Dao động, dao dộng tuần hoàn

Dao động cơ học là chuyển động cơ học có tính chất lặp đi lặp lại nhiều lần

trong không gian, theo thời gian.

1.2. Dao dộng tuần hoàn

Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động của vật được lặp lại

như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau. Dao động tuần hoàn có mức độ phức

tạp khác nhau tùy theo vật hay hệ dao động. Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao

động điều hòa.

1.3. Cách xây dựng khái niệm dao động cơ và dao động tuần hoàn trong sách

giáo khoa vật lý 12 trung học phổ thông

Đây là hai khái niệm đầu, sách giáo khoa không đi sâu xây dựng khái niệm dao

động cơ, dao động tuần hoàn là gì, mà thông qua các hiện tượng thường gặp trong đời

sống hằng ngày như dây đàn rung động, thuyền nhấp nhô tại chổ neo, màng trống

rung động, con lắc đồng hồ… người học biết được đặc điểm của dao động cơ là

chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng và dao động tuần hoàn là cứ sau những

khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kì) vật trở lại vị trí cũ với vận tốc như cũ ,từ

đó biết cách phân biệt các dao động với nhau và với dao động điều hòa được phân

tích kĩ hơn ở phần sau.

2. Dao động điều hòa

2.1. Khái niệm về dao động điều hòa

2.1.1. Các quan niệm về hình thành khái niệm dao động điều hòa

Có rất nhiều quan niệm hình thành khái niệm về dao động điều hòa, cụ thể:

Quan niệm 1: Quan niệm này mô tả dao động điều hòa theo cách mà chúng xãy

ra, nói cách khác là mô tả không gian và thời gian của dao động (động học)

Dùng hàm điều hòa x = A cos( ωt + ϕ ) hoặc x = A sin ( ωt + ϕ ) để định nghĩa:

“Dao động điều hòa là chuyển động của một vật mà li độ biến đổi theo định luật

dạng sin hay cosin theo theo thời gian, trong đó A, ω, φ là những hằng số”.

Quan niệm 2 : Quan niệm này mô tả nguyên nhân gây ra dao động điều hòa

8



(động lực học)

Dùng biểu thức của lực hồi phục F = −kx để định nghĩa:

“Chuyển động điều hòa đơn giản là chuyển động thực hiện bởi một hạt có khối

lượng m, dưới tác dụng của một lực tỉ lệ với li độ của hạt nhưng trái dấu”

Quan điểm 3: Dùng phương trình vi phân x '' = −ω 2 x hay x '' +ω 2 x = 0 để định

nghĩa dao động điều hòa:

“Dao động điều hòa của một vật là dao động trong đó gia tốc của vật luôn

hướng về vị trí cân bằng và độ lớn tỉ lệ với li độ từ vị trí cân bằng”.

2.1.2. Cách xây dựng khái niệm dao động điều hòa trong sách giáo khoa vật lý

12 trung học phổ thông

Khái niệm dao động điều hòa trong sách giáo khoa được xây dựng theo quan

niệm 1:

“Một vật thực hiện dao động điều hòa nếu tọa độ của nó biên thiên theo thời

gian như một hàm sin hay cosin x = A cos( ωt + ϕ ) ” vì phù hợp với đa số nhận thức

học sinh và theo một số tác giả khái niệm này hoàn chỉnh nhất, thể hiện rõ nhất các

yếu tố đặc trưng cho dao động điều hòa (như li độ, biên độ, tần số góc, pha ban

đầu…) mà các quan niệm khác còn thiếu.

Phương trình dao động điều hòa

Trong Vật lý học, cả hai phương trình dưới đây đều là phương trình của dao

động điều hòa:

x '' +ω2 x =0 (dạng vi phân)



(1)



x = Acos(ωt + φ) hay x = Asin(ωt + φ) (2)

Phương trình (2) là nghiệm của phương trình vi phân (1).

2.2.1. Phương trình vi phân dao động điều hòa

Trong tất cả các tất cả các trường hợp: con lắc lò xo nằm ngang, con lắc lò xo

thẳng đứng, con lắc đơn dao động nhỏ, con lắc vật lý dao động nhỏ, thì phương trình

vi phân của chuyển động đều có dạng:

9



x '' + ω 2 x = 0



(1)



đó là phương trình vi phân tuyến tính hạng hai thuần nhất. Theo lý thuyết

phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

x = A sin ωt + A cos ωt

1

2



(2)



trong đó A1 và A2 là hai hằng số tùy ý. Giả sử giá trị của hàm x và đạo hàm theo

thời gian x’ của nó tại thời điểm ban đầu :

t = 0, x = x( 0) , x' = x' ( 0)



(3)



thì có thể xác định A1 và A2. Biểu thức (3) gọi là điều kiện ban đầu của (1). Từ

điều kiện ban đầu và biểu thức (2) của nghiệm tổng quát ta xác định được giá trị của

các hằng số A1 và A2.

Cho t = 0, từ phương trình (2), ta có :

x = A = x( 0)

2



(4)



Lấy đạo hàm của (2) theo thời gian :

x’ = ωA1cosωt - ωA2sinωt



(5)



Cho t = 0 trong phương trình (5)

1



x' ( 0) = ωA hay Α1 = x ' ( 0)

1

ω



Nghiệm (2) với các giá trị của A1 và A2 đã được xác định gọi là nghiệm riêng của

phương trình (1) với điều kiện ban đầu (3).

Nghiệm tổng quát của (2) có thể viết dưới dạng :

x = Acos(ωt + φ)



(6)



trong đó các hằng số tùy ý là A, φ. Hai biểu thức ở vế phải của (2) và (6) là trùng

nhau với mối liên hệ giữa các hằng số tùy ý như sau:

A=



A12 + A22



A

ϕ = arctan( 1 )

A2



(7)

(8)



10



Với điều kiện ban đầu ta cũng xác định giá trị của các hằng số tương tự như trên.

Cũng có thể tính A và φ theo (7) và (8):

A = x 2 ( 0) +



ϕ = arctan(



x '2

ω2



(9)



x ' ( 0)

)

ωx ( 0 )



(10)



Biểu thức ở vế phải của (6) với các hằng số A, φ đã xác định theo (9) và 10) với

điều kiện ban đầu (3). Đó là biểu thức của một dao động điều hòa có biên độ A và pha

ban đầu φ , hai đại lượng này phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu, tức là vào điều

kiện ban đầu, tần số góc của dao động đã có giá trị xác định trong (1).

Trong từng trường hợp cụ thể ω có biểu thức xác định, chỉ phụ thuộc vào hệ dao

động. Như vậy, các dao động của một hệ có cùng một tần số góc ω và có biên độ A,

pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.

Công thức độc lập ( liên hệ x, v,



và A)



2.2.2. Phương trình dao động điều hòa trong trong sách giáo khoa vật lý 12 trung

học phổ thông

Đối với sách giáo khoa vật lý 12 trung học phổ thông, tác giả chỉ dung phương

trình dao động điều hòa dưới dạng x = Acos(ωt + φ), không đề cập đến phương trình

vi phân vì:

Phương trinh này cho biết vị trí của vật dao động tại một vị trí bất kì, rất giống

với các phương trình chuyển động của chuyển động thẳng đều (x =xo +vt) hoặc

chuyển động thẳng biến đổi đều ( x=x0 +v0t+1/2at2) mà học sinh đã quen thuộc.

Phương trình này thể hiện rõ mối liên hệ mật thiết giữa dao động điều hòa và

chuyển động tròn đều do đó sẽ thuận tiện hơn trong việc thiết lập phương trình dao

động điều hòa như là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều.



11



Thuận tiện cho việc biễu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay sẽ học phần

sau.

Thuận tiện cho việc biễu diễn dao động điều hòa bằng một số phức khi học các

lớp trên.

2.3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

2.3.1. Li độ

Li độ x là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng.



(11)



Vì vật dao động theo hướng này rồi lại sang hướng kia, nên x biến thiên giữa x =

A và x = -A, li độ có thể nhận giá trị âm, dương, hoặc bằng không.

Ý nghĩa: Li độ cho biết độ lệch và chiều lệch của vật khỏi vị trí cân bằng.

2.3.2. Biên độ

Biên độ A là li độ cực đại của vật dao động điều hòa.

Biên độ phụ thuộc vào điều kiện kích thích, tức là phụ thuộc vào năng lượng làm

vật dao động. Biên độ luôn nhận giá trị dương và có cùng đơn vị với li độ.

Ý nghĩa: Biên độ A cho biết phạm vi dao động của vật.

2.3.3. Pha của dao động

(ωt + ϕ) là pha của dao động tại thời điểm t.

Đơn vị của pha dao động là radian (rad).

Ý nghĩa: pha dao động cho biết trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển

động) của vật ở thời điểm t.

2.3.4. Pha ban đầu của dao động

là pha ban đầu của dao động

phụ thuộc vào gốc thời gian, chiều dương và gốc tọa độ của trục (hệ quy

chiếu).

Ý nghĩa:



cho biết trạng thái ban đầu (x0, v0, ao) của vật (ở thời điểm t = 0).



2.3.5. Chu kỳ

12



Chu kì (kí hiệu là T) là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn

phần.

Hay chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí cũ và theo hướng

cũ (trở lại trạng thái ban đầu).

T=



t

N



Trong đó: N là số dao động mà vật thực hiện được trong thời gian t.

Đơn vị của chu kì là giây (s).

2.3.6. Tần số

Tần số (kí hiệu là f) là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một giây.

f =



N

t



hay f =



1

T



Đơn vị của tần số là một trên giây (1/s) gọi là héc( kí hiệu Hz).

2.3.7. Tần số góc

gọi là tần số góc của dao động.

Đơn vị của tần số góc là radian trên giây (rad/s).

Biểu thức liên hệ của



với T và f:



Ý nghĩa: tần số góc cho biết mức độ nhanh chậm của dao động.

2.3.8. Vận tốc trong dao động điều hòa

Vận tốc tức thời của một vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của li độ (x)

của vật theo thời gian.’

Biểu thức vận tốc của vật dao động điều hòa :

v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +



π

)

2



Ý nghĩa của biểu thức:

13



Biểu thức cho biết vận tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa

cùng chu kì, tần số với li độ, nhưng sớm pha hơn



π

so với với li độ.

2



Ở vị trí biên (x = ± A), vận tốc của vật v = 0 (vật dừng lại và đổi chiều chuyển

động).

Ở vị trí cân bằng (x = 0), vận tốc của vật nhận giá trị v = ± ωA . Khi đó, vận tốc

có độ lớn cực đại : vmax = ωA.

Giá trị đại số: v = ωA



(khi v >0 ,vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo



chiều dương).

Giá trị đại số: v = -ωA



(khi v <0 ,vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo



chiều âm).



2.3.9. Gia tốc trong dao động điều hòa

Gia tốc tức thời của một vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của vận tốc

theo thời gian, hay đạo hàm bậc hai của li độ theo thời gian.

Biểu thức gia tốc của vật dao động điều hòa:

a = v' = - ω2Acos(ωt + ϕ) = ω2Acos(ωt + ϕ +π) = - ω2x.

Ý nghĩa của biểu thức:

Biểu thức cho biết gia tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa

cùng tần số với li độ, nhưng ngược pha với li độ (sớm pha



π

so với vận tốc).

2



Gia tốc luôn ngược dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ x.

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng.

Ở vị trí biên (x = ± A) thì a = ± ω 2 A . Khi đó, gia tốc có độ lớn cực đại : amax =



ω2A.

Giá trị đại số:



amax = ω2A (khi x = -A, lúc đó vật ở biên âm).

amin = -ω2A (khi x = A, lúc đó vật ở biên dương).

14



Ở vị trí cân bằng (x = 0) thì a = 0



(ta nói gia tốc bị triệt tiêu).



2.4. Đồ thị của dao động điều hòa

Đồ thị biễu diễn mối quan hệ giữa x, v và a trong dao động điều hòa:



Ý nghĩa: Đồ thị cho thấy li độ, vận tốc, gia tốc của dao động điều hòa đều thay

đổi tuần hoàn theo thời gian với cùng chu kì, tần số, nhưng biên độ và pha khác

nhau. Li độ và vận tốc lệch pha nhau 90 0 , vận tốc và gia tốc lệch pha nhau 90 0, gia

tốc và li độ lệch pha nhau 1800.



15



Đồ thị vật dao động điều hòa được biễu diễn ở năm thời điểm khác nhau

trong một chu kì:



Ý nghĩa: Đồ thị cho biết hướng của vận tốc và gia tốc của vật tại mỗi thời điểm.

3. Một số hệ dao động điều hòa

3.1. Con lắc lò xo

3.1.1. Định nghĩa

Con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào đầu một lò xo độ cứng k

có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo cố định. Vật nặng dao động không ma

sát quanh vị trí cân bằng.

3.1.2. Con lắc lò xo nằm ngang

3.1.2.1. Khảo sát dao động của con lắc lò xo nằm ngang về mặt động lực

học

16



uu

r

N



Xét chuyển động của vật nặng có khối

lượng m trong con lắc lò xo nằm ngang.

Vật chuyển động trên mặt nằm ngang



m



k



a)



v=0



ur

P



không ma sát và chú ý con lắc dao động



O

VTCB



trong giới hạn đàn hồi của lò xo.

Tại vị trí cân bằng lò xo không biến

dạng



Chọn trục Ox như hình vẽ,



b)



gốc O ứng với vị trí cân bằng. Tọa độ x của

vật tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ.



c)



k



uuu

r

Fdh



uu

r

Nuuur



k



+

x



ur

P



Fdh



Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một



uu

r

N



ur

P



đoạn x rồi thả tay ra, ta thấy nó dao động

quanh vị trí cân bằng.

Tại vị trí li độ x vật chịu tác dụng của: trọng lực

r

Fdh của lò xo. Vì



, phản lực



và lực đàn hồi



r



luôn cân bằng nên chỉ có lực Fdh làm vật dao động.



và



Theo định luật Húc:

Trong đó x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên, tức là

không co dãn. Loại lực này được gọi là lực hồi phục tuyến tính. Nó được gọi “tuyến

tính” vì tỉ lệ tuyến tính với độ dịch chuyển x và được gọi là “hồi phục” hay lực kéo về

vì lực luôn ngược hướng với độ dịch chuyển.

Vì lực lò xo chính bằng lực tổng hợp tác dụng lên vật, nên theo định luật hai

Niu-tơn ta có:

Độ lớn: − kx = ma x

Mặt khác ta có:



ax =



d 2x

dt 2



, biến đổi các số hạng ta có:

17



d 2x

k

=− x

m

dt 2



(1)



Định luật hai Niu-tơn bây giờ trở thành một phương trình vi phân đối với tọa độ

x. Nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng:

x = A cos( ω t + ϕ )



(2)



Như chúng ta đã thấy đạo hàm bậc hai của x đối với t là:

d 2x

= −ω 2 A cos(ωt + ϕ )

2

dt



Thay vào phương trình (13), ta được:

− ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −



k

x

m



Như vậy, phương trình (2) là nghiệm của phương trình (1) với ω 2 =

này có ý nghĩa là vật thực hiện dao động điều hòa với tần số góc ω =



k

. Điều

m



k

.

m



Chu kỳ của con lắc lò xo:

Chu kỳ (tần số, tần số góc) của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào đặc tính của hệ,

không phụ thuộc vào các đặc tính bên ngoài nên dao động của nó là một dao động tự

do.

Lực đàn hồi của lò xo:



nên Fmax = kA, Fmin = 0.



3.1.2.2. Khảo sát dao động của con lắc lò xo nằm ngang về mặt năng lượng

Xét chuyển động của vật nặng có khối lượng trong con lắc lò xo nằm ngang. Vât

dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos( ωt + ϕ ) , phương trình vận tốc

v = - ωAsin(ωt + ϕ).

Động năng của con lắc lò xo

Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:

18