1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi

nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp

hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f



đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ

khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi

nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng

hay giảm nghiêm ngặt.

1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục

 Liên tục tại một điểm



“ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại xo  (a, b) nếu

lim f ( x)  f ( xo ) ” [21, tr.89]



x  xo



“Cho f: I →K, a  I . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi:

4



  0,   0, x  I , ( x  a    f ( x)  f (a )   ) .” [22, tr.120]



Nhận xét:

[21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông

qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ  ,  ), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ

 ,  (định nghĩa của Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho

f : I  K , a  I . Để f liên tục tại a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm



a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên.

Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra

định nghĩa về điểm gián đoạn và phân loại chúng:



“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm ấy.

Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], xo  [a, b] là một điểm gián đoạn của f . Ta

nói xo là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu f ( xo  0)  f ( xo  0) 5; xo là điểm gián

đoạn loại một nếu f ( xo  0)  R, f ( xo  0)  R nhưng f ( xo  0)  f ( xo  0) , hiệu

f ( xo  0)  f ( xo  0) được gọi là bước nhảy của f tại xo ; xo được gọi là điểm gián



đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90]

“Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a.

4



I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là

Trong luận văn này, ta hiểu K là R.

5



f ( xo  0)  lim f ( x) , f ( xo  0)  lim f ( x)

x  xo



x  xo



hoặc R.



[…]

Gián đoạn loại 1



Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f

có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f

xác định bên phải a).

Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f

có điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]

Nhận xét:

Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm

gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn

loại 1 của [22].

 Liên tục trên khoảng



“Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi x  (a, b) .”

[21, tr.91]



“Cho f : I  K . Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.”

[22, tr.121]

1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi



“ Cho a  I , f  K I . Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi lim

h 0



f ( a  h)  f ( a )

tồn tại và

h



hữu hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22,

tr.139]



“Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm

c  (a, b) nếu tồn tại giới hạn lim

x c



Số A; giới hạn của tỉ số



f ( x )  f (c )

 A, x  c

xc



f ( x )  f (c )

, x  c , khi x  c được gọi là đạo hàm của hàm

xc



số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119]

Nhận xét:

Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này

qua nhận xét sau:



“Nếu đặt x  c  x thì biểu thức định nghĩa trở thành

lim



x  0



f (c  x)  f (c)

: f '(c) ” [21, tr.119]

x



Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa

hình học của đạo hàm.



“Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại

điểm đó; và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của

f(x) có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120]

“[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không

song song với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong Cf biểu diễn f.

Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”.

Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó

không có tiếp tuyến tại điểm đó.

1.1.4 Kết luận

Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được

định nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể

hiện trong các định nghĩa của chúng.

1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi

1.2.1 Đơn điệu-Liên tục

Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]



“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn

ánh là hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103]

Nhận xét :

Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21],

chúng tôi thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý

trên như sau : “ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và

chỉ khi nó đơn ánh trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn

điệu ngặt và sự đơn ánh của một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy,

một hàm đơn điệu ngặt trên I thì đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc

đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này được nêu rõ trong [22] :



“ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không

đúng như ở ví dụ sau :



RR

 x , x  1 và x  1



x  1 , x  1

1 , x  1





[22, tr.103]

Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục

trên I. Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa

mãn thêm điều kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I.

Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy

nhiên, ta biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I,

xét ví dụ sau:

Ví dụ :

f :[0, 2]  R

 x , x  [0,1)

x

2 x , x  [1, 2]



y

4



Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng

bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục

trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một



2

1



đường đi lên từ trái sang phải nhưng

không liên nét trên [0 ;2].



O



1



2



x



Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián

đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:

 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián

đoạn loại 1.

 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ”

(tham khảo [25])

Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm

gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó

là đếm được. Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì



để liên tục trên I ?

Xét định lí sau: