Phương trình dao động điều hòa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 63 trang )
x '' + ω 2 x = 0
(1)
đó là phương trình vi phân tuyến tính hạng hai thuần nhất. Theo lý thuyết
phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
x = A sin ωt + A cos ωt
1
2
(2)
trong đó A1 và A2 là hai hằng số tùy ý. Giả sử giá trị của hàm x và đạo hàm theo
thời gian x’ của nó tại thời điểm ban đầu :
t = 0, x = x( 0) , x' = x' ( 0)
(3)
thì có thể xác định A1 và A2. Biểu thức (3) gọi là điều kiện ban đầu của (1). Từ
điều kiện ban đầu và biểu thức (2) của nghiệm tổng quát ta xác định được giá trị của
các hằng số A1 và A2.
Cho t = 0, từ phương trình (2), ta có :
x = A = x( 0)
2
(4)
Lấy đạo hàm của (2) theo thời gian :
x’ = ωA1cosωt - ωA2sinωt
(5)
Cho t = 0 trong phương trình (5)
1
x' ( 0) = ωA hay Α1 = x ' ( 0)
1
ω
Nghiệm (2) với các giá trị của A1 và A2 đã được xác định gọi là nghiệm riêng của
phương trình (1) với điều kiện ban đầu (3).
Nghiệm tổng quát của (2) có thể viết dưới dạng :
x = Acos(ωt + φ)
(6)
trong đó các hằng số tùy ý là A, φ. Hai biểu thức ở vế phải của (2) và (6) là trùng
nhau với mối liên hệ giữa các hằng số tùy ý như sau:
A=
A12 + A22
A
ϕ = arctan( 1 )
A2
(7)
(8)
10
Với điều kiện ban đầu ta cũng xác định giá trị của các hằng số tương tự như trên.
Cũng có thể tính A và φ theo (7) và (8):
A = x 2 ( 0) +
ϕ = arctan(
x '2
ω2
(9)
x ' ( 0)
)
ωx ( 0 )
(10)
Biểu thức ở vế phải của (6) với các hằng số A, φ đã xác định theo (9) và 10) với
điều kiện ban đầu (3). Đó là biểu thức của một dao động điều hòa có biên độ A và pha
ban đầu φ , hai đại lượng này phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu, tức là vào điều
kiện ban đầu, tần số góc của dao động đã có giá trị xác định trong (1).
Trong từng trường hợp cụ thể ω có biểu thức xác định, chỉ phụ thuộc vào hệ dao
động. Như vậy, các dao động của một hệ có cùng một tần số góc ω và có biên độ A,
pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.
Công thức độc lập ( liên hệ x, v,
và A)
2.2.2. Phương trình dao động điều hòa trong trong sách giáo khoa vật lý 12 trung
học phổ thông
Đối với sách giáo khoa vật lý 12 trung học phổ thông, tác giả chỉ dung phương
trình dao động điều hòa dưới dạng x = Acos(ωt + φ), không đề cập đến phương trình
vi phân vì:
Phương trinh này cho biết vị trí của vật dao động tại một vị trí bất kì, rất giống
với các phương trình chuyển động của chuyển động thẳng đều (x =xo +vt) hoặc
chuyển động thẳng biến đổi đều ( x=x0 +v0t+1/2at2) mà học sinh đã quen thuộc.
Phương trình này thể hiện rõ mối liên hệ mật thiết giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều do đó sẽ thuận tiện hơn trong việc thiết lập phương trình dao
động điều hòa như là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều.
11
Thuận tiện cho việc biễu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay sẽ học phần
sau.
Thuận tiện cho việc biễu diễn dao động điều hòa bằng một số phức khi học các
lớp trên.
2.3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa
2.3.1. Li độ
Li độ x là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng.
(11)
Vì vật dao động theo hướng này rồi lại sang hướng kia, nên x biến thiên giữa x =
A và x = -A, li độ có thể nhận giá trị âm, dương, hoặc bằng không.
Ý nghĩa: Li độ cho biết độ lệch và chiều lệch của vật khỏi vị trí cân bằng.
2.3.2. Biên độ
Biên độ A là li độ cực đại của vật dao động điều hòa.
Biên độ phụ thuộc vào điều kiện kích thích, tức là phụ thuộc vào năng lượng làm
vật dao động. Biên độ luôn nhận giá trị dương và có cùng đơn vị với li độ.
Ý nghĩa: Biên độ A cho biết phạm vi dao động của vật.
2.3.3. Pha của dao động
(ωt + ϕ) là pha của dao động tại thời điểm t.
Đơn vị của pha dao động là radian (rad).
Ý nghĩa: pha dao động cho biết trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển
động) của vật ở thời điểm t.
2.3.4. Pha ban đầu của dao động
là pha ban đầu của dao động
phụ thuộc vào gốc thời gian, chiều dương và gốc tọa độ của trục (hệ quy
chiếu).
Ý nghĩa:
cho biết trạng thái ban đầu (x0, v0, ao) của vật (ở thời điểm t = 0).
2.3.5. Chu kỳ
12
Chu kì (kí hiệu là T) là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn
phần.
Hay chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí cũ và theo hướng
cũ (trở lại trạng thái ban đầu).
T=
t
N
Trong đó: N là số dao động mà vật thực hiện được trong thời gian t.
Đơn vị của chu kì là giây (s).
2.3.6. Tần số
Tần số (kí hiệu là f) là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một giây.
f =
N
t
hay f =
1
T
Đơn vị của tần số là một trên giây (1/s) gọi là héc( kí hiệu Hz).
2.3.7. Tần số góc
gọi là tần số góc của dao động.
Đơn vị của tần số góc là radian trên giây (rad/s).
Biểu thức liên hệ của
với T và f:
Ý nghĩa: tần số góc cho biết mức độ nhanh chậm của dao động.
2.3.8. Vận tốc trong dao động điều hòa
Vận tốc tức thời của một vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của li độ (x)
của vật theo thời gian.’
Biểu thức vận tốc của vật dao động điều hòa :
v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +
π
)
2
Ý nghĩa của biểu thức:
13
