3 Kết luận chương 1

o



Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên I thì f tăng (giảm) nghiêm

o



ngặt khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên I và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều

nhất đếm được.

Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.

Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi



của hàm số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó

hàm số không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).

Cực Liên tục-Khả vi

Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.



Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?

 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn

điểm.

Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành

nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu

hỏi Q2 :

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên

hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?

Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được

đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ

thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên

hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các

câu hỏi sau:



Đơn điệu-Liên tục

Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong

SGK theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng



nhưng không liên tục trên khoảng đó có xuất hiện không? Việc minh họa bằng đồ thị có

được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này?



Đơn điệu-Khả vi

Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) khả

o



vi trên I đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên I có được được đề cập không? Nếu có thì

như thế nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Xuất hiện hay

không hàm số đơn điệu trên I nhưng không khả vi trên I? Việc minh họa bằng đồ thị có

được tính đến không?



Liên tục-Khả vi

Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc

biệt, có hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại

điểm đó? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào

liên quan?



Chương 2

MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH

LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính

đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ

tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1. Thể chế mà chúng tôi

quan tâm ở đây là thể chế dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam.

Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng

chưa tổng quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của

hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được

đưa vào, cho đến lúc này, khái niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớp 11, khái

niệm liên tục được chính thức đưa vào giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế

tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất hiện, ngay trong chương này mối quan hệ

liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12, trong chương ứng dụng đạo hàm để

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới được đề cập. Như vậy, để trả

lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3 cấp lớp 10 (Đại số),

11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang được sử dụng,

bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để thuận

lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GKNC10, GKNC11, GKNC12, GVNC10,

GVNC11, GVNC12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và

giải tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GKCB10, GKCB11, GKCB12, GVCB10,

GVCB11, GVCB12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ cơ bản: SGK đại số 10, SGK đại số và giải

tích 11, SGK giải tích 12 và các sách GV tương ứng. Phân tích của chúng tôi sẽ tập trung

trên từng cực của sơ đồ sau:

Đơn điệu



Liên tục



Khả vi



Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản

chúng tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định

nghĩa hàm số đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm

ngặt ở bậc đại học. Tuy nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các

tính chất đã nêu ở chương 1 vào phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một

số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số

đơn điệu nghiêm ngặt.

2.1 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục

Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số

liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để

làm rõ mối liên hệ này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa

hàm số đơn điệu (hàm số đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm

hàm số liên tục đang ở giai đoạn ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng

dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương

1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối

tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó, ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt

qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được đề cập trước khi khái

niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân

tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp 11.

Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề

cập, mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.

2.1.1 SGK nâng cao

2.1.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm

liên tục hoạt động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”

*Phần bài học (vị trí GV)

Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về

hàm số, chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau:

Bài 1:Đại cương về hàm số

Bài 2:Hàm số bậc nhất

Bài 3:Hàm số bậc hai



Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:

“Một cách tổng quát:

Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số

y=f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số

y=f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, với x1, x2 bất kì thuộc R:

Nếu x1 < x2 mà f(x1)
Nếu x1 < x2 mà f(x1)>f(x2) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”

[3, tr.44]

Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa

thực sự tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GKNC10 đưa ra định nghĩa tổng quát

hơn trong bài 1:

“Cho hàm số f xác định trên K

Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ;



Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .”



[GKNC10, tr.38]

ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa

khoảng hay đoạn) nào đó của R”. [GKNC10,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định

nghĩa trên tương đương với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi:

khái niệm đơn điệu của hàm số được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập

con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông,

hàm số thường được nghiên cứu trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của

chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được định nghĩa trên tập con khác rỗng bất

kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (nửa

khoảng, đoạn).

Tiếp theo định nghĩa, GKNC10 đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:

“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của

hàm số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa