“ Dao động mà hệ thực hiện dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn gọi là dao động cưỡng bức”.

Biên độ của dao động cưỡng bức không chỉ phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng

bức mà còn phụ thuộc vào cả độ chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số

riêng của hệ dao động. Khi tần số của lực cưỡng bức càng gần với tần số riêng của hệ

thì biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.

4.4.3.Khảo sát dao động cưỡng bức

Xét con lắc lò xo chuyển động dọc

theo trục x, tác dụng lên vật ngoại lực biến

đổi điều hòa, cùng phương với dao động

F ( t ) = Fo cos Ωt (1)



nhưng có tần số góc Ω khác với



Dao động cưỡng bức



tần số góc ωo của dao động tự do con lắc

lò xo.

Phương trình chuyển động của vật trong trường hợp này là :

ma = − kx − η v + F ( t )



Hay



dx

d 2x

m

= −kx − η

+ F cos Ωt

o

2

dt

dt



Hay



F

d 2 x η dx k

+

+ x = o cos Ωt

m

dt 2 m dt m



Ta đặt



ωo2 =



k

m



,



(2)



η

= 2β

m



thì phương trình chuyển động của vật có thể viết dưới dạng :

F

d 2x

dx

+ 2β

+ ω 2 x = o cos Ωt

o

dt

m

dt 2



(3)



Phương trình vi phân này gọi là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức.

Theo lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của phương trình trên là tổng

của hai số hạng:

x=x +x

1 2



(4)

37



Trong đó x1 là nghiệm tổng quát của phương trình giống như (3)nhưng vế phải

bằng 0, tức là nghiệm của phương trình (7’) mục 4.2.3 , x2 nghiệm riêng của phương

trình (443.3), ta có thể đặt:

x = A cos( Ωt + ϕ )

2



(5)



thay vào phương trình (20) ta xác định được A và ϕ

Fo



A=



2



m  ωo2 − Ω 2  + 4β 2Ω 2







tan ϕ = −



2β Ω

ωo2 − Ω 2



(6)



(7)



Ta xét sự biến thiên của nghiệm x cho bởi (443.4) theo thời gian, số hạng thứ

−α t

−α t

nhất x1 giảm theo hàm mũ âm ( x1 = Ao e −βt cos( ωt + ϕ ) hoặc x = C e 1 + C e 2 )

1

2

1



sau một thời gian chuyển tiếp nào đó, x1 coi như bằng không dao động này bị tắt dần

do ma sát và x = x2 = A cos(Ωt + ϕ ) .Như vậy sau thời gian chuyển tiếp là thời gian ổn

định kéo dài, trong đó dao động cưỡng bức có công thức (5), đó là dao động điều hòa

cùng tần số góc với lực cưỡng bức, có biên độ A và ϕ cho bởi công thức (6) (7).

4.5. Cộng hưởng

4.5.1. Khái niệm

Với biên độ F0 của ngoại lực đã cho, khi khảo sát biên độ của dao động cưỡng

bức, thấy rằng biên độ A của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào sự chênh lệch giữa

tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ. Khi tần số của lực cưỡng

bức có giá trị gần bằng giá trị tần số riêng của hệ thì biên độ của dao động cưỡng bức

càng lớn. Biên độ của dao động cưỡng bức đạt giá trị lớn nhất khi tần số của lực

cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động.



38



“Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số f

của lực cưỡng bức tiến đến bằng tần số riềng f 0 của hệ dao động gọi là hiện tượng

cộng hưởng”

Điều kiện xãy ra hiện tượng cộng hưởng: f=f0.

4.5.2. Cộng hưởng li độ

Ta xét sự phụ thuộc của biên độ A của li độ x vào tần số góc Ω của ngoại lực

theo công thức (6) mục 4.4.3. Biên độ A đạt giá trị cực đại khi mẫu số của phân số đạt

giá tri cực tiểu. Mẫu số cực tiểu khi :

B( Ω ) =  ωo2 − Ω 2  + 4 β 2Ω 2 cực tiểu





B( Ω ) đạt cực tiểu khi đạo hàm của nó theo Ω triệt tiêu



dB

=0

dΩ



Khi đó : Ω 2 = ω o2 − 2β 2 hay Ω = Ωch = ωo2 − 2β 2

Biên độ dao động cực đại của dao động cưỡng bức là:

Amax =



Fo

2mβ ωo2 − β 2



(1)



Vậy: Biên độ A của li độ x trong dao

động cưỡng bức biến đổi theo tần số góc Ω

của ngoại lực và đạt giá trị cực đại khi

Ω=Ω



ch



Từ (1)ta thấy lực cản của môi trường

càng yếu thì biên độ cộng hưởng Amax càng



Sự phụ thuộc của biên độ dao động vào



lớn, khi không có lực cản thì Amax trở thành lớn vô cùng. Mặt khác khi β = 0 thì

Ω



ch



= ω tức là tần số cộng hưởng trùng với tần số dao động riêng của hệ.

o



Đồ thị trình biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng bức vào tần số

của ngoại lực. Trong hình là ba đường cong cộng hưởng ứng với ba giá trị khác nhau

39



của lực cản của môi trường. Ta thấy lực cản càng yếu thì đường cong cộng hưởng

càng nhọn và tần số cộng hưởng càng gần giá trị ωo là tần số dao động riêng của hệ.

4.5.3. Ứng dụng hiện tượng cộng hưởng

Ðo tần số dòng điện - tần số kế

Tần số kế gồm một dãy những thanh thép gắn song song, mỗi thanh có một tần

số dao động riêng (Hình 4.7).

Phía dưới các thanh có gắn một nam châm điện được từ hoá bởi dòng điện xoay

chiều có tần số cần phải xác định. Cứ trong mỗi khoảng thời gian bằng một chu kỳ

của dòng xoay chiều, các thanh thép được nam châm điện hút vào, nhả ra hai lần liên

tục.



Nói cách khác, các thanh thép bị cưỡng bức dao động với tần số bằng hai lần tần

số của dòng xoay chiều. Thanh thép nào có tần số riêng đúng bằng hai lần tần số của

dòng xoay chiều sẽ dao động mạnh nhất (cộng hưởng nhọn). Chia đôi tần số riêng của

thanh thép ta sẽ được tần số của dòng xoay chiều. Ðể cho tiện, trên mỗi thanh thép

đều đã ghi sẵn một tần số bằng nửa tần số riêng của nó..

Cộng hưởng từ hạt nhân

Cộng hưởng tử hạt nhân (NMR). NMR là một kĩ thuật dùng để luận ra cấu trúc

phân tử của những hóa chất chưa biết, và nó cũng dùng cho việc chụp ảnh y khoa của

phần bên trong cơ thểngười. Nếu bạn từng đi chụp quét NMR, thật ra người ta sẽ cho

40



bạn biết bạn đang chịu sự “chụp ảnh cộng hưởng từ” hay “MRI”, vì người ta hoảng sợ

với từ “hạt nhân”. Thật ra, hạt nhân được nhắc tới đơn giản là hạt nhân không phóng

xạ củacác nguyên tử tìm thấy tự nhiên trong cơ thể bạn.Sau đây là cách thức NMR

hoạt động: Cơ thể bạn chứa số lượng lớn cộng hưởng nguyên tử hydrogen, mỗi

nguyên tử chứa một electron nhỏ, nhẹ quay tròn xung quanh một proton lớn nặng.

Proton luôn luôn quay tròn trên trục riêng của nó, và kết hợp của chuyển động quay

của nó và điện tích của nó làm cho nó hành xử giống như một nam châm nhỏ. Nguyên

tắc giống hệt như nguyên tắc của nam châm điện, gồm một cuộn dây có chuyển.Tái

dựng ba chiều bằng máy tính hình dạng của não người, dựa trên dữ liệu cộng hưởng

từ động quay tròn của các điện tíchtrong cuộn dây làm cho cuộn dây có từ tính, và

theo kiểu tươngtự, chuyển động quay tròn của điện tích của proton làm cho proton có

từ tính.Giờ thì một proton trong một trong các nguyên tử hydrogen của cơ thể bạn tự

tìm thấy nó bị vây quanh bởi nhiều hạt tích điện đang quay tròn khác: electron riêng

của nó, cộng với các electron và hạt nhân của các nguyên tử lân cận khác. Những lân

cận này tác dụng giống như nam châm, và tác dụng lực từ lên



proton, h/2. k của



proton đang dao động đơn giản là số đo của độ lớn tổng hợp của những lực từ này.

Tùy thuộc vào cấu trúc của phân tử trong bị NMR bắn phá mẫu vật với sóng vô tuyến,

và nếu tần số của sóng vô tuyến phù hợp với tần số cộng hưởng của proton, thì proton

sẽ hấp thụ mạnh năng lượng sóng vô tuyến và dao động dữ dội. Các dao động của nó

bị hãm không phải bởi ma sát, vì không có ma sát bên trong một nguyên tử, mà bởi sự

tái phát xạ sóng vô tuyến. Bằng cách truy ngược lại qua chuỗi lí giải này, người ta có

thể xác định sắp xếp hình học của các nguyên tử lân cận của nguyên tử hydrogen.

Người ta cũng có thể định vị các nguyên tử trong không gian, cho phép ảnh chụp y

khoa được tạo ra. Cuối cùng, cần phải lưu ý rằng hành trạng của proton không thể mô

tả hoàn toàn chính xác bằng vật lý học Niu-tơn. Các dao động của nó thuộc loại lạ

lùng và quỷ quái được mô tả bằng các định luật của cơ học lượng tử. Tuy nhiên, thật

ấn tượng là một vài khái niệm đơn giản mà chúng ta đã học được về sự cộng hưởng

có thể vẫn áp dụng thành công để mô tả nhiều khía cạnh của hệ kì lạ này.

Ví dụ khác

41



Một em nhỏ cũng có thể chỉ dùng một lực nhỏ để đưa võng cho người lớn bằng

cách đẩy nhẹ chiếc võng mỗi khi nó lên tới độ cao gần nhất chỗ em đứng. Tiếp tục

đẩy như vậy một thời gian, tức là tác dụng lên võng một lực tuần hoàn có chu kì bằng

chi kì riêng của võng, em nhỏ có thể đưa võng lên rất cao, tức là làm cho biên độ dao

động của võng rất lớn. Nếu muốn dùng sức để đẩy võng một lần lên độ cao như vậy,

em nhỏ sẽ không làm nổi.

Ngăn ngừa sự phá hoại vì cộng hưởng cơ

Trong thực tế, hiện tượng cộng hưởng cơ thường gây tác hại. Cầu bắc qua sông,

đặc biệt là cầu treo, bao giờ cũng có một tần số dao động riêng. Nếu cầu chịu một lực

tác dụng tuần hoàn có tần số xấp xỉ tần số riêng của nó, cầu có thể rung động rất mạnh

và có thể bị gãy. Dưới đây ta xét trường hợp nguy hiểm có thể xảy ra khi có một động

cơ quay đặt trên một nền xi măng (Hình 4.8). Khi động cơ quay, nền xi măng rung

động. Ưng với một tần số quay nào đó của động cơ, nền xi măng có thể rung động

mạnh nhất và có thể bị phá vỡ. Nguyên nhân là vì các bộ phận quay của động cơ

không thể nào làm hoàn toàn đối xứng được, nên trọng tâm của các bộ phận này

không nằm trên trục quay. Khi động cơ quay, các bộ phận này sinh ra một lực kích

thích tuần hoàn tác dụng lên trục máy và nền xi măng. Ứng với một vận tốc góc quay

nào đó của động cơ (tức là tần số góc của lực kích thích) thì xảy ra hiện tượng cộng

hưởng nhọn và nền xi măng có thể bị phá vỡ, trục động cơ có thể bị gãy. Vận tốc góc

này của động cơ gọi là vận tốc nguy hiểm.

Ðể tránh tai nạn, ta phải cố gắng làm cho các bộ phận quay trong động cơ được

đối xứng tốt, cho động cơ chạy với vận tốc góc gấp hai, ba lần vận tốc nguy hiểm. Và

khi mở máy, ta phải cho động cơ chạy thật nhanh qua vận tốc góc nguy hiểm này.



42



Giữa thế kỉ XIX một đoàn quân đi đều bước qua một chiếc cầu treo làm chiếc

cầu rung lên dữ dội và dứt xuống, gây tai nạn chết người. Đó là vì tần số bước đi của

đoàn quân tình cờ trùng với tần số dao động riêng của chiếc cầu và gây ra cộng

hưởng. Sau tai nạn này, điều lệnh quân đội các nước đều cấm các đoàn quân đi đều

bước khi qua cầu.

5. Tổng hợp dao động - Phương pháp giãn đồ Fresnel

5.1. Dao động điều hòa và chuyển

động tròn đều

Giả sử có một chất điểm M



M



chuyển động tròn đều trên một

chiều dương (ngược chiều kim



M



ωt

ϕ



đường tròn tâm O, bán kính A, theo

O



ω

0



P



A



x



đồng hồ) với tốc độ góc ω . (hình

vẽ).

Gọi P là hình chiếu của điểm

M lên trục Ox trùng với đường



Hình chiếu của chuyển động tròn đều trên trục Ox là

dao động điều hòa



kính của đường tròn và có góc

trùng với âm O của đường tròn. Ta

thấy điểm P dao động trên trục Ox quanh góc tọa độ O. Xét dao động của điểm P trên

trục Ox có đặc điểm gì.

43



Giả sử tại thời điểm ban đầu (t=0), điểm M ở vị trí M 0, được xác định bằng góc

·AOM = ϕ (rad). Sau thời gian t giây, chất điểm chuyển động đến vị trí M, khi đó chất

0

·

điểm quay được một góc MOM

0 = ω t . Tại thời điểm t vị trí của chất điểm được xác



định bởi góc ·AOM = (ωt + ϕ ) (rad). Khi đó tọa độ x = OP của điểm P có phương trình

là: x = OM cos(ωt + ϕ ) hay x = A cos(ωt + ϕ )

Trong đó A, ω , ϕ là các hằng số.

Vì hàm sin hay cosin là một hàm điều hòa, nên dao động của điểm P được gọi là

dao động điều hòa.

uuuur



Bây giờ, ta xét véc tơ OM 0 gắn với chất điểm, khi chất điểm quay quanh trục Ox

uuuur



theo chiều dương với vận tốc góc ω thì véc tơ OM 0 cũng quay quanh trục Ox theo

uuuur



chiều dương với vận tốc góc ω . Khi đó hình chiếu của véc tơ OM 0 xuống trục Ox tại

thời điểm t bất kì cũng được biểu diễn bằng một dao động điều hòa:

x = OM cos(ωt + ϕ ) hay x = A cos(ωt + ϕ ) .



5.2. Phương pháp giản đồ véctơ của Fre-nen

Chọn trục Ox theo phương ngang

uur



Vẽ véc tơ OA có góc trùng với góc tọa độ O, và có độ dài tỉ lệ với biên độ A, và

hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu ϕ

uur



Véc tơ OA quay quanh trục Ox theo chiều dương với tốc độ góc bằng tần số góc

ω của dao động điều hòa



5.3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số

Trong thực tế ta thường gặp trường hợp một vật đồng thời tham gia nhiều dao

động điều hòa cùng phương.

Trước hết, ta xét trường hợp một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa

cùng phương và cùng tần số góc. Giả sử hai dao động điều hòa này có dạng:

x1 = A1cos(ωt + ϕ1 )

x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )

44