TÀI LIỆU THAM KHẢO

17. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo

dục.

18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng

cao, NXB Giáo dục.

19. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB

Giáo dục.

20. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại

học Quốc gia TPHCM.

21. Nguyễn Đình Trí (2008), Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số, NXB

Giáo Dục.

22. Jean-Marie Monier (2002), Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1, NXB Giáo dục.

Tiếng Anh

23. Richard F. Bass (2009), Real Analysis, www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf.

24. Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College

Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4, p. 282-300, Published by: Mathematical

Association of America.

25. http://www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html



Phụ lục 1: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 1 :

Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc

nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các

câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều.

Họ và tên :............................................................................................Lớp.............................

Mã số HS: .............. Trường ....................................................................................................

Tình huống 1

Cho bài toán:

“Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3

Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?”

Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau:

Học sinh A:

f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0

Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3).

Học sinh B:

Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm

trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3],

nhưng đề bài lại không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không,

nên ta không thể đưa ra kết luận gì.

Học sinh C:

Tớ đồng ý với B ở chỗ để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong

khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng

B nói “đề bài không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là

không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy

ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Tóm lại tớ đề nghị lời giải như sau:

f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0.

Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn

[-1;3].

Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình

f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá

như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Tình huống 2

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

x



-∞



3



+∞



11



f(x)



-∞



-∞



Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ”

Hai học sinh A và B tranh luận như sau :

Học sinh A:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (-∞;3) và f’(x)≥0 với

mọi x  (-∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (3;+∞) và f’(x)≤0

với mọi x  (3;+∞).

Học sinh B:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x  (-∞;3) và

do đó cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x  (-∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x  (3;+∞)

và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x  (3;+∞).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá

như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Tình huống 3

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b)

xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm

xo?”

Có hai học sinh đã tranh luận như sau:

Học sinh A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x  (a; b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo

hàm tại xo .

Học sinh B:

Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo .

Câu hỏi cho em: Em đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá

như vậy?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Phụ lục 2: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 2:

Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc

nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các

câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều.

Họ và tên : ........................................................................................... Lớp .............................

Mã số HS:............... Trường ....................................................................................................

 Tình huống 1’

Cho bài toán:

“Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3

Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?”

Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau:

Học sinh A:

f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0

Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3).

Học sinh B:

Lời giải của A còn thiếu. Theo đề bài, hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3],

suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Ta có: f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra

f  1 . f  3   2  .3   6  0 , f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương

trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3).

Học sinh C:

B nói “hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn

[ 1;3 ] ” là không đúng, do đó ta không thể kết luận phương trình f(x)=0 có

nghiệm hay không có nghiệm trong khoảng (-1;3). Tớ có thể đưa ra một ví dụ:

y



3

1

 x

Cho hàm số f ( x )   2

2

x





,1  x  1



có đồ thị như hình bên.



3



, 1 x  3



Dựa vào đồ thị dễ dàng nhận ra hàm số f(x) đồng biến trên [-1;3]

nhưng không liên tục trên [-1;3] vì đồ thị hàm số không liền nét

trên đoạn này.



1

-1

1



3



x



-1

-2



Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì

sao em lại đánh giá như vậy?



 Tình huống 2’

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

x



-∞



3



+∞



11



f(x)



-∞



-∞



Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ”

Hai học sinh A và B tranh luận như sau :

Học sinh A:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (-∞;3) và f’(x)≥0 với

mọi x  (-∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (3;+∞) và f’(x)≤0

với mọi x  (3;+∞).

Học sinh B:

Tớ không đồng ý với A, xét ví dụ sau:

Cho hàm số

 1 2

,x  0

 5 x



22

 11

y  f ( x )   x 2 

x

,0  x  5

3

 9

 11 2 22

,x  5

 45 x  9 x



có đồ thị như hình bên.

Dựa vào đồ thị ta thấy: hàm số đồng

biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo

hàm tại x=0 vì đồ thị hàm số bị “gãy”

tại điểm O(0;0). Hàm số nghịch biến

trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm

tại x=5 vì đồ thị hàm số bị “gãy” tại

điểm A(5;55/9).

Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì

sao em lại đánh giá như vậy?



 Tình huống 3’

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b)

xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm

xo?”

Có hai học sinh đã tranh luận như sau:

Học sinh A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x  (a;b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm

tại xo .

Học sinh B:

Tớ không đồng ý với A. Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo .

Tớ đưa ra một ví dụ:

Xét hàm số y  f ( x )  x 3  2 x 2  x  2  1 có đồ thị

như hình dưới đây:



Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục tại x = -1, x = 1 và x = 2 (đồ thị là đường liền nét khi

đi qua các điểm A, B, C) nhưng lại không có đạo hàm tại x = -1, x = 1 và x = 2 vì tại các

điểm A, B, C đồ thị hàm số bị “gãy”.

Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em đánh giá thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em

lại đánh giá như vậy?



Phụ lục 3: Bài làm của một số học sinh trong thực nghiệm thứ nhất

Tình huống 1

HS134



HS136



HS150



HS157



Tình huống 2

HS52



HS69



HS81



HS111



HS220



Tình huống 3

HS122



HS125



HS132



HS157