2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi

RR

 x , x  1 và x  1



x  1 , x  1

1 , x  1





[22, tr.103]

Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục

trên I. Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa

mãn thêm điều kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I.

Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy

nhiên, ta biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I,

xét ví dụ sau:

Ví dụ :

f :[0, 2]  R

 x , x  [0,1)

x

2 x , x  [1, 2]



y

4



Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng

bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục

trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một



2

1



đường đi lên từ trái sang phải nhưng

không liên nét trên [0 ;2].



O



1



2



x



Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián

đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:

 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián

đoạn loại 1.

 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ”

(tham khảo [25])

Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm

gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó

là đếm được. Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì



để liên tục trên I ?

Xét định lí sau:



“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong

khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng

I.”(*) [6, tr.94]

Nhận xét:

Như vậy, một hàm đơn điệu trên một khoảng I sẽ liên tục trên I nếu ảnh của I qua nó là

một khoảng nào đó của R. Theo một hệ quả trong [6]: “ nếu hàm f xác định và liên tục trên



khoảng X bất kì (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) thì các giá trị mà hàm nhận cũng sẽ

lấp đầy một khoảng nào đó”([6, tr.104]), ta thấy rằng một hàm liên tục trên khoảng I thì ảnh

của khoảng I qua nó là một khoảng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau:

1

x



“ f ( x)  sin ( x  0), f (0)  0 ”



[6, tr.105]. Hàm đã cho biến [-2,2] thành [-1,1] nhưng rõ



ràng không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0.

Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu

trên khoảng I”. Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm

điều kiện gì thì liên tục trên I ?”. Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng

quan trọng của định lí này.

Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng. Từ sự liên

tục của hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức,

phân thức trên tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương

của các hàm liên tục. Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác:

hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit y=logax (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = xµ(µ>0 hay µ<0),

các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn:



“2o. Hàm mũ y = ax (a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng



X=(-



∞;+∞). Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì

lôgarit x = logay tồn tại đối với bất kì y>0. Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x

bất kì.” [6, tr.95]

Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96].

Kết luận

Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:

 Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I.

Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián

đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.

 Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I.



 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I.

1.2.2 Liên tục-Khả vi

Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau:



“Cho a  I , f  K I . Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a” [22, tr.141]

Nhận xét:

Mệnh đề trên cho thấy, một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. Chiều ngược

lại thì sao?

Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa ra nhận xét:



“Khẳng định đảo của mệnh đề trên là sai. Một ánh xạ có thể liên tục tại a nhưng

không khả vi tại a như trong các ví dụ sau:

i)

. :RR

x x



Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0.

ii)

.:R  R

x x



Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì

h  0,



h 0

1



 



h

h h 0



iii)

f :RR

1



 x sin , x  0

x

x

0

, x0





Liên tục tại 0 (vì f ( x)  x  0 ) và



x 0

không khả vi tại 0 vì



f (h)  f (0)

1

 sin

h

h



không có giới hạn khi h→0.

[22, tr.142]

Vấn đề trên cũng được nêu rõ trong [21], nhưng không có ví dụ và minh họa rõ ràng

bằng đồ thị như [22].

Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng

có một giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm

số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870,



nhiều bài viết về giải tích đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu

hạn các điểm, ngay cả Cauchy6 cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã

làm sửng sốt cộng đồng toán học khi đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập









số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả: f ( x)   b n cos a n x

n 0







trong đó a là số nguyên lẻ, b là số thực trong khoảng (0,1) và ab  1 



3

(Bolzano đã đưa ra

2



một ví dụ như thế vào năm 1834 nhưng không được chú ý) (tham khảo [24, tr.293]).

Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể

có hữu hạn các điểm tại đó hàm không khả vi, ví dụ của Weierstrass đã chỉ ra có những hàm

liên tục trên R nhưng không đâu khả vi. Từ đó, ta thấy rằng khi một hàm liên tục thì chưa

thể kết luận gì về sự khả vi của nó, một hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại

điểm đó, một hàm liên tục trên một khoảng có thể có hữu hạn hay vô hạn các điểm tại đó

hàm không khả vi hay có thể không đâu khả vi trên khoảng đó. Phân tích trên cũng chỉ ra

rằng, trong lịch sử phát triển của toán học, đã tồn tại một “chướng ngại” liên quan đến cực

“liên tục → khả vi”, đó là: một hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó

trừ ra tại một số hữu hạn các điểm.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một định lí về “giới hạn của đạo hàm” trong đó nêu ra một

số điều kiện để một hàm liên tục tại một điểm khả vi tại điểm đó:



“Hệ quả (“định lý giới hạn của đạo hàm”)

o



Cho xo  R , I là một khoảng của R sao cho xo  I , f : I→R là một ánh xạ.

Nếu f liên tục tại xo , f khả vi tại I-{xo}, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại xo

thì f khả vi tại xo và f’(xo)=l, và do đó f’ liên tục tại xo .” [22, tr.161]

Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại xo nếu khả vi tại mọi điểm của I khác xo

và f’ có giới hạn hữu hạn l tại xo thì nó khả vi tại xo và f’(xo)=l .

Kết luận

Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.

 Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng

thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.

6



Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): một nhà toán học nổi tiếng người Pháp



1.2.3 Đơn điệu-Khả vi

Chúng tôi bắt đầu bằng định lí sau:



“Định lý 5.7

Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn [a,b] và khả

vi trong khoảng mở (a,b), khi đó:

(1) Điều kiện ắt có và đủ để f(x) tăng (giảm) trên [a,b] là f’(x)  0 (f’(x)  0) với mọi

x  ( a, b)



(2) Nếu f’(x)  0 (f’(x)  0) với mọi x  (a, b) và nếu f’(x)>0 (f’(x)<0) tại ít nhất một

điểm x thì f(a)>f(b) ( f(a)
o



“Định lý 1: Cho f : I → R liên tục trên I, khả vi trên I . Để f tăng trên I điều kiện cần

o



và đủ là : x  I , f '( x)  0 .

[…] Khi khảo sát –f thay cho f, ta thu được định lý tương tự như định lý trên bằng

cách thay tăng bởi giảm và  0 bởi  0.” [22, tr.164-165]

Nhận xét:

Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng,

o



nửa khoảng, đoạn), khả vi trên I 7 thì hàm đơn điệu tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0

o



(f’(x)≤0) với mọi x thuộc I .

Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau:

o



“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều

kiện cần và đủ là:

o



o



x  I , f '( x)  0 và { x  I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong



không rỗng nào.” [22, tr.165]

Như vậy, ngoài các điều kiện giống với định lý 1, để f tăng nghiêm ngặt, ta còn cần thêm

điều kiện tập các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 “không chứa bất kì một khoảng có phần



trong không rỗng nào.”

Từ đó mặc dù [22] không đề cập nhưng ta có thể suy ra hệ quả sau:

o



o



o



“ Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I . Nếu x  I , f '( x)  0 và { x  I , f’(x)=0} nhiều



nhất đếm được thì f tăng nghiêm ngặt”.



7



o



I là phần trong của khoảng I, ví dụ phần trong của [a,b] là (a,b).



Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang

o



xét, ta đặt ra câu hỏi: “tồn tại hay không những hàm không khả vi trên I nhưng vẫn đơn



điệu trên I ?”. Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay

o



rằng: tồn tại những hàm không khả vi trên I nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy

rõ qua ví dụ sau:



Ví dụ:

y



f : (0, 2)  R



4



, x  (0,1)

x

x

3 x  2 , x  [1, 2)



Hàm số f(x) không khả vi trên (0,2) vì nó

không có đạo hàm tại x=1, nhưng đơn điệu



1

O



tăng trên (0,2).



1



x



2



Như vậy, một hàm đơn điệu trên khoảng I có thể không khả vi trên I. Tuy nhiên, khi một

hàm đơn điệu trên khoảng I thì tập các điểm không khả vi của hàm đó trên I lại có một tính

chất khá đặc biệt :



“ Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I, nghĩa là tập các điểm thuộc I mà

tại đó hàm không khả vi có độ đo lesbgue bằng không.” [23, tr.40]

Kết luận:

o



 Hàm liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn), khả vi trên I thì tăng (giảm)

o



trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc I .

o



 Hàm liên tục trên I, khả vi trên I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi

o



o



f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên I và { x  I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có

phần trong khác rỗng.

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I.



1.3 Kết luận chương 1

Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có

nhiều mối liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau:

Đơn điệu



Khả vi



Liên tục



Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng

các câu hỏi và câu trả lời đối với từng cực:

Cực Đơn điệu-Liên tục



Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I.

Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I. Điểm gián đoạn và tập các



điểm gián đọan nếu có của một hàm số đơn điệu trên I có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 (tồn tại giới hạn trái và

phải) và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.



Hàm đơn điệu trên khoảng I cần thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng nào đó của R thì liên tục trên I.



Một hàm số liên tục trên I cần thêm điều kiện gì thì đơn điệu trên I ?

 Hàm liên tục và đơn ánh trên khoảng I thì đơn điệu ngặt trên I.

Cực Đơn điệu-Khả vi



Hàm số khả vi trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì đơn điệu trên I khi nào?

o



 Hàm liên tục trên I, khả vi trên I (phần trong của I) thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ

o



khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc I .

o



 Hàm f liên tục trên I, khả vi trên I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi

o



o



f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên I và { x  I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có

phần trong khác rỗng.



o



Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên I thì f tăng (giảm) nghiêm

o



ngặt khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên I và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều

nhất đếm được.

Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.

Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi



của hàm số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó

hàm số không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).

Cực Liên tục-Khả vi

Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.



Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?

 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn

điểm.

Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành

nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu

hỏi Q2 :

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên

hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?

Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được

đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ

thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên

hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các

câu hỏi sau:



Đơn điệu-Liên tục

Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong

SGK theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng