IV. Bài tập đề xuất:

Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



n

(1

+

x

)

≥ 1 + nx.

x

>

−

1

Bài 4: Với mọi số thực x thỏa mãn

, chứng minh rằng



Bài 5: Cho hàm số



f ( x) có đạo hàm cấp hai trên R, f ' ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ R



(



f ' ( x) = 0 có số nghiệm đếm được). Chứng minh rằng:

n



f (n) − f (0) < ∑ f '(i) < f (n + 1) − f (1), ∀ n ∈ N *

i= 1



Bài 6: Chứng minh nếu hàm số



f '(a) = f '(b) thì



.



f ( x) có đạo hàm cấp 2 trên đoạn [a; b] và

f ' ( x) ≥



bất phương trình



4

f (a) − f '(b)

( a − b) 4

có ít nhất một



nghiệm.



 x1 = a



xn+1 = ln 1 + xn2 − 2010, ∀n ≥ 1





Bài 8: Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

.

Chứng minh rằng xn có giới hạn.

n



1

∑i= 1 i + nx = 1.

Bài 9: Cho phương trình:

Chứng minh rằng: Với mỗi số nguyên dương n phương trình có duy nhất một

nghiệm dương. Kí hiệu nghiệm đó là xn, tìm limxn.



39



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



Bài 10: Cho đa thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) + cP”(x) trong đó a, b, c là

các số thực thỏa mãn a 0 và b2 – 4ac > 0. Chứng minh rằng nếu Q(x) vô

nghiệm thì P(x) vô nghiệm.



Bài 11: Cho số thực a khác không, đa thức



P( x), deg P( x) = n ≥ 1



và đa thức



Q( x) = P( x) + aP '( x) + a 2 P "( x) + ... + a n P (n) ( x) . Chứng minh rằng nếu P( x) vô nghiệm

thì



Q( x) cũng vô nghiệm.



Bài 12: Cho số thực a > 2 và



fn ( x) = a10 x10+ n + x n + x n− 1 + ... + x + 1



.



f ( x) = a

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình n

luôn có

đúng một nghiệm dương duy nhất. Kí hiệu nghiệm đó là xn.

Bài 13:



Cho f ( x), g( x) liên tục trong lân cận x0 . Giả sử



lim f ( x ) = A > 0, lim g( x) = B. CMR lim [ f ( x)]



x → x0



x → x0



x → x0



g( x)



= AB



Bài 14: Tính các giới hạn sau:



 sin x 

e) lim 

÷

x→ 0

 x 



a) lim+ ln x ln(1 − x)

x→ 0



40



1

x



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



b) lim x



k

1− ln x



) 2 x1+ 5



(



f) lim ln(3 + 4.e x ) .

x→ ∞



c) lim+ x α ln x , α > 0



g) lim(π − 2arctan x )ln x



xα

d) lim α x

e



h) lim



x→ ∞



x→ 0



tan(sin x ) − x

x→ 0

x3



, α>0



C. KHAI TRIỂN TAYLOR:

I. Khai triển Taylor



P ( x)

x

1. Nếu n

là đa thức Taylor của f(x) tại lân cận 0 của thì nó là duy nhất và có

dạng:

f ′( x0 )

f ( n ) (x 0 )

Pn ( x) = f ( x0 ) +

( x − x0 ) + ... +

( x − x0 )n

1!

n!



2. Cho hàm số



+ Nếu



f ( x)



f ( x)



xác định trên



khả vi liên tục tới cấp



[ a; b] . Khi đó ∀ x0 ∈ ( a; b) ta có:

n − 1 trên



, khả vi cấp



[ a; b]



f ( n ) ( x0 )

( x − x0 ) n + ( x − x0 ) n

f ( x ) = f ( x0 ) + ... +

n!

41



tại

n



thì

x0



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



(Công thức Taylor với phần dư Peano)



+ Nếu



f ( x)



khả vi liên tục tới cấp



trên



, khả vi cấp



( n + 1) trên khoảng



[ a; b]



( a; b)



f ( n ) ( x0 )

f ( n+ 1) ( c )

n

( x − x0 ) +

( x − x0 ) n+ 1

f ( x ) = f ( x0 ) + ... +

( n + 1)!

n!

thì



với



giữa



x

và 0

f ( n ) ( x0 )

f ( n + 1) ( x 0 + θ ( x − x 0 ) )

n

( x − x0 ) +

( x − x0 ) n+ 1

f ( x ) = f ( x0 ) + ... +

( n + 1)!

n!



với



0< θ < 1

(Công thức Taylor với phần dư Largrange)



Phần dư có Rx(x) có dạng:



f ( n+ 1) (c)

Rx ( x) =

( x − x0 )n+ 1

c∈ ( x 0 ,x )

(n + 1)!

với



tức là

n



3.



f ( x) = ∑



k= 0



c = x0 + θ (x − x0 ),0 < θ < 1

f ( k ) (0) k f ( n+ 1) (θ (x) n+ 1

x +

x

k!

(n + 1)!

42



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



được gọi là công thức MacLaurin bậc n hay khai triển Taylor bậc n của f(x) tại

lân cận của 0



*Ví dụ 1: Khai triển Maclaurint đến cấp 5 hàm



f ( x) =



1

x 2 − 3x + 2



Giải:



f ( x) =



1 1

1

.

+

− 2 1− x 2 1− x



Ta có:

2



1

x  x

= 1+ +  ÷

1− x 2

2 2



3



x

+ ÷

2



4



 x

+ ÷

2



5

  x 5 

 x

+  ÷ + O ÷ ÷

 2  ÷

2







1

= 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + O ( x5 )

1− x



Do đó



1 3 7 15 31 63

f ( x) = + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + O( x5 )

2 4 8 16 32

64



*Ví dụ 2 : Khai triển Maclaurint hàm f(x) = ln(x2+5x+4) và tính f(10)(0)

Giải:



x

= ln( x + 1) + ln4 + ln(1 + )

4

43



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



 1 2

(− 1)n− 1 n

(− 1)n− 1 x n

x 

n  x 1 x 2

= ln4 +  x − x + ... +

x + O( x ) ÷ +  − ( ) + .. +

( ) + O(( )n ) ÷

n

n 4

4 

 2

 4 2 4



5 1

1 2

(− 1)n− 1

1

= ln 4 + x − (1 + 2 ) x + ... +

(1 + n ) x n + O( x n )

4 2 4

n

4

(− 1)n− 1 1 n

f ( x) = ln4 + ∑

(1 + n ) x + O( x n )

4

k=1 n

Vậy:

n



f (10) (0)

Theo công thức Taylor 10! Là hệ số của x10 trong khai triển trên . Suy ra:

(− 1)9

1

1 + 4110

f (0) = 10!

(1 + 10 ) = − 9 10

10

4

4

(10)



*Chú ý:



•



Nếu



f (n+ 1) bị chận ở lân cận của x0 thì rõ ràng dần đến 0 khi x → x0 nghĩa



Rn (x) f ( n+1) (c)

=

( x − x0 )

n

(

x

−

x

)

(

n

+

1)!

0

là

•



Với giả thiết



lân cận của



x0



f (n+ 1) bị chận ở lân cận của x0 thì có thể lấy gần đúng f(x) ở

bằng đa thức



Pn ( x)



với sai số là



44



Rn (x) = 0 ( ( x − x0 )n )



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



•



Ngưởi ta đã chứng minh phàn dư có thể viết ở dạng khác, gọi là dạng



Cauchy:



f ( n+ 1) (θ x)

Rx ( x) =

(1 − θ ) n x n+ 1

n!



III. Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản:



* Khai triển hàm số: f(x)=ex,

n



e = f (0) + ∑

x



k=1



∀ x∈ R



f ( k ) (0)

( x − 0) k + o ( ( x − 0) n )

k!



f (k ) ( x) = e x ⇒ f (k ) (0) = 1 , ∀ k ∈ Ν



Ta có:



Suy ra:



n



1 k

x + o( x n )

k=1 k !



e = 1+ ∑

x



x x2

xn

e = 1+ +

+ ... +

+ 0 ( xn )

1! 2!

n!

Hay

x



Trong đó



0 ( xn )



n

x

là VCB bậc cao hơn

khi x → 0



* Khai triển hàm f(x)=sin x



45



Đại học Sư Phạm Thái Nguyên



π

π



f ( k ) ( x) = sin  x + k ÷ ⇒ f ( k ) (0) = sin k

2

2



Ta có:



f (2 p ) ( 0 ) = 0

f (2 p − 1) (0) = ( − 1)



p−1



,



∀ p∈ Ν



Do đó:

2 n −1



sin x = f (0) + ∑



k=0



n



⇒ sin x = ∑ (− 1)

k =1



f ( k ) (0) k

x + o ( x 2 n −1 )

k!

k −1



x 2 k −1

+ o ( x 2 n −1 )

(2k − 1)!



2n− 1

x3 x5

n− 1 x

sin x = x − + − L + (− 1)

+ o ( x2n− 1 )

3! 5!

(2n − 1)!

Hay



Tương tự cho hàm cos x

2n

x2 x4

n x

cos x = 1 − + − L + (− 1)

+ o ( x 2n )

2! 4!

(2n)!



*Khai triển ln(1+x), x > -1



Xét



f ( x ) = ln ( 1 + x )



46