III. Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản:
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.77 KB, 32 trang )
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
π
π
f ( k ) ( x) = sin x + k ÷ ⇒ f ( k ) (0) = sin k
2
2
Ta có:
f (2 p ) ( 0 ) = 0
f (2 p − 1) (0) = ( − 1)
p−1
,
∀ p∈ Ν
Do đó:
2 n −1
sin x = f (0) + ∑
k=0
n
⇒ sin x = ∑ (− 1)
k =1
f ( k ) (0) k
x + o ( x 2 n −1 )
k!
k −1
x 2 k −1
+ o ( x 2 n −1 )
(2k − 1)!
2n− 1
x3 x5
n− 1 x
sin x = x − + − L + (− 1)
+ o ( x2n− 1 )
3! 5!
(2n − 1)!
Hay
Tương tự cho hàm cos x
2n
x2 x4
n x
cos x = 1 − + − L + (− 1)
+ o ( x 2n )
2! 4!
(2n)!
*Khai triển ln(1+x), x > -1
Xét
f ( x ) = ln ( 1 + x )
46
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
(− 1) k − 1 (k − 1)!
f ( x) =
(1 + x)k
(k )
Ta có:
⇒ f (k ) (0) = (−1)k −1 (k − 1)!
Do đó:
n
ln(1 + x) = f (0) + ∑
k =1
n
f ( k ) (0) k
x + o ( xn )
k!
⇒ ln(1 + x) = ∑ (− 1)k −1
k =1
xk
+ o( x n )
k
n
x 2 x3
n −1 x
ln(1 + x) = x − + − L + (−1)
+ o( x n )
2 3
n
Hay
*Khai triển
f ( x) = (1 + x)α , α ∈ R
(k )
α −k
∀ k ∈ Ν , ta có: f ( x) = α (α −1)L (α − k + 1)(1 + x)
⇒ f (k ) (0) = α (α − 1) L (α − k + 1)
Suy ra:
n
(1 + x) = f (0) + ∑
α
k =1
f ( k ) (0) k
x + o ( xn )
k!
47
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
α α (α − 1) 2
α (α − 1)L (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + x +
x +L +
x + o( x n )
1!
2!
n!
Hay:
Các trường hợp đặc biệt:
• Với
α = − 1:
1
= 1 − x + x 2 − x3 + L + (− 1)n x n + o( x n )
1+ x
1
⇒
= 1 + x + x 2 − x 3 + L + x n + o( x n )
1− x
• Với
α=
1
2:
1 1
1 + x = 1 + x − x 2 + 0( x 2 )
2 8
• Với
α =−
1
2:
1
1 3
= 1 − x − x 2 + 0( x 2 )
2 8
1+ x
*Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic:
x3 x5
x 2 n− 1
sinh x = x + + − L +
+ o ( x 2n− 1 )
3! 5!
(2n − 1)!
+
48
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
x2 x 4
x2n
cosh x = 1 + + − L +
+ o ( x2n )
2! 4!
(2n)!
+
(Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu)
2 n− 1
x3 x5
n− 1 x
arctan x = x − + − L + (− 1)
+ o ( x2n− 1 )
3 5
2n − 1
+
(Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa)
III. Ứng dụng của khai triển Taylor
1. Tính gần đúng:
+ Dùng khai triển Taylor, ta có thể tính gần đúng giá trị của một hàm số
phức tạp tại một điểm
+ Ta có thể tính gần đúng đạo hàm bằng cách áp dụng khai triển Taylor tại
lân cận x:
h2
f ( x + h ) = f ( x ) + h. f ′( x ) + f ′ (c),
c = x +θh,
2!
với
Từ đó ta tính được
f ′( x) ≈
f ( x + h) − f ( x )
h
Bài 1: Với giá trị nào của x công thức gần đúng sau:
x2
cos x ≈ 1 −
2 sai số đến 0,0001
Giải:
49
0 < θ <1
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
Áp dụng công thức Taylor với số dư Lagrange:
x 2 sin θ x 4
cos x = 1 − +
x,
2 4!
( 0 < θ < 1)
Ta có:
x 2 sin θ x 4 x 4
cos x − 1 − ÷ =
x ≤ ≤ 0, 0001
2
4!
24
⇒ x ≤ 0, 0001 − 24 = 0,1. 24 < 0,222
Bài 2: Tính gần đúng với sai số ε = 10
-3
giá trị A = ln(1,05)
Trong phần này, ta sẽ sử dụng công thức Taylor với phần dư Lagrange để tính
Giải:
1
2
1
3
f ( x) = ln(1 + x) = x − x + x + ... +
2
3
Đặt:
( − 1)
n
n− 1
n
x + Rn
Cần tính A = ln(1,05) tức là ta chọn x =0,05, hằng số c trong phần dư
0
Lagrange R nằm giữa 0 và 0,05
n
f ( n+ 1) (c) n+ 1
(− 1)n 0,05n+ 1
Rn =
x =
,0 ≤ c ≤ 0,05
(n + 1)!
(c + 1) n+ 1 (n + 1)!
Ta phải tìm n để |R |≤10
n
-3
50
