CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH THẤM QUA ĐẬP ĐẤT VÀ CÁC GIẢI PHÁP CHỐNG THẤM KHI NÂNG CẤP ĐẬP

17



Chuyển động chậm của nước qua đất thường được gọi là thấm và sự chuyển

động đó cứ liên tục sẽ tạo thành dòng thấm trong lòng đất.

Dòng thấm trong môi trường đập vật liệu địa phương được chia:

+ Dòng thấm ổn định qua thân đập đất đồng chất và nền đất (hình 2.1a) hoặc

qua thiết bị chống thấm (ví dụ như tường lõi) của đập đất đá (hình 2.1b), được xác

định bởi biên cố định (3) và (4) (không thay đổi theo thời gian).



Hình 2.1:



Dòng thấm ổn định qua đập đất đồng chất (a), và qua tường

lõi của đập đất đá (b).



(1) vật liệu ít thấm nước; (2) vật liệu thấm nước; (3) đường bão hòa ban đầu; (4) giới hạn

dưới của dòng thấm.



+ Dòng thấm không ổn định với điều kiện biên thay đổi theo thời gian nhưng

môi trường thấm không đổi, như trong trường hợp mực nước hồ chứa rút xuống đột

ngột từ vị trí (I) xuống vị trí (II) (hình 2.2), khi đó nước bắt đầu thoát ra từ trong lỗ

rỗng của các vật liệu ít thấm nước, đường bão hoà sẽ thay đổi theo thời gian. Trong

lớp vật liệu thấm nước (2) thực tế nước sẽ rút đồng thời với mực nước rút trong hồ

chứa.



Hình 2.2:



Dòng thấm không ổn định khi mực nước rút xuống đột ngột



(1) vật liệu ít thấm nước; (2) vật liệu thấm nước; (3) đường bão hoà ban đầu, thay đổi theo

thời gian



18



c. Dòng thấm không ổn định trong trường hợp môi trường thấm thay đổi theo

thời gian. Môi trường thấm có thể thay đổi theo thời gian do sự nén chặt của đất sét

dưới ảnh hưởng của lực hoặc do sự làm chặt của đất cát rời sau khi chúng được xáo

trộn, ví dụ như do một vài tải trọng động.

Dòng thấm ổn định hoặc không ổn định được tính toán xác định thông qua các

phương trình vi phân tổng quát về thấm:

+ Trường hợp dòng thấm ổn định:

∂  ∂H

 kx

∂x  ∂x



∂θ

 ∂  ∂H 

+Q =

 +  ky

∂t

 ∂y  ∂y 



(2.1)



+ Trường hợp dòng thấm không ổn định:

∂  ∂H

 kx

∂x  ∂x



 ∂  ∂H

 +  ky

 ∂y  ∂y





∂H

mw γ w

+Q =

∂t





(2.2)



Trong đó:

H



: Tổng cột nước;



kx



: Hệ số thấm theo phương x;



ky



: Hệ số thấm theo phương y;



Q



: Lưu lượng biên;



t



: thời gian;



mw



: Hệ số góc đường cong lượng chứa nước với áp lực lỗ rỗng;



γw



: Trọng lượng đơn vị của nước.



2.8. Phương pháp tính thấm

Hiện nay có nhiều phương pháp tính thấm thông dụng có phương pháp phân

tích lý luận, đồ giải và thí nghiệm.

Phương pháp phân tích lý luận bao gồm phương pháp cơ học chất lỏng,

phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp thủy lực [15], [16].



2.8.2. Cơ sở lý thuyết

Chuyển động dòng thấm chính là chuyển động của các dòng nước trong đất có

chứa các lỗ rỗng, phụ thuộc vào đất nền và chênh lệch cột nước thượng hạ lưu.

Quy luật cơ bản về sự chuyển động của dòng thấm biểu thị định luật Darcy:



19



∂h



=

−

Vx

k

.



∂x



V = kJ hay 

∂

Vy = − k . h



∂y





(2.3)



trong đó

V – lưu tốc thấm (m/s) ;

K – hệ số thấm của môi trường (m/s) ;

J – gradient thấm (độ dốc thủy lực).

Lưu tốc trung bình dòng thấm trong lỗ rỗng của đất (n là độ rỗng của môi

trường):

v' =



v

n



(2.4)



Với môi trường thấm ổn định áp lực thấm không phụ thuộc vào thời gian:



∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ

0

+

+

=

∂x 2 ∂y 2 ∂z 2



(2.5)



Với φ = -k.h hàm thế, trong đó φ và h là những hàm điều hòa.

Thông thường trong tính toán thấm cho bài toán 2 chiều:

 ∂Vx ∂Vy

 ∂x + ∂y = 0



Phương trình liên tục của bài toán phẳng :  2

2

∂ h + ∂ h = 0

2



∂y 2

 ∂x



∂ 2ϕ ∂ 2ϕ

+

=

0

∂x 2 ∂y 2



(2.6)



2.8.3. Tính thấm qua đập đất theo phương pháp thủy lực

Phương pháp thủy lực cho kết quả tính toán là những đặc trưng trung bình của

dòng thấm.

Ưu điểm: Có thể giải được những trường hợp phức tạp trong thực tế. Mặt

khác, độ chính xác đáp ứng đuợc yêu cầu kỹ thuật, nên được áp dụng rộng rãi.

Nhược điểm: Do phải dựa vào một số tiên đề, giả thiết nhất định. Nên phương

pháp này kém chính xác



20



2.8.4. Tính thấm qua đập đất theo phương pháp cơ học chất lỏng

Phương pháp này dùng toán học làm công cụ để xác định những đặc trưng của

dòng thấm như lưu lượng, lưu tốc, gradient, áp lực, đường bão hòa... tại bất kỳ một

vị trí nào trong môi trường thấm. Do khi tính toán không đưa nhiều vào những giả

thiết cho nên phương pháp cơ học chất lỏng cho kết quả chính xác.

Ưu điểm: Phương pháp cơ học chất lỏng chủ yếu có tầm quan trọng về mặt lý

thuyết, trên cơ sở đó người ta có thể đưa ra các giải quyết gần đúng. Ứng dụng

những lời giải của cơ học chất lỏng ta có thể lập được những biểu đồ tính toán để

dùng trong thực tế.

Nhược điểm: Phương pháp này chỉ sử dụng được trong trường hợp bài toán có

sơ đồ đơn giản. Khi gặp những sơ đồ phức tạp (điều kiện ban đầu và điều kiện biên

phức tạp) thì cách giải này gặp nhiều khó khăn về mặt toán học và trong nhiều

trường hợp gần như bế tắc. Do vậy trong thực tế thiết kế tính toán thấm, phương

pháp này ứng dụng rất hạn chế.



2.8.5. Tính thấm qua đập đất theo phương pháp thực nghiệm

Nghiên cứu thực nghiệm là dùng mô hình để xác định những đặc trưng của

dòng thấm. Phương pháp này bao gồm những loại chính sau:

- Thí nghiệm bằng máng kính: Việc thí nghiệm được tiến hành trên mô hình

trong máng kính để xác định lưu lượng, áp lực, đường bão hòa....

- Thí nghiệm khe hẹp: Dựa vào sự tương tự giữa chuyển động của chất lỏng có

độ nhớt lớn (các loại dầu nhờn) trong khe hẹp vơi sự chuyển động của nước trong

môi trường rỗng (chảy tầng) mà xác định những đặc trưng dòng thấm trên cơ sở đo

đạc những đặc trưng của dòng chảy của dầu trong khe hẹp.

- Phương pháp tương tự điện – thủy động (EGDA): Dùng tính tương tự giữa

dòng điện và dòng thấm để giải quyết những bài toán thấm trên mô hình dòng điện.

Ưu điểm: Được ứng dụng rộng rãi vì khá tiện lợi, có thể giải quyết được

những sơ đồ thấm phức tạp.

Nhược điểm: Giá thành thí nghiệm cao, kết quả thí nghiệm phụ thuộc vào điều

kiện thí nghiệm cũng như chủ quan của người làm thí nghiệm.



21



2.8.6. Tính thấm qua đập đất bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) sử dụng sự gần đúng về mặt vật lý của

môi trường. Việc giải bài toán chính xác trong môi trường liên tục được xấp xỉ bằng

tập hợp hữu hạn các phần tử liên kết với nhau ở các điểm nút. Theo phương pháp

này, miền thấm được chia thành những miền con gọi là các phần tử. Các phần tử

thường được sử dụng trong bài toán phẳng là phần tử tam giác và phần tử tứ giác.

Trong miền thấm, các phần tử có kích thước và hình dạng khác nhau để phù hợp với

các điều kiện biên hình học và tính chất của dòng thấm tại các khu vực khác nhau

(khu vực có cường độ thấm mạnh thì chia thành các phần tử có kích thước nhỏ và

ngược lại). Giá trị cột nước thấm tại một vị trí bất kỳ ở trong phần tử được xác định

dựa vào giá trị cột nước tại các điểm nút của phần tử.



2.8.6.1.



Trình tự giải bài toán bằng phương pháp PTHH



+ Chia miền tính toán thành nhiều miền nhỏ gọi là các phần tử, các phần tử

được nối với nhau bằng một số hữu hạn các điểm nút. Các nút này có thể là đỉnh

của các phần tử, cũng có thể là một số điểm đuợc quy ước trên cạnh của phần tử.

Trình tự tính toán của phương pháp PTHH được nghiên cứu đầy đủ trong bài

toán thấm ổn định phẳng. Cần phải xác định sự phân bố cột nước áp lực dưới đập,

gradient thấm và tổng lưu lượng dòng thấm. Ở đây cột nuớc áp lực được xem là

hàm chưa biết H. Mặt trơn của hàm H được xấp xỉ bằng một bộ các mảnh mặt

phẳng tam giác dạng i’, j’, k’ như hình II-15 xác định trên miền con tam giác i, j, k

thuộc miền nghiên cứu trong mặt phẳng xy.

Vị trí mặt phẳng trong không gian được xác định đơn trị bằng 3 điểm không

nằm trên một đường thẳng. Hiển nhiên là để xấp xỉ hàm trơn H bằng các mảnh mặt

phẳng thì các PTHH i, j, k phải là phần tử tam giác.



22



Hình 2.3:



Minh họa hàm xấp xỉ H của phần tử



Độ sai lệch của mặt phân mảnh xấp xỉ so với mặt trơn thực tế sẽ càng lớn khi

độ cong của mặt trơn càng lớn và kích thước phần tử càng lớn, từ đó rút ra quy tắc

cơ bản xây dựng lưới các phần tử là làm dày đặc lưới tại những nơi có gradient hàm

cần tìm cao, chẳng hạn như các cột áp.

Công cụ toán học của phương pháp PTHH là đảm bảo đưa ra bài toán tích

phân phương trình vi phân song điều hòa về phép giải hệ thống các phương trình

đại số tuyến tính, trong đó giá trị cột áp tại các nút phần tử hiện diện như là các ẩn

số.

Do giới hạn lời giải của bài toán thấm dừng trên cơ sở định luật Darcy

V = −K.



Trong đó:



∆H

∆L



(2.7)



- K: Ma trận hệ số thấm.

- V: Véc tơ tốc độ thấm.

- ∆H: Chênh lệch cột nước giữa 2 mặt cắt tính toán cách nhau một



khoảng DL. Hay có thể viết dưới dạng vi phân

V = −K.



dH

ds



(2.8)



Cơ sở của phương pháp PTHH để giải bài toán thấm dựa trên nguyên lý biến

phân mà phiến hàm được chọn là:



23



 ∂H 

1    ∂H 



L = ∫∫∫   K x .

 + K y 

2    ∂x 

∂y 



v



2



2





  dV

 



(2.9)



Trong đó Kx, Ky lần lượt là các hệ số thấm theo phương x,y.

+ Phạm vi của mỗi phần tử giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của

hàm cần tìm. Đối với bài toán thấm thì hàm xấp xỉ có thể là hàm cột nước.

Thường giả thiết hàm xấp xỉ là những đa thức nguyên mà hệ số của nó được

gọi là các thông số. Trong phương pháp PTHH, các thông số này được biểu diễn

qua các trị số của hàm và có thể là trị số của đạo hàm của nó tại các điểm nút của

phần tử. Dạng đa thức nguyên của hàm xấp xỉ phải chọn đảm bảo để bài toán hội tụ.

Nghĩa là khi tăng số phần tử lên khá lớn thì kết quả tính toán sẽ tiệm cận đến kết

quả chính xác.

Ngoài ra hàm xấp xỉ của bài toán thấm đuợc chọn phải được đảm bảo tuân

theo định luật Darcy. Song để thỏa mãn chặt chẽ tất cả các yêu cầu thì sẽ gặp nhiều

khó khăn trong việc lựa chọn mô hình và lập thuật toán giải. Do đó trong thực tế

người ta phải giảm bớt một số yêu cầu nào đó nhưng vẫn đảm bảo được nghiệm đạt

độ chính xác yêu cầu.

+ Dựa vào phương trình cơ bản của bài toán nghiên cứu để tìm các đại lượng

khác. Đối với bài toán sử dụng định luật Darcy để tìm trường lưu tốc thấm, trường

gradien thấm, lưu lượng thấm, vv...



2.8.6.2.



Giải bài toán thấm bằng phương pháp PTHH



Do đặc thù của đập đất thường có chiều dài lớn so với chiều cao. Do vậy việc

nghiên cứu bài toán thấm trong phạm vi luận văn chỉ dừng lại ở mô hình bài toán

phẳng, thấm ổn định. Lúc đầu có thể cắt một đoạn đập dài bằng đơn vị để nghiên

cứu.

- Biên S 1 : H = H 1 .

- Biên S 2 : H = H 2 .

- Biên S 3 :



∂H

= 0.

∂n



24



- Biên S 4 :



∂H

= 0 ; H = Z.

∂n



- Biên S 5 : H = Z.

Ma trận độ cứng phần tử và của hệ thống các phần tử.

- Mảnh mặt phẳng xấp xỉ hàm cột nước trên một phần tử có phương trình dạng

đa thức tuyến tính.



Sơ đồ thấm qua đập



Hình 2.4:



H = α 1 + α 2 .x + α 3 .y



(2.10)



Trong đó: α 1 , α 2 , α 3 là các hằng số.

- Tại các điểm nút i, j, k của các phần tử, các giá trị cột áp bằng H i , H j , H k và

chúng được xác định bằng phương trình (2-10) khi x, y lần lượt bằng x i , yi , x j , x k ,

y k . Hệ thức này có thể viết dưới dạng ma trận

H e = M e .α

Trong đó:

H e = {H i , H j , H k } là véc tơ cột áp ở điểm nút của phần tử.



1 x i

M e = 1 x j

1 x k



yi 

T

y j  ; α = {α 1 ; α 2 ; α 3 }

y k 



T : Véc tơ chuyển trí;

Giải hệ phương trình tuyến tính đối với véc tơ α :

α = M e−1 .H e = a e .H e



Trong đó :



(2.11)



25



a i



a e =  bi

 ci





ak 



bk  ;

c k 



aj

bj

cj



1

( x j .y k − xk .y y )

2.S

1

. y jk

bi =

2.S

1

.x k . j

ci =

2.S

ai =



X mn = X m – X n ; Y mn = Y m – Y n ; m,n = i, j, k và m ≠ n ;

Thực hiện hoán vị vòng quanh ta có :

1



a j = 2.S .( x j . y k − x k . y j )



1



. y jk

b j =

2

.

S



1



c j = 2.S .x kj





1



a k = 2.S .( x j . y k − x k . y k )



1



; bk =

. y jk

2

.

S



1



c k = 2.S .x kj





Với S là diện tích phần tử.

2S = X i .Y jk + X j .Y ki + X k .Y ji

Thay vào phiếm hàm:



(2.12)



H = N.H e



Trong đó:

N: Là ma trận hàm tọa độ.

N = [N i N j N k ] ;



 N i = a i + bi .x + c i . y



 N j = a j + b j .x + c j . y



c j = a k + bk .x + c k . y



[



]



[



]



 ∂H

b b b H = b.H e

 ∂x i j k e



 ∂H c c c H = c.H

e

 ∂x i j k e



(2.13)



Thay phương trình trên vào phiếm hàm :

L = ∫∫



[



]



1 2

k x (bH e ) 2 + k y2 (cH e ) 2 t.ds

2



(2.14)



Giả thiết q = hằng số trên biên của các phần tử :

n



L = ∑ Le

e =1



n : Số phần tử trong miền xét.



(2.15)



26



- Điều kiện cực tiểu của phiếm hàm L:

n

∂L

∂L

=∑ e =0

∂H e =1 ∂H



(2.16)



Thay phiếm hàm vào điều kiện cực tiểu :

K.H+F = 0



(2.17)



K : Ma trận đặc trưng cho tính thấm của các phần tử. Sau này để thống nhất

n



thuật ngữ sẽ gọi ma trận K là ma trận độ cứng. K = ∑ K e

e =1



n



F : Véc tơ tải của hệ. F = ∑ Fe

e =1



 k11

Với : K e = k 21

 k 31



k12

k 22

k 32



k13 

k 23  ; K ij = S (k x bi b j + k y c i c j )

k 33 



 F1 

q

 

Fe =  F2  ; Fi = .∫ N i l j dΩ ; i,j = 1,2,3

k Ω

F 

 3



Thay các giá trị của điều kiện trên được:

1



2

2

 K 11 = 2 S (k x y 23 + k y .x 23 )



 K = 1 (k y y + k x x )

y 32 21

 12 2 S x 23 31



 K 13 = 1 (k x y 23 y12 + k y x 32 x12 )



2S

K = K

12

 21

1



2

+ k y x132 )

(k x y 31

 K 22 =

2S



1



 K 23 = 2 S (k x y 31 y12 + k y x 31 x 21 )



 K 31 = K 13

K = K

23

 32

1



2

2

 K 33 = 2 S (k x y 23 + k y .x 23 )







(2.18)



27



Véc tơ F e chỉ được xác định các nút trên biên.

Điều kiện biên: Các điều kiện biên trong bài toán thấm không áp.

Biên S 1 : H



IAB



= H1



Biên S 2 : H DEF = H 2

Biên S 3 :



∂H

∂n



Biên S 4 : k



=0

FGHI



∂H

∂n



= qly = 0; H = Z

BC



Biên S 5 : H BCD = Z (x)

Điều kiện trên biên (S 1 ), (S 2 ) xử lý như kiểu gán 0 hoặc vô cùng lớn như đã

trình bày ở trên. Riêng biên BC: Đường bão hòa cần thõa mãn điều kiện (S 4 ) và

(S 5 ). Điều kiện (S 4 ) đã tự thõa mãn trong quá trình thiết lập hệ phương trình cơ bản

bài toán. Còn điều kiện (S 5 ) chưa thể xác định được vì đường bão hòa chưa xác

định, nó còn là một ẩn số cần tìm. Trong tính toán phải dùng phương pháp lặp để

xác định đường này. Trình tự tiến hành như sau:

+ Đầu tiên xác định đường bão hòa thấm bằng một phương pháp đơn giản nào

đó hoặc tự giả thiết. Như vậy ta tạm thời xác định được miền tính toán. Tiếp tục rời

rạc hóa miền tính toán này bằng lưới các phần tử. Giải bài toán với lưới phần tử này

xác định véc tơ H tại các điểm nút của các phần tử. Kiểm tra điều kiện biên (S 5 )

bằng cách so sánh giá trị H i tại các điểm nút trên đuờng bão hòa, với tọa độ Z i của

điểm đó. Nếu chúng thõa mãn điều kiện biên (S 5 ) với sai số cho trước là được, tức

là:

Hi − Zi ≤ ε



(2.19)



Nếu chưa thõa mãn yêu cầu trên ta lại giả thiết lại đuờng bão hòa thấm và lặp

lại quá trình trên cho đến khi thỏa mãn.

Sau khi xác định đuợc vị trí đường bão hòa, có thể xác định được các thông số

của dòng thấm như gradien thấm, lưu lượng thấm. Gọi J x , J y là gradien dòng thấm

theo phương x và y ta có: