Động năng của con lắc đơn là động năng của vật:

Khi dừng lại (ở biên), Wt cực đại và Wđ = 0.

Quá trình lập lại ngược chiều trước và cứ thế diễn biến: Khi động năng tăng một

lượng bao nhiêu thì thế năng giảm một lượng bấy nhiêu và ngược lại.



3.3.5. Ứng dụng của con lắc đơn

Con lắc đơn được sử dụng để xác định gia tốc rơi tự do. Trong lĩnh vực địa chất,

các nhà địa chất quan tâm đến những tính chất đặc biệt của lớp bề mặt Trái Đất và

thường xuyên phải đo gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó. Họ đã làm như sau:

Dùng một con lắc đơn chiều dài l tính đến tâm của quả cầu. Đo thời gian của một

số dao động toàn phần, từ đó suy ra chu kì T. Sau đó tính g theo công thức g =



4π 2l

.

T2



Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, mỗi lần rút ngắn chiều dài con lắc đi một đoạn. Lấy giá

trị trung bình g ở các lần, ta được gia tốc rơi tự do tại nơi đó.

4. Các dạng dao động

4.1. Dao động tự do

“ Dao động tự do xuất hiện trong trường hợp mà hệ vật lý được đưa ra khỏi trạng

thái cân bằng và sau đó tự biến đổi không có tác dụng từ bên ngoài”.

Hay có thể định nghĩa “ Các dao động mà hệ thực hiện quanh vị trí cân bằng, sau

khi hệ được đưa ra khỏi vị trí cân bằng bền bằng một cách nào đó” .

Ví dụ: dao động của con lắc lò xo, con lắc đơn…..Chu kỳ dao động riêng phụ

thuộc vào đặc tính của hệ của hệ như chu kỳ con lắc lò xo phụ thuộc vào độ cứng của

lò xo, khối lượng của vật.

4.2. Dao động tắt dần

4.2.1. Khái niệm

Trong thực tế, khi khảo sát dao động

của một hệ, ta không thể bỏ qua các

lực ma sát. Do đó năng lượng của hệ

31



không phải là hằng số mà giảm dần

theo thời gian. Kết quả, biên độ giảm

dần theo thời gian. Ta nói rằng dao động

của hệ là dao động tắt dần.

”Dao động tắt dần là những dao động mà biên độ chúng giảm dần theo thời

gian. Quy luật giảm của biên độ phụ thuộc vào tính chất của các lực tác dụng lên

vật”

4.2.2. Nguyên nhân

Khi vật dao động trong môi trường (không khí, nước, dầu,…) thì các phần tử

môi trường tác dụng lực cản lên vật (lực đó gọi là lực ma sát). Lực ma sát làm cho cơ

năng của vật dao động chuyển thành nhiệt. Vì thế biên độ của con lắc giảm dần và

cuối cùng con lắc dừng lại.

Dao động tắt dần càng nhanh nếu ma sát càng lớn.

Độ lớn của lực ma sát phụ thuộc vào tốc độ của vật. Khi vật đến gần vị trí cân

bằng thì lực ma sát tác dụng vào nó càng lớn.

4.2.3. Khảo sát dao động tắt dần

Ta thiết lập phương dao động tắt dần của con lắc lò xo. Giả sử cho con lắc dao

động trong một môi trường chứa đầy dầu nhớt. Nếu vận tốc dao dộng của hệ nhỏ thì

thực nghiệm chứng tỏ lực cản của môi trường ngược chiều và tỉ lệ với vận tốc của hệ:

FC = −rv



(1)

r



Trong đó r gọi là hệ số cản của môi trường, dấu trừ cho biết rằng Fc ngược

hướng với chuyển động.

Lực đàn hồi của lò xo: Fd = −kx



(2)



Trong đó k là độ cứng của lò xo.

ur



uu

r



r



r



Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên vật là: F c + Fd = rv + k x (3)

r



uu

r uu

r



Viết phương trình động lực học đối với vật: ma = Fc + Fd



(4)

32



Chiếu phương trình trên lên chiều chuyển động, ta được:

ma = − rv − kx



Hay m

Hay



(5)



d 2x

dx

= −kx − r

2

dt

dt



d 2 x r dx k

+

+ x=0

dt 2 m dt m



Ta đặt



(6)



k

r

= ω02 và

= 2β

m

m



Vậy phương trình (422.6) trở thành:



(7)

d 2x

dx

+ 2β

+ ω02 x = 0

2

dt

dt



(7’)



Phương trình (7’) được gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần.

Khi ω0 > β thì phương trình (7’) có nghiệm dưới dạng:

x = A0 e − β t cos(ωt + ϕ ).



(8)



Đó chính là biểu thức li độ của dao động tắt dần, hằng số ω là tần số góc của dao

động tắt dần. Công thức liên hệ giữa ω , ω0 , β là: ω = ω02 − β 2



(9)

k



Nếu r = 0(không có lực làm tắt dần) thì (9) trở thành ω = ω0 = m , cho ta tần số

góc của một dao động không tắt dần. Nếu r không bằng không nhưng nhỏ, r << km

k



thì ω ≈ ω0 = m

2π



2π



Khi đó chu kì của dao động tắt dần là: T = ω = ω 2 − β 2

0

Ta đặt A = A0e − β t

Khi đó A chính là biên độ của dao động tắt dần, ta thấy A giảm dần theo thời

gian theo quy luật hàm mũ

− 1 ≤ cos(ωt + ϕ ) ≤ 1

⇔ − A0 e− β t ≤ A0e − β t cos(ωt + ϕ ) ≤ A0e − β t

hay − A0e − β t ≤ x ≤ A0e − β t

33



Nghĩa là đồ thị của x theo t là một đường cong nằm nội tiếp giữa hai đường cong

− A0 e − β t , A0 e − β t . Về mặt lí thuyết mà nói, khi t = ∞ thì biên độ A giảm đến không.



Nhưng trong thực tế chỉ sau một khoảng thời gian đủ lớn, khi đó biên độ giảm đến

một giá trị không đáng kể, coi như bằng không.

1

2



Đối với vật dao động điều hòa, cơ năng là không đổi và bằng W = kA20 . Nhưng

với vật dao động tắt dần cơ năng giảm dần theo thời gian. Nếu sự tắt dần là nhỏ thì ta

có thể tìm được cơ năng W(t) bằng cách thay A 0 trong công thức trên bằng A = A0 e− β t

1

2



là biên độ của dao động tắt dần. Làm như vậy ta được W(t) = kA20 .e − β t , nó cho ta biết

rằng cơ năng của dao động tắt dần giảm theo hàm mũ của thời gian.



x

A0

Ae0 −βt



O



Ae0 −βt



t



Đồ thị dao động tắt dần



4.2.3. Ứng dụng của dao động tắt dần

Trong đời sống và trong kỹ thuật, có trường hợp sự tắt dần của dao dộng là

không có lợi, người ta tìm biện pháp để khắc phục nó

Ví dụ: con lắc đồng hồ trong đồng hồ quả lắc, bởi vì sự tắt dần dao động của quả

lắc làm cho ta không đếm được thời gian.

34



Ngược lại, có trường hợp sự tắt dần của dao động là có lợi, cần thiết, người ta

tìm cách để tăng cường nó

Ví dụ: chúng ta biết rằng mặt đường không hoàn toàn bằng phẳng, xe di trên

đường càng nhanh càng bị xóc mạnh, nên ôtô và xe máy đều có các lò xo giảm xóc.

Sau khi đi qua chổ xóc, khung xe tiếp tục dao động giống như một con lắc lò xo, làm

cho người ngồi trên xe nhanh mỏi mệt. Để làm cho dao động đó chóng tắt, người ta

gắn vào ôtô và xe máy một bộ phận giảm xóc. Nó gồm một píttông chuyển dộn trong

một xilanh chứa dầy dầu nhớt, pittông gắn với khung xe, còn xilanh gắn với trục bánh

xe. Khi pittông dao động trên lò xo giảm xóc thì pittông cũng dao động trong xilanh,

dầu nhớt làm cho dao động đó chóng tắt, và do đó dao động của khung xe cũng chóng

tắt.



Hình ảnh giảm xóc của xe máy



4.3. Dao động duy trì

4.3.1. Khái niệm

Muốn giữ cho biên độ dao động của vật không đổi mà không làm thay dổi chu kì

riêng của nó, người ta dùng một hệ thống nhằm cung cấp cho nó sau mỗi chu kì một

phần năng lượng đúng bằng phần năng lượng tiêu hao do ma sát. Dao động của vật

được duy tri theo cách này gọi là dao động duy trì.

4.3.2. Ví dụ.

Dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì. Với loại đồng hồ cũ dùng dây

cót, khi lên dây cót, ta đã tích lũy vào dây cót một thế năng nhât định. Dây cót liên hệ

35



với quả lắc bằng một hệ thống bánh răng và những cơ cấu thích hợp. Mỗi khi con lắc

đạt tới li dộ cực đại, sau một nữa chu kì dao động, thì dây cót lại dãn ra một chút và

một phần năng lượng của nó qua những cơ cấu trung gian được truyền tới quả lắc.

Năng lượng đó đủ để bù lại phần năng lượng tiêu hao do ma sát. Vì vậy quả lắc đồng

hồ vẫn tiếp tục dao động lâu dài với tần số và biên độ như cũ. Trong đồng hồ để bàn

và đeo tay, con lắc xoắn giữ vai trò của quả lắc đồng hồ treo tường.

Dao động cưỡng bức

4.4.1. Khái niệm

Trong quá trình dao động tắt dần, hệ chỉ nhận được một năng lượng ban đầu, sau

đó năng lượng này giảm dần để sinh công thắng lực ma sát. Nếu bây giờ ta tiếp tục

cung cấp năng lượng cho hệ để bù lại những phần năng lượng đã giảm thì dao động

không tắt nữa. Việc cung cấp liên tục năng lượng cho hệ có thể thực hiện bằng cách

tác dụng lên hệ một ngoại lực. Công do lực này sinh ra sẽ có trị số bằng phần năng

lượng bù đắp cho hệ. Muốn cho hệ tiếp tục dao động, ngoại lực tác dụng phải biến

thiên tuần hoàn theo thời gian.

“ Dao động mà hệ thực hiện dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn gọi là dao

động cưỡng bức”.

4.4.2. Đặc điểm.

Khi tác dụng ngoại lực tuần hoàn lên hệ, hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm

chứng tỏ rằng trong giai đoạn đầu, dao động của hệ khá phức tạp. Nó là sự tổng hợp

của hai dao động: dao động riêng tắt dần dưới tác dụng của nội lực và dao động

cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn. Sau một thời gian đủ lớn

dao động tắt dần coi như không còn nữa, khi đó dao động của hệ là dao động cưỡng

bức dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn.

Dao động cưỡng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực

cưỡng bức.



36



Biên độ của dao động cưỡng bức không chỉ phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng

bức mà còn phụ thuộc vào cả độ chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số

riêng của hệ dao động. Khi tần số của lực cưỡng bức càng gần với tần số riêng của hệ

thì biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.

4.4.3.Khảo sát dao động cưỡng bức

Xét con lắc lò xo chuyển động dọc

theo trục x, tác dụng lên vật ngoại lực biến

đổi điều hòa, cùng phương với dao động

F ( t ) = Fo cos Ωt (1)



nhưng có tần số góc Ω khác với



Dao động cưỡng bức



tần số góc ωo của dao động tự do con lắc

lò xo.

Phương trình chuyển động của vật trong trường hợp này là :

ma = − kx − η v + F ( t )



Hay



dx

d 2x

m

= −kx − η

+ F cos Ωt

o

2

dt

dt



Hay



F

d 2 x η dx k

+

+ x = o cos Ωt

m

dt 2 m dt m



Ta đặt



ωo2 =



k

m



,



(2)



η

= 2β

m



thì phương trình chuyển động của vật có thể viết dưới dạng :

F

d 2x

dx

+ 2β

+ ω 2 x = o cos Ωt

o

dt

m

dt 2



(3)



Phương trình vi phân này gọi là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức.

Theo lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của phương trình trên là tổng

của hai số hạng:

x=x +x

1 2



(4)

37