 1, x<1.
Từ lí luận trên suy ra giá trị bé nhất của hàm số trên
ở hai đầu mút 0 và 1. vậy giá trị bé nhất đạt được tại
Fermat:
18
[ 0,1] không thể xảy ra
ξ ∈ ( 0,1)
. Theo định lí
