Ý nghĩa: Li độ cho biết độ lệch và chiều lệch của vật khỏi vị trí cân bằng.

Chu kì (kí hiệu là T) là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn

phần.

Hay chu kì là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí cũ và theo hướng

cũ (trở lại trạng thái ban đầu).

T=



t

N



Trong đó: N là số dao động mà vật thực hiện được trong thời gian t.

Đơn vị của chu kì là giây (s).

2.3.6. Tần số

Tần số (kí hiệu là f) là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một giây.

f =



N

t



hay f =



1

T



Đơn vị của tần số là một trên giây (1/s) gọi là héc( kí hiệu Hz).

2.3.7. Tần số góc

gọi là tần số góc của dao động.

Đơn vị của tần số góc là radian trên giây (rad/s).

Biểu thức liên hệ của



với T và f:



Ý nghĩa: tần số góc cho biết mức độ nhanh chậm của dao động.

2.3.8. Vận tốc trong dao động điều hòa

Vận tốc tức thời của một vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của li độ (x)

của vật theo thời gian.’

Biểu thức vận tốc của vật dao động điều hòa :

v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +



π

)

2



Ý nghĩa của biểu thức:

13



Biểu thức cho biết vận tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa

cùng chu kì, tần số với li độ, nhưng sớm pha hơn



π

so với với li độ.

2



Ở vị trí biên (x = ± A), vận tốc của vật v = 0 (vật dừng lại và đổi chiều chuyển

động).

Ở vị trí cân bằng (x = 0), vận tốc của vật nhận giá trị v = ± ωA . Khi đó, vận tốc

có độ lớn cực đại : vmax = ωA.

Giá trị đại số: v = ωA



(khi v >0 ,vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo



chiều dương).

Giá trị đại số: v = -ωA



(khi v <0 ,vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo



chiều âm).



2.3.9. Gia tốc trong dao động điều hòa

Gia tốc tức thời của một vật dao động điều hòa là đạo hàm bậc nhất của vận tốc

theo thời gian, hay đạo hàm bậc hai của li độ theo thời gian.

Biểu thức gia tốc của vật dao động điều hòa:

a = v' = - ω2Acos(ωt + ϕ) = ω2Acos(ωt + ϕ +π) = - ω2x.

Ý nghĩa của biểu thức:

Biểu thức cho biết gia tốc của vật dao động điều hòa cũng biến thiên điều hòa

cùng tần số với li độ, nhưng ngược pha với li độ (sớm pha



π

so với vận tốc).

2



Gia tốc luôn ngược dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ x.

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng.

Ở vị trí biên (x = ± A) thì a = ± ω 2 A . Khi đó, gia tốc có độ lớn cực đại : amax =



ω2A.

Giá trị đại số:



amax = ω2A (khi x = -A, lúc đó vật ở biên âm).

amin = -ω2A (khi x = A, lúc đó vật ở biên dương).

14



Ở vị trí cân bằng (x = 0) thì a = 0



(ta nói gia tốc bị triệt tiêu).



2.4. Đồ thị của dao động điều hòa

Đồ thị biễu diễn mối quan hệ giữa x, v và a trong dao động điều hòa:



Ý nghĩa: Đồ thị cho thấy li độ, vận tốc, gia tốc của dao động điều hòa đều thay

đổi tuần hoàn theo thời gian với cùng chu kì, tần số, nhưng biên độ và pha khác

nhau. Li độ và vận tốc lệch pha nhau 90 0 , vận tốc và gia tốc lệch pha nhau 90 0, gia

tốc và li độ lệch pha nhau 1800.



15



Đồ thị vật dao động điều hòa được biễu diễn ở năm thời điểm khác nhau

trong một chu kì:



Ý nghĩa: Đồ thị cho biết hướng của vận tốc và gia tốc của vật tại mỗi thời điểm.

3. Một số hệ dao động điều hòa

3.1. Con lắc lò xo

3.1.1. Định nghĩa

Con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào đầu một lò xo độ cứng k

có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo cố định. Vật nặng dao động không ma

sát quanh vị trí cân bằng.

3.1.2. Con lắc lò xo nằm ngang

3.1.2.1. Khảo sát dao động của con lắc lò xo nằm ngang về mặt động lực

học

16



uu

r

N



Xét chuyển động của vật nặng có khối

lượng m trong con lắc lò xo nằm ngang.

Vật chuyển động trên mặt nằm ngang



m



k



a)



v=0



ur

P



không ma sát và chú ý con lắc dao động



O

VTCB



trong giới hạn đàn hồi của lò xo.

Tại vị trí cân bằng lò xo không biến

dạng



Chọn trục Ox như hình vẽ,



b)



gốc O ứng với vị trí cân bằng. Tọa độ x của

vật tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ.



c)



k



uuu

r

Fdh



uu

r

Nuuur



k



+

x



ur

P



Fdh



Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một



uu

r

N



ur

P



đoạn x rồi thả tay ra, ta thấy nó dao động

quanh vị trí cân bằng.

Tại vị trí li độ x vật chịu tác dụng của: trọng lực

r

Fdh của lò xo. Vì



, phản lực



và lực đàn hồi



r



luôn cân bằng nên chỉ có lực Fdh làm vật dao động.



và



Theo định luật Húc:

Trong đó x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên, tức là

không co dãn. Loại lực này được gọi là lực hồi phục tuyến tính. Nó được gọi “tuyến

tính” vì tỉ lệ tuyến tính với độ dịch chuyển x và được gọi là “hồi phục” hay lực kéo về

vì lực luôn ngược hướng với độ dịch chuyển.

Vì lực lò xo chính bằng lực tổng hợp tác dụng lên vật, nên theo định luật hai

Niu-tơn ta có:

Độ lớn: − kx = ma x

Mặt khác ta có:



ax =



d 2x

dt 2



, biến đổi các số hạng ta có:

17



d 2x

k

=− x

m

dt 2



(1)



Định luật hai Niu-tơn bây giờ trở thành một phương trình vi phân đối với tọa độ

x. Nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng:

x = A cos( ω t + ϕ )



(2)



Như chúng ta đã thấy đạo hàm bậc hai của x đối với t là:

d 2x

= −ω 2 A cos(ωt + ϕ )

2

dt



Thay vào phương trình (13), ta được:

− ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −



k

x

m



Như vậy, phương trình (2) là nghiệm của phương trình (1) với ω 2 =

này có ý nghĩa là vật thực hiện dao động điều hòa với tần số góc ω =



k

. Điều

m



k

.

m



Chu kỳ của con lắc lò xo:

Chu kỳ (tần số, tần số góc) của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào đặc tính của hệ,

không phụ thuộc vào các đặc tính bên ngoài nên dao động của nó là một dao động tự

do.

Lực đàn hồi của lò xo:



nên Fmax = kA, Fmin = 0.



3.1.2.2. Khảo sát dao động của con lắc lò xo nằm ngang về mặt năng lượng

Xét chuyển động của vật nặng có khối lượng trong con lắc lò xo nằm ngang. Vât

dao động điều hòa với phương trình li độ x = A cos( ωt + ϕ ) , phương trình vận tốc

v = - ωAsin(ωt + ϕ).

Động năng của con lắc lò xo

Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:

18



Wd =



1 2 1

mv = mω 2 A2 sin 2 ( ωt + ϕ )

2

2



Wd max =



(1)



1 2

1

mv max = kA2

2

2



Thế năng của con lắc lò xo

Khi lò xo bị biến dạng thì hệ gồm lò xo và vật nhỏ, tức là con lắc lò xo, có thế

1

2



năng đàn hồi Wt = k ( ∆l ) , thay ∆l = x , ta có công thức tính thế năng của con lắc lò

2



xo như sau:

Wt =



Wt max =



1 2 1 2

kx = kA cos 2 ( ωt + ϕ )

2

2



(2)



1 2

1

kx max = kA2

2

2



Cơ năng của con lắc lò xo

Cơ năng của con lắc lò xo là tổng động năng và thế năng của con lắc:

W = Wt + Wd

1

mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ ) + sin 2 (ω t + ϕ ) 

2

1

= mω 2 A2

2

1

= kA2 = Wd max = Wtmax = const

2

=



(3)



Ý nghĩa của biểu thức:

W (2) cho biết động năng và thế năng của con

W lắc dao động điều hòa

Biểu thức(1),



biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì T’= T/2.



Eđ



Có sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng, thế năng tăng thì động

năng giảm và ngược lại.



Et



Biểu thức (3) cho biết cơ năng của con lắc dao động điều hòa là không đổi, cơ

năng tỉ lệ với bình phương biên độ của dao động.



2..i

tuần hoàn theo thời gian vói đường cong này cắt nhau,0 hàm của li độhhế năng

19

rồi lại trở về thế năng thời gian~~~~~~~~~~~~~

Hình 1: Thế năng, động năng của



dao động điều hòa phụ thuộc thời gian t với φ=0



Hình 2: Thế năng, động năng của



dao động điều hòa phụ thuộc vào li độ x.



Hình 1 là đồ thị biễu biễn sự phụ thuộc của động năng và thế năng vật dao

động điều hòa vào thời gian, ta thấy mỗi hàm đều dao động giữa hai giá trị 0 và W,

năng lượng của dao động điều hòa biến thiên liên tục từ động năng sang thế năng rồi

lại trở về thế năng và cứ như thế mãi mãi.

Các phương trình (1) và (2) cho biết động năng và thế năng của dao động điều

hòa là hàm của thời gian, bây giờ ta sẽ xét những năng lượng đó như là hàm của li độ

x. Phương trình thế năng như là hàm của li độ x là:



Wt =



1 2

kx

. Sử dụng định luật bảo

2



toàn năng lượng để tìm động năng như là hàm của li độ:

Wd = W − Wt =



1 2 1 2 1

kA − kx = k ( A2 − x 2 )

2

2

2



Hình 2 là đồ thị biễu biễn sự phụ thuộc của động năng và thế năng vật dao

động điều hòa vào li độ, cả hai đường cong đều là parabol với đỉnh tại x=0, ta hãy

xác định các điểm mà hai đường cong này cắt nhau, tại các điểm đó Wt = Wd hay



1 2 1 2 1 2

kx = kA − kx , ta tìm được

2

2

2



x = ±A 2 .



3.1.3. Con lắc lò xo thẳng đứng

3.1.3.1. Khảo sát dao động của con lắc lò xo

thẳng đứng về mặt động lực học



20



Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo thẳng đứng. Vật chuyển động

theo phương thẳng đứng không ma sát và chú ý con lắc dao động trong giới hạn đàn

hồi của lò xo.

Khi chưa treo vật, lò xo không biến dạng và có chiều dài tự nhiên l0.

Khi treo vật, vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn một đoạn Δlo

Tại vị trí cân bằng vật chịu tác dụng của trọng lực



và lực đàn hồi



, hai lực



này cân bằng:

Về độ lớn: P – Fđh =0



mg = k ∆lo



Tại vị trí cân bằng lò xo đã biến dạng một lượng ∆l0 =



mg

k



Kéo vật từ vị trí cân băng hướng xuống một đoạn x, rồi thả nhẹ vật, tại vị trí có li

r



r



độ x vật chịu tác dụng của các lực trọng lực P và lực đàn hồi Fdh .

Trong đó, lực đàn hồi của lò xo có giá trị đại số Fdh = −k (∆lo + x) .

r



r



r



Theo định luật II Niuton: P + Fdh = ma .

Chiếu lên phương chuyển động, chiều dương như hình vẽ, ta có:

mg − k (∆l0 + x ) = ma



Mà mg = k ∆lo , nên phương trình trên được viết lại như sau: −kx = ma

Mặt khác ta có:



a =



d 2x

dt 2



, biến đổi các số hạng ta có:



d 2x

k

=− x

m

dt 2



(1)



Định luật hai Niu-tơn bây giờ trở thành một phương trình vi phân đối với tọa độ

x. Nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng:

x = A cos( ω t + ϕ )



(2)



Đạo hàm bậc hai của x đối với t là:

d 2x

= −ω 2 A cos(ωt + ϕ )

2

dt

21