Chương 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNHLIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐỞ CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản

chúng tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định

nghĩa hàm số đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm

ngặt ở bậc đại học. Tuy nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các

tính chất đã nêu ở chương 1 vào phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một

số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số

đơn điệu nghiêm ngặt.

2.1 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục

Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số

liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để

làm rõ mối liên hệ này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa

hàm số đơn điệu (hàm số đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm

hàm số liên tục đang ở giai đoạn ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng

dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương

1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối

tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó, ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt

qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được đề cập trước khi khái

niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân

tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp 11.

Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề

cập, mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.

2.1.1 SGK nâng cao

2.1.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm

liên tục hoạt động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”

*Phần bài học (vị trí GV)

Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về

hàm số, chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau:

Bài 1:Đại cương về hàm số

Bài 2:Hàm số bậc nhất

Bài 3:Hàm số bậc hai



Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:

“Một cách tổng quát:

Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số

y=f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số

y=f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, với x1, x2 bất kì thuộc R:

Nếu x1 < x2 mà f(x1)
Nếu x1 < x2 mà f(x1)>f(x2) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”

[3, tr.44]

Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa

thực sự tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GKNC10 đưa ra định nghĩa tổng quát

hơn trong bài 1:

“Cho hàm số f xác định trên K

Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ;



Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .”



[GKNC10, tr.38]

ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa

khoảng hay đoạn) nào đó của R”. [GKNC10,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định

nghĩa trên tương đương với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi:

khái niệm đơn điệu của hàm số được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập

con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông,

hàm số thường được nghiên cứu trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của

chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được định nghĩa trên tập con khác rỗng bất

kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (nửa

khoảng, đoạn).

Tiếp theo định nghĩa, GKNC10 đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:

“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của

hàm số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa



(xem ví dụ 3), hoặc dựa vào nhận xét sau :

Điều kiện “ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ” có nghĩa là x1 - x2 và f ( x1 )  f ( x2 ) cùng

dấu. Do đó

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:



x1 ,x2  K và x1  x2 ,



f  x2   f  x1 

0

x2  x1



Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:



x1 ,x2  K và x1  x2 ,



f  x2   f  x1 

0

x2  x1



Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu tỉ số

f  x2   f  x1 

trên K” [GKNC10, tr.39]

x2  x1



“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

(Khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể

từ trái sang phải )”[GKNC10, tr 38]

Qua hai trích dẫn trên, GKNC10 cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong

trường hợp hàm số được cho bằng công thức và đồ thị. Đối với hàm số cho bằng công thức,

có hai kĩ thuật đại số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số



f  x2   f  x1 

. Đối với hàm số

x2  x1



cho bằng đồ thị thì dùng kĩ thuật đọc đồ thị: từ trái sang phải nếu đồ thị đi lên thì hàm số

đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến. Phù hợp với điều này, GVNC10 viết:

“ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần:

[…]

+Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một

khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên.

[…]

-Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần:

[…]

+Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua



đồ thị của nó.”[GKNC10, tr.69]

Sau định nghĩa và giới thiệu các kĩ thuật để khảo sát sự biến thiên của hàm số, SGK giới

thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ cụ thể:

“Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách

lập bảng biến thiên của nó. Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau:

x



-∞



0



+∞

+∞



+∞

f ( x)  ax (a  0)

2



0



Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể

hiện tính nghịch biến của hàm số.

Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau: f(0)=0 và khi x tăng trên

khoảng (0;+∞) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) theo chiều tăng, còn

khi x tăng trên khoảng (-∞;0) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) nhưng

theo chiều giảm.”[GKNC10, tr.40]

Như vậy, GKNC10 đưa ra bảng biến thiên dựa trên ví dụ đã được nghiên cứu tính biến

thiên trước đó, trong trường hợp này, hàm số y=ax2 được nghiên cứu có đồ thị liền nét trên

khoảng đơn điệu của nó. Như đã phân tích ở chương 1, có những hàm số đơn điệu trên K

nhưng không liên tục trên K nghĩa là có đồ thị không liền nét trên K. Chúng tôi tự hỏi: trong

trường hợp, một hàm đơn điệu trên K nhưng đồ thị không liền nét trên K thì bảng biến thiên

sẽ được lập như thế nào? Mũi tên được vẽ ra sao? GKNC10 và ngay cả GVNC10 không lưu ý

gì đến vấn đề này.

Kế tiếp các vấn đề nêu trên, trong bài 2 và bài 3, GKNC10 giới thiệu tính biến thiên của

các hàm số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số

y  ax  b và hàm số bậc 2. Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được



học ở lớp 9, nên GKNC10 chỉ nhắc lại, tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên

cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật

xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn mạnh. Tuy nhiên, như đã nói ở trên,

các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng. Dường

như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời cũng liên tục trên

khoảng đó. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số

sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên.



*Phần bài tập (vị trí GV)

Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T:

“khảo sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công

nghệ tương ứng như sau:

Ttt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1

và hàm bậc 2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước.

Ví dụ: Bài tập 12

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y 



1

trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GKNC10, tr.46]

x2



Kĩ thuật τ1tt: Lấy bất kì x1 ,x2  K thoả mãn x1  x2 , sau đó so sánh f  x1  , f  x2  .

 Nếu f  x1   f  x2  thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.

 Nếu f  x1   f  x2  thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.

Kĩ thuật τ2tt: Lấy bất kì x1 ,x2  K sao cho x1  x2 , sau đó, xét dấu của tỉ số

f  x2   f  x1 

.

x2  x1



 Nếu



f  x2   f  x1 

 0 thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.

x2  x1



 Nếu



f  x2   f  x1 

 0 thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.

x2  x1



Công nghệ θtt: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.

Tb2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ:

Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số y   x 2  4 x  3

[GKNC10, tr.57]

Kĩ thuật τb2: Xét dấu của hệ số a:



b 



 Nếu a  0 thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng  ;   ,

2a 



 b



đồng biến (tăng) trên khoảng   ;   .

 2a





b 



 Nếu a  0 thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng  ;   ,

2a 



 b



nghịch biến (giảm) trên khoảng   ;   .

 2a





Công nghệ θb2: Đồ thị của hàm số bậc hai.



“Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây

[…]” [GKNC10, tr.57]

Tđt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số được cho



y



thị



bằng đồ

3



Ví dụ: Bài tập 3

Hình 2.9 là đồ thị một hàm số có tập xác định

vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số



-3



-2



0



-1



1



x



là R, dựa

đó.



Hình 2.9



[GKNC10, tr. 45]

Kĩ thuật τđt:



Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm số đồng biến

(tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến (giảm) trên

K.

Công nghệ θđt: Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

 Nhận xét



Bảng 2.1: Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số”

Kiểu nhiệm vụ



Số lượng nhiệm Tỉ lệ

vụ



Ttt



8



29.6%



Tb2



4



14.8%



Tđt



15



55.6%



Qua bảng trên ta thấy, kiểu nhiệm vụ Tđt được nhấn mạnh, số lượng nhiệm vụ chiếm đến

55.6% trong các nhiệm vụ liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số. Kiểu nhiệm vụ

Ttt và Tb2 chỉ đóng vai trò thứ yếu. Điều này cũng được thể hiện rõ trong SGV:



“Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là

phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số.



[…]

Do cách làm trên, giáo viên cần chú ý luyện tập nhiều cho học sinh về cách nhận biết

các tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó (phương pháp đọc đồ thị). Chẳng

hạn, học sinh phải nhận biết được sự biến thiên (và biết lập bảng biến thiên) của hàm

số đã cho thông qua đồ thị của nó.” [GKNC10, tr.67]

“ […] SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm

số trên những khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm đơn giản

(như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, và hàm số phân tuyến tính). Hơn nữa, các bài

toán này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thôi.

Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến

thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nó” [GKNC10, tr.70]

Như vậy, liên quan đến khảo sát tính biến thiên của hàm số, kiểu nhiệm vụ Tđt đóng vai

trò quan trọng và được đặc biệt nhấn mạnh. Chính đồ thị trở thành một công cụ đắc lực để

khảo sát sự biến thiên của hàm số chứ không phải kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ

số biến thiên.

Một đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là tất cả các hàm số đều có đồ thị là “đường liền

nét” trên từng khoảng đơn điệu của nó, nói rõ hơn chúng liên tục trên từng khoảng đơn điệu.

Vai trò quan trọng của Tđt cùng với đặc trưng vừa nêu, kết hợp với phân tích ở phần lý

thuyết, cho phép chúng tôi đi đến kết luận về một ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này:

hàm số liên tục trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) đơn điệu của nó. Chính tầm quan trọng của

Tđt cùng với ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm:



hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục8 trên khoảng đó.

Một câu hỏi được đặt ra: sau khi khái niệm liên tục được chính thức nghiên cứu, ràng buộc

trên có thay đổi không? Có hay không một giải thích hay ví dụ minh hoạ về một hàm đơn

điệu trên K nhưng không liên tục trên K?

2.1.1.2 Thời điểm khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh



Khái niệm liên tục được chính thức đưa vào ở lớp 11 trong chương Giới hạn, theo tiến

trình sau: Giới hạn dãy số→Giới hạn hàm số→Hàm số liên tục. Với mục tiêu:

“ Về kiến thức

Giúp học sinh nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một



8



“liên tục” được hiểu theo nghĩa ngầm ẩn: đồ thị là một đường “liền nét” trên khoảng (nửa khoảng, đoạn).



khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định

của chúng và hiểu được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý

nghĩa hình học của định lí này.

Về kĩ năng

Giúp học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng,

trên một đoạn và áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng

minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản.”[GKNC11, tr.203]

Về định nghĩa hàm số liên tục, trước tiên, GKNC11 giới thiệu định nghĩa hàm số liên tục

tại một điểm:

“ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và xo  ( a,b ) . Hàm số f được gọi là liên

tục tại điểm xo nếu

lim f ( x )  f ( xo )



x  xo



Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo.”

[GKNC11, tr.168]

Sau đó, GKNC11 đưa vào định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

“ĐỊNH NGHĨA

a)Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của

nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

tập hợp đó.

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên

tục trên khoảng (a;b) và lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  . ”

xa



x b



[GKNC11, tr.169]

Chúng tôi lưu ý đến nhận xét được GKNC11 đưa ra sau định nghĩa trên:

“Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng

hoặc trên một đoạn có đồ thị là một đường “liền nét”. Trong ví dụ 2, hàm số f gián

đoạn tại điểm x = -1; đồ thị của nó là một đường không liền nét.” [GKNC11, tr.170]

Theo nhận xét trên, một hàm số liên tục trên K thì có đồ thị liền nét trên K, một hàm số

không liên tục trên K thì có đồ thị không liền nét trên K. Qua đó, noosphere muốn HS biết

được ý nghĩa hình học của một hàm số liên tục (không liên tục) trên một khoảng (đoạn, nửa

khoảng), nó là cơ sở để đưa ra minh họa bằng hình học của định lí giá trị trung gian mà HS



được học ngay sau đó. Liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-khả vi, chúng tôi cho rằng đây là

cơ hội để cho một ví dụ minh họa (bằng đồ thị) về một hàm số đơn điệu trên K nhưng không

liên tục trên K nhằm loại bỏ quan niệm9 có thể đã hình thành ở giai đoạn khái niệm liên tục

còn hoạt động ngầm ẩn, đáng tiếc một ví dụ như thế đã không xuất hiện. GVNC11 cũng

không lưu ý gì đến vấn đề này.

Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến khái niệm hàm số liên tục: Xét tính liên tục

của hàm số tại một điểm, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn)

hoặc liên tục trên tập xác định của nó, chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc

khoảng (a,b). Kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ này được suy ra từ định nghĩa hàm số

liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), hoặc định lí về

giá trị trung gian của hàm số liên tục. Không có một bài tập hay ví dụ nào đề cập đến mối

liên hệ “một hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể không liên tục trên K”.

Trong chương 1, định lý (*)10 cho thấy vai trò của nó trong việc chứng minh sự liên tục

của các hàm sơ cấp cơ bản. Sau khi khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh, (*) đã

không được đưa vào, hệ quả kéo theo là sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản (các hàm

lượng giác (lớp 11), hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm lũy thừa (lớp 12)) trên miền xác định

của nó được thừa nhận. Đây là một lựa chọn hợp lý so với yêu cầu chung “không quá nhấn

mạnh tính hàn lâm và yêu cầu quá chặt chẽ về mặt lý thuyết” [GVNC11, tr.4], việc đưa vào

định lý (*) cùng với chứng minh đầy đủ về sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản là khá

“nặng nề” đối với HS phổ thông, nó phù hợp hơn với cấp độ đại học. Điều khiến chúng tôi

ngạc nhiên là các nội dung trên cũng không được đề cập trong SGV, dường như noosphere

đã không chú ý đến những vấn đề này.

Những phân tích trên cho thấy, trong SGK nâng cao, mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ

xuất hiện trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn. Trong giai đoạn này, kiểu

nhiệm vụ quan trọng và thể hiện rõ nét mối liên hệ đơn điệu-liên tục chính là Tđt với đặc

trưng đồ thị hàm số liền nét trên khoảng đơn điệu của hàm số. Đến giai đoạn khái niệm liên

tục được giảng dạy tường minh thì mối liên hệ này không được đế cập. Như đã nói ở trên,

tầm quan trọng của Tđt cùng với đặc trưng của nó có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm :

liên tục trên khoảng K là điều kiện cần để hàm đơn điệu trên trên khoảng đó.



9



hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục trên khoảng đó.

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy

khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.” [23, tr.94]

10



2.1.2 SGK cơ bản

2.1.2.1 Thời điểm khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm

hàm số liên tục hoạt động ngầm ẩn

*Phần bài học (vị trí GV)

 Những điểm giống nhau



Về định nghĩa hàm số đơn điệu: định nghĩa hàm số đơn điệu được đưa vào ở đầu lớp 10

trong bài 1-Hàm số, chương 2-Hàm số bậc nhất và bậc hai

“Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

x1 , x2  ( a;b ), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .



Hàm số y=f(x) gọi là nghịch biến (giảm) nếu

x1 , x2  ( a;b ), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .” [GKCB10,tr.36]



Cũng cần lưu ý thêm rằng, định nghĩa này không hẳn giống hoàn toàn với định nghĩa hàm

số đơn điệu của GKNC10. GKNC10 định nghĩa trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng sau đó

chỉ yêu cầu xét tính đơn điệu trên khoảng, GKCB10 chỉ định nghĩa trên khoảng. GVCB10 và

GVNC10 đã không giải thích gì về sự lựa chọn này. Đến lớp 12, GVNC12 nêu rõ lí do của việc

đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, chúng tôi sẽ phân tích

chi tiết hơn trong mục 2.2.1; GVCB12 cũng giới thiệu lại định nghĩa hàm số đơn điệu trên

khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng cũng như ở lớp 10, người ta không giải thích rõ về lựa

chọn này.

Về bảng biến thiên: GKCB10 giới thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ đi kèm giải

thích, trong đó yếu tố “liên tục” được thể hiện ngầm ẩn thông qua “mũi tên”:

“Ví dụ 5. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x2 .

x



-∞



y



0



+∞



+∞

+∞



0

2



Hàm số y = x xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) (-∞;+∞) và khi x dần tới

+∞ hoặc dần tới -∞ thì y đều dần tới +∞.

Tại x = 0 thì y = 0.

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến

0).

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).



Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong

khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).” [GKCB10, tr.37]

Ở đây, người ta cũng không đề cập đến trường hợp các hàm đơn điệu trên khoảng nhưng

đồ thị không liền nét trên khoảng đó. Trong giai đoạn này, các hàm số được xem xét luôn có

đồ thị là đường liền nét (hàm bậc nhất, hàm bậc hai).

 Những điểm khác nhau



GKCB10 không nêu tường minh kĩ thuật xét tính đơn điệu của hàm số bằng tỉ số biến

thiên. Kĩ thuật này chỉ được giới thiệu trong GVCB10 như một cách diễn đạt thứ hai của định

nghĩa:

“Cách



thứ



hai



“ x1 ,x2  ( a;b )



và



x1  x2 ,



f  x2   f  x1 

0

x2  x1



(hoặc



f  x2   f  x1 

 0 )” [GVCB10,tr.54]

x2  x1



Đặc biệt, khác với GKNC10 , kĩ thuật xét sự biến thiên của hàm số bằng đồ thị không được

nêu tường minh mà chỉ “ngầm ẩn” thông qua ví dụ được nêu trước khi đưa vào định nghĩa

hàm số đơn điệu:

“Xét đồ thị hàm số y = f(x) = x2 (h.15a). Ta thấy trên khoảng (-∞;0) đồ thị “đi

xuống” từ trái sang phải(h.15b) và với

x1 ,x2  ( ; 0 ),x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )



Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm.

Ta nói hàm số y = x2 nghịch biến trên (-∞;0) .

Trên khoảng (0;+∞) đồ thị “đi lên” từ trái sang phải (h.15b) và với

x1 ,x2  ( 0;  ),x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )



Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm.

Ta nói hàm số y = x2 đồng biến trên (0;+∞) .” [GKCB10, tr.35]

Kĩ thuật ngầm ẩn trên chỉ được dùng một lần duy nhất trong GKCB10 khi nghiên cứu tính

biến thiên của hàm số bậc hai:

“Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a≠0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai

trường hợp như sau” [GKCB10, tr.45]