Tính cực trị bằng đạo hàm cấp cao:
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.77 KB, 32 trang )
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
f ( n ) ( x0 )
≈
( x − x 0 )n
n!
khi x gần x0
Từ đây suy ra:
+ Nếu n lẻ thì f không có cực trị địa phương tại x0
+ Nếu n chẵn thì f có cực trị địa phương tại x0. Cụ thể,
tiểu địa phương tại x0 ; còn nếu
f ( n ) ( x0 ) < 0
f ( n ) ( x0 ) > 0
thì f đạt cực
thì f đạt cực đại địa phương tại x0.
Bài 4:
Xét hàm
f ( x ) = e x + e− x + 2cos x tại x = 0 ta có:
f ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 0, f (4) (0) = 4 > 0
Vậy
x = 0 là điểm cực tiểu địa phương.
Bài 5:
Giả sử
f ( x ) ∈ C∞ ( R ), f (k ) (0) = 0 ∀ k=0,1,2.... và f (k ) ( x) ≥ 0 với x > 0, k = 1,2,.... CMR:
f ( x) = 0 với x > 0
Giải:
53
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
Khai triển Taylor hàm
f ( x ) với x = 0, x > 0 chú ý f k (0) = 0 ∀ k ∈ N
n −1
f (x) = ∑
k =0
=
Vì
f k (0) k f ( n) n
x +
x , 0< θ < x
k!
n!
1 (n)
f (θ ) x n
n!
f (n+1) ( x ) ≥ 0, x > 0 nên f (n) ( x ) với x > 0 . Do đó f (n) (0) < f (n) ( x )
f ( n ) (θ) n 1 (n ) n
f ( x) =
x ≥ f (x)x , n ∈ Ν
n
!
n!
Do đó
(1)
Mặt khác áp dụng công thức Taylor tại điểm x ta lại có
n− 1
f (2 x ) = ∑
k= 0
Từ (1) và (2)
f ( k ) ( x ) k f ( n ) (θ 1 ) n n − 1 f ( k ) ( x )
x +
x ≤∑
, x < θ 1 < 2x
k!
n!
k
!
k= 0
(2)
⇒ f (2 x) ≤ nf ( x ) ∀ n ∈ Ν
Điều này xảy ra khi
f (x) = 0
ta có điều phải chứng minh.
IV. Bài tập đề xuất:
Bài 1: Khai triển hàm số
f (x) = e
2 x − x2
5
x
theo luy thừa nguyên dương của x đến
Bài 2: Tìm đạo hàm cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinx
54
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
1
f ( x ) = 1 + x − x (x > 0) theo lũy thừa nguyên dương của x đến
Bài 3: Khai triển
2
1
x3 .
Bài 4: Áp dụng khai triển Taylor, tính các giới hạn sau:
1.
tan x − sin x
L1 = lim
x →0 sin 3 x
2.
x 2 − sin 2 x
L2 = lim 2 2
x → 0 x sin x
3.
L3 = lim
(
4.
5.
)
ln 1 + x3 − 2sin x + 2 x cos x 2
x →0
1 + x cos x − 1 + 2 x
x→ 0
ln(1 + x) − x
L4 = lim
ex − x 1 + x − 1
L5 = lim
x → 0 sin xchx − shx
L6 = lim
tan x − sin x
6.
e x + ln(1 − x) − 1
x →0
3
8 − x3 − 2
Bài 5: Ước lượng sai số tuyệt đối của công thức gần đúng sau:
x2
xn
e = 1 + x + + ... + , 0 ≥ x ≥ 1
2!
n!
x
a)
b)
x x2
1+ x ≈ 1+ − , 0 ≥ x ≥ 1
2 8
Bài 6: Giả sử
f ( x ) ∈ C∞ [ − 1,1] , f (k ) (0) = 0 k = 1,2....
55
và tồn tại số
α ∈ ( 0,1)
sao cho
Đại học Sư Phạm Thái Nguyên
sup f (k ) ( x ) ≥ α k k ! ∀ k ∈ Ν
CMR
f ( x ) = 0 trên [ − 1,1]
56
