Các phương trình (1) và (2) cho biết động năng và thế năng của dao động điều hòa là hàm của thời gian, bây giờ ta sẽ xét những năng lượng đó như là hàm của li độ x. Phương trình thế năng như là hàm của li độ x là: . Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng đ

Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo thẳng đứng. Vật chuyển động

theo phương thẳng đứng không ma sát và chú ý con lắc dao động trong giới hạn đàn

hồi của lò xo.

Khi chưa treo vật, lò xo không biến dạng và có chiều dài tự nhiên l0.

Khi treo vật, vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn một đoạn Δlo

Tại vị trí cân bằng vật chịu tác dụng của trọng lực



và lực đàn hồi



, hai lực



này cân bằng:

Về độ lớn: P – Fđh =0



mg = k ∆lo



Tại vị trí cân bằng lò xo đã biến dạng một lượng ∆l0 =



mg

k



Kéo vật từ vị trí cân băng hướng xuống một đoạn x, rồi thả nhẹ vật, tại vị trí có li

r



r



độ x vật chịu tác dụng của các lực trọng lực P và lực đàn hồi Fdh .

Trong đó, lực đàn hồi của lò xo có giá trị đại số Fdh = −k (∆lo + x) .

r



r



r



Theo định luật II Niuton: P + Fdh = ma .

Chiếu lên phương chuyển động, chiều dương như hình vẽ, ta có:

mg − k (∆l0 + x ) = ma



Mà mg = k ∆lo , nên phương trình trên được viết lại như sau: −kx = ma

Mặt khác ta có:



a =



d 2x

dt 2



, biến đổi các số hạng ta có:



d 2x

k

=− x

m

dt 2



(1)



Định luật hai Niu-tơn bây giờ trở thành một phương trình vi phân đối với tọa độ

x. Nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng:

x = A cos( ω t + ϕ )



(2)



Đạo hàm bậc hai của x đối với t là:

d 2x

= −ω 2 A cos(ωt + ϕ )

2

dt

21



Thay vào phương trình (13), ta được:

− ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −



k

x

m



Như vậy, phương trình (2) là nghiệm của phương trình (1) với ω 2 =

này có ý nghĩa là vật thực hiện dao động điều hòa với tần số góc ω =



Chu kỳ con lắc lò xo thẳng đứng:



k

. Điều

m



k

.

m



.



Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k( ∆l0 + A).

Lực đàn hồi cực tiểu : Fmin = k( ∆l0 – A), nếu ∆l0 > A thì Fmin = 0.

Lực đàn hồi khi vật ở vị trí bất kỳ : F = k ( ∆l0



).



3.1.3.2. Khảo sát dao động của con lắc lò xo thẳng đứng về mặt năng lượng

Xét chuyển động của vật nặng có khối lượng trong con lắc lò xo thẳng đứng. Vât

dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos( ωt + ϕ ) , phương trình vận tốc

v = - ωAsin(ωt + ϕ).

Động năng của con lắc lò xo

Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:

Wd =



1 2 1

mv = mω 2 A2 sin 2 ( ωt + ϕ )

2

2



Wd max =



(3121.1)



1 2

1

mv max = kA2

2

2



Thế năng của con lắc lò xo

Chọn mốc tính thế năng là đầu tự do của lò xo khi

chưa treo vật nặng.

Thế năng của con lắc là tổng hợp của thế năng đàn

hồi của lò xo và thế năng trọng trường của vật m.



22



Thế năng của con lắc lò xo tại VTCB, tức tại x=0 là:

1

k ∆l 20 − mg ∆l0

2

Như đã biết, vật m đứng yên ở VTCB thì khi thả tay, nó đứng yên mãi và con



Wt ( x = 0) =



lắc không dao động. Điều đó có nghĩa là thế năng của con lắc ở VTCB dù có giá trị

thế nào cũng không gây ra dao động điều hòa của con lắc (xét về mặt năng lượng).

Kéo vật nặng của con lắc đến vị trí có li độ x thì thế năng của con lắc là:

Wt =



1

1

1

k (∆l0 + x) 2 − mg ( ∆l + x ) = kx 2 + ( k ∆l0 − mg ) x + k ∆l 2 0 − mg ∆l0

2

2

2

(3121.2)



Biết rằng tại VTCB, ta có Fhl =0 hay k ∆l0 − mg = 0

1 2

Kết hợp với (3121.1), ta có Wt ( x) = Wt ( 0 ) + kx

2

Nếu thả vật nặng ở li độ x thì vật sẽ dao động. Xét về mặt năng lượng, vì Wt(x)

lớn hơn Wt(0), càng lớn hơn thì con lắc dao động càng mạnh. Như vậy hiệu thế năng

Wt ( x) − Wt ( 0 ) =



1 2

kx mới tham gia vòa quá trình chuyển hóa năng lượng một cách

2



điều hòa từ thế năng sang động năng và ngược lại. Vì hiệu thế năng không phụ thuộc

vào mốc tính thế năng nên nếu ta chọn VTCB làm mốc thì thế năng của con lắc ở li

độ x là: Wt ( x) =



1 2

kx

2



Cơ năng của con lắc lò xo

Cơ năng của con lắc lò xo là tổng động năng và thế năng của con lắc:

W = Wt + Wd

1

mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ ) + sin 2 (ω t + ϕ ) 

2

1

= mω 2 A2

2

1

= kA2 = Wd max = Wtmax = const

2

=



3.1.4. Phân biệt lực kéo về và lực đàn hồi của lò xo

23



Lực đàn hồi

Lực đàn hồi là một lực độc lập, xuất hiện khi vật bị biến dạng đàn hồi, phụ thuộc

vào độ biến dạng của vật đối với trạng thái tự nhiên của nó.

Lực đàn hồi có xu hướng đưa vật trở về trạng thái tự nhiên.

Lực kéo về

Lực kéo về là hợp lực của các lực tác dụng vào vật dao động điều hòa, phụ thuộc

vào li độ của vật đối với vị trí cân bằng.

Lực kéo về có xu hướng đưa vật trở lại vị trí cân bằng, giúp duy trì chuyển động

của vật.

Đối với con lắc lò xo nằm ngang ( bỏ qua ma sát), thì lực kéo về là lực đàn hồi

của lò xo tác dụng vào vật m: F = -kx (x vừa là li độ vừa là độ biến dạng của lò xo).

Vì khi đó chỉ có 1 lực tác dụng duy nhất vào vật là lực đàn hồi nên nó cũng chính là

lực kéo về hay lực hồi phục gây ra dao động cho vật.

Đối với con lắc lò xo nằm thẳng đứng, nếu chọn chiều dương hướng xuống,

chọn gốc tọa độ tai vị trí cân bằng thì tại vị trí cân bằng, ta có:

Lực đàn hồi : Fdh = −k ∆l0

Lực kéo về: F = Fdh + P = −k ∆l0 + mg = 0

Còn tại vị trí li độ x, ta có:

Lực đàn hồi Fdh = −k (∆l0 + x) = − k ∆l0 − kx

Lực kéo về F= k∆l0 + mg – kx = -kx

Đây chính là kéo về hay lực phục hồi làm cho lò xo dao động quanh vị trí cân bằng .

Do đó ta thấy lực kéo về lúc này khác lực đàn hồi do một phần lực đàn hồi của lò xo

đã được cân bằng với trọng lực P.

3.1.5. Giải thích quá trình vật thực hiện dao động điều hòa

Khi buông vật, dưới tác dụng của lực kéo về hướng về vị trí cân bằng, vật

chuyển động về vị trí cân bằng nhanh dần.

Đến vị trí cân bằng, khi đó li độ x = 0, lực kéo về hay lực hồi phục F = 0. Tuy

nhiên nhờ vào quán tính vật vượt qua khỏi vị trí cân bằng.

24



Sau khi qua vị trí cân bằng, lực kéo về xuất hiện theo hướng ngược lại làm cho

vật chuyển động chậm dần rồi dừng lại.

Sau đó quả cầu thực hiện lại quán tính như cũ nhưng ngược chiều. Nếu không có

ma sát, vật dao động mãi mãi.

3.1.6. Sự chuyển hóa năng lượng của con lắc lò xo trong quá trình dao động

Khảo sát định tính

Kéo vật m của con lắc từ vị trí cân bằng đến biên, công của lực kéo truyền cho

vật dưới dạng thế năng.

Thả vật, lò xo co lại, lực kéo về kéo hòn bi về phía vị trí cân bằng. Vận tốc của

vật tăng, động năng tăng còn thế năng giảm.

Khi đến vị trí cân bằng, thế năng bằng không, động năng cực đại. Do quán tính,

hòn bi tiếp tục chuyển động, lò xo lúc này bị nén, lực kéo về hướng về vị trí cân bằng,

ngược chiều chuyển động làm hòn bi chuyển động chậm dần, động năng giảm và thế

năng tăng.

Đến biên, lò xo bị nén cực đại, vật dừng lại, động năng bằng không và thế năng

cực đại.

Quá trình lập lại ngược chiều trước và cứ thế diễn biến, khi động năng tăng một

lượng bao nhiêu thì thế năng giảm một lượng bấy nhiêu và ngược lại.

Khảo sát định lượng

1

2



2



Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x = A, thế năng Wt = kA và thả nhẹ v =

1

2



2



0, động năng Wd = 0 , cơ năng của vật W = Wd + Wt = kA .

Buông nhẹ vật chuyển động nhanh dần về vị trí cân bằng động năng tăng dần,

1

2



2



thế năng giảm dần, cơ năng của vật W = Wd + Wt = kA .

Đến vị trí cân bằng, li độ x = 0, thế năng Wt = 0 , vận tốc đạt cực đại,

Wd max =



1 2

1 2

kA , cơ năng vật W = Wd + Wt = kA .

2

2

25



Do quán tính vật vượt qua vị trí cân bằng chuyển động chậm dần về phía biên,

vận tốc giảm, động năng giảm, li độ tăng và thế năng tăng, cơ năng của vật của vật

W = Wd + Wt =



1 2

kA .

2

1

2



2



Đến biên, vận tốc v=0, động năng Wđ=0, x = -A, thế năng Wt = kA , cơ năng của

1

2



2



vật W = Wd + Wt = kA .

Sau đó vật đổi chiều chuyển động và quá trình lặp lại như cũ.

3.2. Con lắc vật lý

3.2.1. Định nghĩa

Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng

M có thể dao động quanh một trục nằm

ngang cố định (đi qua O).

3.2.2. Khảo sát dao động của con vật lý về

mặt động lực học

Xét con lắc vật lý: Gọi C là khối tâm



Con lắc vật lý



của vật rắn, C cách O một đoạn L.

Khi con lắc ở vị trí cân bằng, có hai ngoại lực tác dụng: trọng lực F e và phản lực

R đặt tại O do trục quay tác dụng lên vật rắn. Tại vị trí này mômen của của hai lực

trên đối với trục quay đi qua O đều bằng 0 do đó gia tốc góc az = 0.

Dưới tác dụng của trọng lực Fe con lắc dao động. Chọn góc lệch θ của OC so với

đường thẳng đứng làm tọa độ góc. Tại vị trí này thì tổng mômen các lực đối với trục

O là mô men của trọng lượng F e. Đối với giá trị dương của góc θ , mômen lực này có

xu hướng làm quay theo chiều kim đồng hồ, tức là có xu hướng kéo con lắc về vị trí

cân bằng. Khoảng cách vuông góc từ trục O đến đường tác dụng của F e bằng Lsin θ .

Với trục z được chọn đi ra phía ngoài trang giấy thì thành phần z của mômen lực

M z = − Fe L sin θ = mgL sin θ . Áp dụng định luật II Niu- tơn cho chuyển động quay:

26



∑ M z = Iγ z hay : - mgLsin θ = I γ z

mgL



sin θ đối với chuyển động quay.

Gia tốc góc γ z = −

I



Mặt khác γ z =



mgL

d 2θ

θ '' +

sin θ = 0 (1)

2 . Thay vào biểu thức trên ta có :

dt

I



Xét dao động con lắc chỉ giới hạn những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng:

Khi đó sin θ ≈ θ với θ đo bằng radian, thay vào biểu thức (1) ta có: θ '' +

biểu thức này hoàn toàn tương tự với biểu thức a x + ω 2 x = 0 nếu ta thay ω 2 =



mgL

θ =0

I



mgL

. Vì

I



γ z tỉ lệ với - θ đối với những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng, nên con lắc sẽ thực



hiện dao động điều hòa. Tọa độ góc con lắc vật lý đối với những dịch chuyển nhỏ là:

θ = θ 0 cos ( ω t + θ ) với ω =



mgL

I



(2)



Vậy dao động của con lắc là dao động điều hòa.

Với θ là tọa độ góc, biểu diễn tọa độ góc cực đại.

Chu kì con lắc vật lý: T = 2π



I

mgL



(3)



3.2.3. Ứng dụng con lắc vật lý

Dùng con lắc vật lý đo gia tốc trọng trường g. Đặt con lắc tại một vị trí, đo chu kì

T của con lắc dao động. Dùng công thức T = 2π



I

suy ra gia tốc g của trọng

mgL



trường tại vị trí đặt con lắc. Biết giá trị g tại các vị trí khác nhau trong một vùng, có

thể suy ra phân bố khối lượng khoáng vật ở dưới mặt đất trong vùng đó giúp cho việc

tìm mỏ dầu..



27



3.3. Con lắc đơn

C



3.3.1. Định nghĩa

Con lắc đơn gồm vật nặng có kích thước nhỏ, có

khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không giãn

có độ dài l và có khối lượng không đáng kể.

3.3.2. Khảo sát con lắc đơn về mặt động lực học

Xét con lắc đơn có toàn bộ khối lượng tập trung

vào một đầu và được treo ở đầu kia.



O



Ở đây con lắc chuyển động trên một phần cung



Con lắc đơn



tròn, nên ta có thể dùng một tọa độ góc và áp dụng động

lực học cho chuyển động quay để



C



phân tích chuyển động của con lắc.

Chọn trục O đi qua đầu trên

của dây và vuông góc với mặt



α



phẳng hình vẽ.



r

T



Chọn chiều dương hướng từ



M



trái sang phải, góc tọa độ cong tại vị



O



trí cân bằng O



r

+P

t



Vật nặng ở vị trí M xác định

·

bởi OM

= s = l α , s gọi là li độ cong



Khi dây treo ở phương CM



α



r

Pn



r

P

Lực tác dụng lên vật m



·

được xác định bởi góc OMC

= α gọi



là li độ góc.

Các lực tác dụng lên vật trong quá trình dao động

r



Trọng lực P có: độ lớn P = mg , phương thẳng đứng và chiều từ trên xuống

28



r



Lực căng của sợi dây T có: phương trùng với phương của sợi dây, chiều hướng

vào giữa sợi dây.

r



Ta phân tích trọng lực P thành hai thành phần:

r



Thành phần Pn theo phương của dây treo CM và vuông góc với quỹ đạo tròn:

r



r



Thành phần Pn của trọng lực và T của dây treo vuông góc với quỷ đạo nên không làm

thay đổi tốc độ của vật. Hợp lực của chúng là lực hướng tâm giữ cho vật chuyển động

trên quỹ đạo tròn.

r



r



Thành phần Pt theo phương tiếp tuyến với quỷ đạo: Thành phần Pt của trọng lực

luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O: Pt = −mg sin α

s

Nếu li độ góc α nhỏ thì tan α ≈ sin α ≈ α ≈ , khi đó:

l



s

l

s

⇔ ma = − mg

l

g

⇔ s" + s = 0

l

Pt = −mg



Đặt ω =



(1)



g

gọi là tần số góc của con lắc đơn, ta có: s" + ω 2 s = 0

l



phương trình này có nghiệm: s = S0 cos(ωt + α 0 ) (2)

Trong đó: S0 = l α 0 là biên độ dao động, α 0 là pha ban đầu của dao động

Vậy tần số góc của con lắc đơn: ω =



g

l



(3)



Chu kì dao động của con lắc đơn: T = 2π



l

g



Tần số dao động của con lắc đơn: f = 1



g

l



2π



(4)



(5)

29



Lưu ý: Như vậy thấy rằng, chu kì và tần số của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều

dài dây treo và gia tốc trọng trường. Đã biết ở chiều dài dây và gia tốc trọng trường

lại phụ thuộc vào các yếu tố khác như: chiều dài phụ thuộc vào nhiệt độ, gia tốc trọng

trường phụ thuộc vào độ cao, vĩ độ…nên chu kì của con lắc cũng thay đổi nếu thay

đổi các đại lượng trên.

3.3.3. Khảo sát con lắc đơn về mặt năng lượng

Xét một con lắc đơn dao động điều hòa, chọn mốc tính thế năng tại vị trí cân

bằng.

Động năng của con lắc đơn là động năng của vật:

Wd =



1 2

mv = mgl (cos a − cos a max )

2



Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường của vật:

Wt =mgh= mgl (1 − cos a)



Cơ năng của con lắc đơn: W = Wd + Wt = mgl (1 − cos a max ) = Wd max = Wt max

Như vậy, cơ năng của con lắc đơn là không đổi

Trong quá trình dao động điều hòa của con lắc lò xo và con lắc đơn, có sự biến

đổi qua lại giữa động năng và thế năng, khi động năng tăng thì thế năng giảm và

ngược lại, nhưng tổng của chúng tức là cơ năng thì được bảo toàn.

3.3.4. Sự chuyển hóa năng lượng của con lắc đơn trong quá trình dao động

Khi kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α0 ta đã thực hiện một công và

quả lắc nhận được một thế năng.

Khi lực kéo mất, lực thành phần tiếp tuyến



của trọng lực làm quả lắc chuyển



động nhanh dần về vị trí cân bằng. Động năng tăng còn thế năng giảm.

Khi đến vị trí cân bằng, lực thành phần



= 0, Wt = 0 và Wđ cực đại.



Do quán tính, quả lắc tiếp tục đi lên chậm dần vì



lại xuất hiện nhưng ngược



chiều chuyển động.

30



Khi dừng lại (ở biên), Wt cực đại và Wđ = 0.

Quá trình lập lại ngược chiều trước và cứ thế diễn biến: Khi động năng tăng một

lượng bao nhiêu thì thế năng giảm một lượng bấy nhiêu và ngược lại.



3.3.5. Ứng dụng của con lắc đơn

Con lắc đơn được sử dụng để xác định gia tốc rơi tự do. Trong lĩnh vực địa chất,

các nhà địa chất quan tâm đến những tính chất đặc biệt của lớp bề mặt Trái Đất và

thường xuyên phải đo gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó. Họ đã làm như sau:

Dùng một con lắc đơn chiều dài l tính đến tâm của quả cầu. Đo thời gian của một

số dao động toàn phần, từ đó suy ra chu kì T. Sau đó tính g theo công thức g =



4π 2l

.

T2



Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, mỗi lần rút ngắn chiều dài con lắc đi một đoạn. Lấy giá

trị trung bình g ở các lần, ta được gia tốc rơi tự do tại nơi đó.

4. Các dạng dao động

4.1. Dao động tự do

“ Dao động tự do xuất hiện trong trường hợp mà hệ vật lý được đưa ra khỏi trạng

thái cân bằng và sau đó tự biến đổi không có tác dụng từ bên ngoài”.

Hay có thể định nghĩa “ Các dao động mà hệ thực hiện quanh vị trí cân bằng, sau

khi hệ được đưa ra khỏi vị trí cân bằng bền bằng một cách nào đó” .

Ví dụ: dao động của con lắc lò xo, con lắc đơn…..Chu kỳ dao động riêng phụ

thuộc vào đặc tính của hệ của hệ như chu kỳ con lắc lò xo phụ thuộc vào độ cứng của

lò xo, khối lượng của vật.

4.2. Dao động tắt dần

4.2.1. Khái niệm

Trong thực tế, khi khảo sát dao động

của một hệ, ta không thể bỏ qua các

lực ma sát. Do đó năng lượng của hệ

31