1 Thực nghiệm thứ nhất

HS A:

f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0

Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3).

HS B:

Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng

(-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng đề bài lại không cho

biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không, nên ta không thể đưa ra kết luận gì.

HS C:

Tớ đồng ý với B ở chỗ để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng B nói “đề bài không cho

biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số

f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Tóm lại tớ đề nghị lời

giải như sau:

f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0.

Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có

nghiệm trong khoảng (-1,3).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá

như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 2

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

x



-∞



3



+∞



11



f(x)

-∞



-∞



Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ”

Hai HS A và B tranh luận như sau :

HS A:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (-∞;3) và f’(x)≥0 với

mọi x  (-∞;3).



- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x  (3;+∞) và f’(x)≤0

với mọi x  (3;+∞).

HS B:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x  (-∞;3) và

do đó cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x  (-∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x  (3;+∞)

và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x  (3;+∞).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá

như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 3

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). xo là một điểm bất kì thuộc

khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?”

Có hai HS đã tranh luận như sau:

HS A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x  (a; b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo

hàm tại xo .

HS B:

Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo .

Câu hỏi cho em: Em đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá

như vậy?

3.1.3 Hình thức thực nghiệm

Thực nghiệm được tổ chức trên đối tượng HS lớp 12 tại một số trường THPT ở TP.HCM.

HS làm việc cá nhân trong thời gian 45 phút trả lời các câu hỏi trong phiếu điều tra. Phiếu sẽ

được thu lại và xử lí nhằm phục vụ cho phân tích a posteriori sau đó.

3.1.4 Phân tích apriori các tình huống thực nghiệm

3.1.4.1 Các biến didactic ảnh hưởng đến việc xây dựng tình huống

V1: Cách đưa vào mệnh đề

Mệnh đề được nêu “trực tiếp” hay “gián tiếp” ? Trực tiếp ở đây được hiểu theo nghĩa là nêu

tường minh mệnh đề và yêu cầu đánh giá tính đúng sai của nó. Gián tiếp được hiểu theo

nghĩa mệnh đề không được nêu tường minh mà thông qua một hình thức trung gian nào đó.

V2: Cách cho hàm số



Hàm số trong bài toán được đề cập là “hàm số tổng quát” hay “hàm số cụ thể”?

V3: Có hay không có phản ví dụ?

Hai giá trị của biến này là “có” hoặc “không”.

Trong trường hợp giá trị của V3= “có”, chúng tôi xét thêm biến V4

V4: Cách cho phản ví dụ

Phản ví dụ được cho bằng công thức hay đồ thị?

3.1.4.2 Phân tích chi tiết tình huống 1

Tình huống được thiết kế nhằm kiểm chứng H1. Cho đến khi thực nghiệm, HS đã được

học định lí giá trị trung gian. Chúng tôi chọn K là một đoạn nhằm thuận lợi cho việc thiết

kết tình huống thực nghiệm, từ giả thiết hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [1,3] , chúng

tôi muốn tìm hiểu xem HS có suy ra hàm số liên tục, rồi từ đó suy ra phương trình f(x)=0 có

nghiệm trên khoảng (-1;3) không? Nếu quả thực như vậy, H1 được kiểm chứng. Để đảm

bảo rằng HS không quên các giả thiết quan trọng của định lí (hàm số liên tục trên đoạn)

chúng tôi đã nhắc lại định lí ấy thông qua ý kiến của HS B.

Biến didactic: các giá trị được chọn

V1= “gián tiếp”

Nếu chỉ cho bài toán và yêu cầu HS làm bài, có thể họ sẽ quên giả thiết “liên tục” của

định lí giá trị trung gian mà chỉ nhớ đến điều kiện f(a).f(b)<0. Cũng có thể hỏi thẳng HS về

tính đúng, sai của mệnh đề “f(x) đồng biến trên [a;b] suy ra f(x) liên tục trên [a;b]”, nhưng sẽ

mất tự nhiên và tạo tâm lí đề phòng ở HS. Cả hai điều nói trên đều không tạo thuận lợi cho

việc bộc lộ quan niệm của HS. Như vậy, chúng tôi chọn cách đưa vào mệnh đề gián tiếp

thông qua ý kiến của HS. Bằng cách đặt HS vào vị trí của GV và yêu cầu họ đánh giá các ý

kiến được đưa vào thông qua một tình huống tranh luận, chúng tôi cho rằng HS sẽ có sự cân

nhắc kĩ càng khi đưa ra ý kiến và bộc lộ rõ suy nghĩ của mình.

V2= “hàm số tổng quát”

Nếu cho một hàm số cụ thể, HS có thể sẽ tập trung vào tính toán. Hơn nữa, với hàm số

cụ thể, để phù hợp với mục đích thực nghiệm, chúng tôi buộc phải yêu cầu HS chứng minh

hàm số này đơn điệu rồi từ đó mới đưa ra yêu cầu tiếp theo là “phương trình f(x)=0 có

nghiệm trên khoảng đang xét hay không”, việc làm này là mất tự nhiên và không cần thiết.

Bên cạnh đó với một hàm số cụ thể tính liên tục của nó trên một khoảng có thể được kiểm

tra trực tiếp, tính chất “f(x) đơn điệu trên [a;b]” sẽ bị “thừa”. Nó không tạo điều kiện để

kiểm chứng H1. Trong bài toán này, với mong muốn đặt HS vào một tình huống khiến họ



phải bộc lộ ít nhiều mối quan hệ cá nhân của mình đối với mối liên hệ “đơn điệu-liên tục”,

chúng tôi cho rằng cần tạo ra một sự “mập mờ” đối với tính liên tục của hàm được cho trên

khoảng cần xét (nó có thể liên tục hoặc không liên tục trên khoảng đó). Vì vậy, chúng tôi

chọn giá trị của biến này là V2= “hàm số tổng quát”. Câu trả lời của HS sẽ cho phép chúng

tôi khẳng định hay bác bỏ H1.

V3= “không”

Sự xuất hiện của phản ví dụ có thể sẽ tạo nên tình trạng “mất cân bằng” ở HS. Điều này

không có tạo thuận lợi cho việc tìm hiểu suy nghĩ thực của họ. Vì vậy chúng tôi chọn giá trị

của biến này là không có phản ví dụ. Với giá trị này của V3, biến V4 không được xét đến.

Phân tích các ý kiến của A, B, C

Ý kiến của A: đây là ý kiến sai, A chỉ quan tâm đến f(-1).f(3)<0 mà không quan tâm đến

tính liên tục của f(x). Trong tình huống được cho không thể kết luận được phương trình có

nghiệm hay không có nghiệm.

Ý kiến của B: đây là ý kiến đúng, hàm số đồng biến trên [-1;3] nhưng không thể xác

định được tính liên tục của nó trên đoạn [-1;3]. Câu trả lời này phủ định giả thuyết H1.

Ý kiến của C: đây là ý kiến sai, vì từ tính đồng biến của f(x) trên [-1;3] không thể suy ra

hàm số liên tục trên đoạn [-1;3]. Câu trả lời này cho phép khẳng định giả thuyết H1.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá thế nào về ý kiến của HS B và C ? Họ có nhận ra sai lầm trong suy luận của

C không? Họ đồng ý hay không đồng ý với C? Vì sao? Đồng ý hay không đồng ý với B? Vì

sao?

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S1a - Không xét tính liên tục

f(a)f(b)<0 suy ra f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Cái có thể quan sát:

A đúng, B và C sai vì không cần xét đến tính liên tục của f(x) trên đoạn [-1;3].

Trong trường hợp này, vì câu trả lời không đề cập đề cập đến tính liên tục nên không thể

đưa ra kết luận. Nhưng chúng tôi cho rằng sẽ có rất ít HS trả lời theo chiến lược này vì

chúng tôi đã gián tiếp nhắc đến điều kiện liên tục qua ý kiến của HS B và C.

Chiến lược S1b - đơn điệu không suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K chưa chắc liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:



A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], B đúng, C sai với lý do: f(x)

đồng biến trên đoạn [-1;3] không thể suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

Câu trả lời theo chiến lược S1b sẽ phủ định H1

Chiến lược S1c - đơn điệu suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:

-A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. B sai, C đúng, với lý do “từ giả

thiết hàm số đồng biến trên [-1;3] suy ra hàm số liên tục trên [-1;3]”. Hoặc B sai, C

đúng, hàm số đồng biến trên [-1;3] suy ra xác định trên [-1;3] nên liên tục trên [-1;3]

(chúng tôi cho rằng có thể xuất hiện câu trả lời này vì hầu hết các hàm số được đề

cập trong chương trình đều liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Hoặc

B sai, C đúng vì hàm số đồng biến trên [-1;3] thì có đạo hàm trên [-1;3] suy ra f(x)

liên tục trên [-1;3] hoặc vì đồng biến thì có đạo hàm f’(x)≥0 suy ra f(x) liên tục trên [1;3] (mặc dù khái niệm hàm số có đạo hàm trên đoạn không được đưa vào nhưng

theo chúng tôi câu trả lời này có thể xuất hiện do ảnh hưởng của giả thuyết H2 mà

chúng tôi đặt ra ở đầu chương. Ở đây ta thấy một nguyên nhân khác dẫn đến quan

niệm trong giả thuyết H1 là quan niệm trong giả thuyết H2).

Câu trả lời theo kiểu S1c sẽ cho phép chúng tôi kiểm chứng H1.

3.1.4.3 Phân tích chi tiết tình huống 2

Tình huống này nhằm mục đích kiểm chứng H2, hàm số không được cho bằng một công

thức cụ thể mà ở dạng tổng quát y=f(x) đi kèm với bảng biến thiên của nó. Thông thường,

bảng biến thiên được lập dựa trên cơ sở tính và xét dấu đạo hàm. Ở đây chúng tôi đi theo

quy trình ngược lại, bảng biến thiên được cho sẵn trong đó không đề cập đến đạo hàm của

f(x), chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS sẽ đưa ra kết luận gì về đạo hàm của hàm số sau khi

nhận biết được tính đơn điệu của nó. Từ đó có thể nghiên cứu tính thỏa đáng của H2.

Biến didactic: các giá trị được chọn

V1= “gián tiếp”

Để kiểm chứng H2, có thể đưa ra mệnh đề “nếu hàm số y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên

khoảng K thì f có đạo hàm tại mọi x thuộc K và f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc K” và yêu

cầu HS xác định tính đúng sai của mệnh đề. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng, với cách đặt câu

hỏi như thế sẽ tạo tâm lý nghi ngờ ở HS, câu trả lời thu được có thể sẽ không phản ánh đúng

suy nghĩ của HS. Do đó, chúng tôi lựa chọn cách đưa vào mệnh đề trên một cách tự nhiên



hơn dưới dạng một tranh luận của hai HS. Bằng cách đặt HS vào vị trí giáo viên, yêu cầu họ

đánh giá các ý kiến của hai HS A và B, chúng tôi cho rằng HS sẽ có sự cân nhắc kĩ càng và

câu trả lời thu được sẽ phản ánh đúng suy nghĩ của HS.

V2= “hàm số tổng quát”

Nếu cho một hàm số cụ thể, HS có thể sẽ tập trung vào tính toán, tính khả vi của hàm số có

thể được kiểm tra trực tiếp từ công thức. Điều này không giúp ích cho việc kiểm chứng H2.

Trong tình huống này, với mong muốn đặt HS vào một tình huống khiến họ phải bộc lộ ít

nhiều mối quan hệ cá nhân của mình đối với mối liên hệ “đơn điệu-khả vi”, chúng tôi đưa

vào một hàm số không có công thức cụ thể nhưng tính đơn điệu được thể hiện rõ ràng qua

bảng biến thiên. Nói cách khác, chúng tôi chọn giá trị của biến này là V2= “hàm số tổng

quát”. Câu trả lời của HS sẽ cung cấp thông tin cho phép chúng tôi khẳng định hay bác bỏ

H2.

Tương tự tình huống 1, giá trị của biến V3 là “không” và biến V4 không được xét đến.

Ngoài ra đối với tình huống này chúng tôi còn xét thêm thêm biến sau:

V2’-Bảng biến thiên có hay không có hàng chứa f’(x)?

Với tình huống thực nghiệm, có thể thêm một hàng f’(x):

x



-∞



3



+∞



11



f(x)

f’(x)



-∞



-∞



và hỏi HS như sau: có một HS đã điền vào hàng f’(x) trong bảng biến thiên như dưới đây:

x



-∞



3



+∞



11



f(x)

f’(x)



-∞



+



-



-∞



Em có đồng ý với bạn không? Vì sao?”

Tuy nhiên với lựa chọn trên, chúng tôi cho rằng HS sẽ dễ hiểu nhầm đề bài đã cho hàm số

có đạo hàm nên họ chỉ quan tâm đến dấu của nó. Trong trường hợp này, câu trả lời thu được

không có giá trị cho việc kiểm chứng H2. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến này là

“không có” hàng chứa f’(x). Với lựa chọn này, HS được đặt vào một tình huống vừa quen

thuộc (bảng biến thiên thể hiện tính biến thiên của một hàm số) vừa không quen thuộc



(không đề cập đến đạo hàm). Kết hợp với giá trị của V2=“hàm số tổng quát”, chúng tôi cho

rằng HS sẽ phải suy nghĩ cân nhắc kĩ khi đưa ra câu trả lời, dữ liệu thu được sẽ có giá trị

trong việc kiểm chứng H2.

Phân tích các ý kiến của các HS A, B

Ý kiến của HS A:

Đây là ý kiến sai. Nó dựa trên sự vận hành của H2, theo đó hàm số đồng biến trên

khoảng K thì có đạo hàm và đạo hàm không âm trên khoảng K, hàm số nghịch biến trên

khoảng K thì có đạo hàm và đạo hàm không dương trên khoảng K.

Ý kiến của HS B:

Đây là ý kiến đúng. Ngược với ý kiến của A, B không chịu sự chi phối của H2.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá ý kiến của A đúng hay sai? Nếu đúng thì vì sao? Nếu sai thì vì từ tính đơn

điệu của hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó hay là vì một lí

do khác.

Một điểm khác cần quan sát là HS sẽ đánh giá thế nào về ý kiến của B. Họ đồng ý vì từ tính

đơn điệu của hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó hay không

đồng ý vì từ tính đơn điệu của hàm trên một khoảng có thể suy ra hàm khả vi và đạo hàm

không âm (không dương) trên khoảng đó.

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S2a - Đơn điệu thì khả vi

Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì khả vi trên K và có đạo hàm không âm (không dương)

trên K.

Các câu trả lời theo S2a sẽ cho phép khẳng định H2.

Cái có thể quan sát:

- A đúng và B sai vì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại

mọi x thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3), nghịch biến trên khoảng (3;+∞)

nên nó có đạo hàm tại mọi x thuộc (3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x thuộc (3;+∞).

Một số HS có quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” hoặc

“hàm số xác định tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” có thể trả lời như sau: A sai và

B đúng vì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó liên tục (xác định) trên (∞;3), do đó nó có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3);

tương tự khi hàm nghịch biến. Trong trường hợp này, “đơn điệu” không phải là



nguyên nhân trực tiếp của “khả vi” mà gián tiếp qua một “trung gian” khác. Nhưng

câu trả lời như vậy vẫn được xếp vào S2a vì nó cũng dẫn đến quan niệm “đơn điệu

thì khả vi”. Tuy nhiên nếu câu trả lời theo kiểu này chiếm đa số trong các câu trả lời

theo S2a thì chúng tôi buộc phải xem xét lại giả thuyết H2, cũng như cần có một

nghiên cứu khác thỏa đáng hơn.

- A và B đều sai vì A thiếu f’(3)=0 do hàm số đạt cực đại tại x=3, do đó phải kết luận

là hàm số có đạo hàm trên R và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3), f’(3)=0, f’(x)≤0 với

mọi x thuộc (3;+∞) (câu trả lời này còn cho thấy sự hoạt động của một quy tắc sai

khác ở HS là : “hàm số đạt cực trị tại điểm nào thì đạo hàm tại đó bằng 0”. Tuy

nhiên, việc tìm hiểu quy tắc này không phải là mục đích của thực nghiệm nên chúng

tôi không đi sâu phân tích). Hoặc A và B sai vì hàm số có đạo hàm tại mọi x thuộc (∞;3), f’(x)>0 trên (-∞;3), và hàm số có đạo hàm mọi x thuộc (3;+∞) và f’(x)<0 trên

(3;+∞).

Chiến lược S2b - đơn điệu không suy ra khả vi

Hàm số đơn điệu của trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó.

Các câu trả lời theo S2b phủ định H2.

Cái có thể quan sát:

A sai, B đúng vì từ tính đơn điệu của hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm

khả vi trên khoảng đó hoặc vì tập xác định của đạo hàm f’ không trùng với tập xác

định của hàm số hay có những giá trị của x, tại đó hàm số xác định nhưng không có

đạo hàm... Ví dụ hàm có dạng y =



f ( x) xác định nhưng không có đạo hàm tại những



điểm làm cho f(x)=0...

Chiến lược S2c - Tìm công thức cụ thể

Từ dạng của bảng biến thiên tìm một hàm số cụ thể, dựa vào hàm số này HS đánh giá ý kiến

của A và B. Chiến lược này có thể xuất hiện vì HS thường có xu hướng tìm một hàm số

trong chương trình học có dạng của bảng biến thiên tương tự, nó có thể xuất phát từ quan

niệm chỉ những hàm số được học mới có bảng biến thiên như vậy. Trong tình huống thực

nghiệm, bảng biến thiên có dạng tương ứng với bảng biến thiên của hàm bậc hai y= ax2 +

bx + c hoặc hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c.

Các câu trả lời theo chiến lược này xuất phát từ việc đưa ra một hàm số cụ thể, mục đích của

thực nghiệm là kiểm chứng H2 trong trường hợp tổng quát nên chúng tôi cho rằng chúng

không cho phép hợp thức H2.



Cái có thể quan sát:

-Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số là một parabol nên f(x) là hàm bậc hai hoặc

hàm trùng phương nên kết luận đồng ý với A không đồng ý với B

-Hoặc đưa ra một hàm số khác mà đồ thị có dạng tương ứng với bảng biến thiên, từ

đó lập luận dựa trên hàm số cụ thể này để đánh giá ý kiến của A và B, chẳng hạn:

y

11



O

3



x



Hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ, A đúng, B sai.

3.1.4.4 Phân tích chi tiết tình huống 3

Tình huống 3 nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi : “HS có nghĩ rằng hàm số liên tục

tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó không?”

Trong tình huống thực nghiệm, từ giả thiết “hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x  ( a;b ) ”

HS dễ dàng suy ra f(x) liên tục tại xo, chúng tôi muốn tìm hiểu HS có kết luận hàm số có

đạo hàm tại xo không?

Biến didactic

V1= “gián tiếp”

Giống với các tình huống trước, có thể hỏi thẳng HS về tính đúng sai của mệnh đề “hàm số

liên tục tại xo thì có đạo hàm tại điểm đó”. Tuy nhiên, theo chúng tôi, việc đưa vào mệnh đề

và hỏi trực tiếp tính đúng sai như vậy là mất tự nhiên, thông thường cách hỏi như vậy sẽ tạo

tâm lí đề phòng ở HS, câu trả lời có thể sẽ không phản ánh suy nghĩ thực của họ. Chúng tôi

chọn đưa vào mệnh đề trên một cách gián tiếp thông qua tình huống tranh luận của hai HS

và yêu cầu HS đánh giá ý kiến của hai HS này. Với cách đưa vào mệnh đề kết hợp với cách

hỏi theo hướng mở như vậy, chúng tôi cho rằng HS sẽ bộc lộ suy nghĩ tự nhiên hơn, dữ liệu

thu được sẽ cho phép trả lời câu hỏi: “HS có nghĩ rằng hàm số liên tục tại điểm nào thì khả

vi tại điểm đó không?”

V2= “hàm số tổng quát”

Cũng giống với các tình huống trước, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến này là hàm số tổng

quát nhằm loại bỏ chiến lược tính toán cụ thể để kiểm tra trực tiếp hàm số có đạo hàm tại



điểm cần xét hay không. Trong trường hợp này, tính khả vi của hàm được cho không thể xác

định được, do đó, câu trả lời của HS sẽ có giá trị trong việc tìm kiếm các yếu tố trả cho câu

hỏi mà chúng tôi đã đặt ra.

Tương tự, giá trị của biến V3 là “không” và biến V4 không được xét đến.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của HS A và B. Họ đồng ý hay không đồng ý với HS

A? Đồng ý hay không đồng ý với HS B? Vì sao?

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S3a-Liên tục suy ra có đạo hàm

Hàm số liên tục tại xo nên có đạo hàm tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

-Đồng ý với A, không đồng ý với B vì hàm số liên tục tại xo thì có đạo hàm tại xo

hoặc hàm số liên tục trên (a;b) nên có đạo hàm trên (a;b), xo  (a; b) suy ra f(x) có đạo

hàm tại xo.

-Đồng ý với A, không đồng ý với B vì hàm số liên tục tại xo thì xác định tại xo nên có

đạo hàm tại điểm đó hoặc hàm số liên tục trên (a;b) thì xác định trên (a;b), do đó nó

có đạo hàm trên (a;b), xo thuộc (a;b) nên có đạo hàm tại điểm đó.

Theo chúng tôi câu trả lời này có thể xuất hiện vì HS chủ yếu được học các hàm số

khả vi tại mọi điểm thuộc miền xác định. Câu trả lời này cho thấy một nguyên nhân

khác dẫn đến quan niệm liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó.

Chiến lược S3b-Liên tục không suy ra có đạo hàm

Hàm số liên tục tại xo nhưng không thể suy ra nó có đạo hàm tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

A sai, B đúng vì hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó.

Chúng tôi cho rằng sẽ có không ít câu trả lời theo chiến lược này vì mối liên hệ liên

tục khả vi được thể chế đề cập khá rõ cùng với minh họa trực quan bằng đồ thị.

3.1.5 Phân tích a posteriori

Ở tình huống 1 và 3 chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 266 HS gồm 2 lớp 12 của trường

THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, 3 lớp 12 của trường THPT tư thục Nguyễn Khuyến và 2 lớp

12 của trường THPT Trường Chinh. Tình huống 2 được tiến hành thực nghiệm trên 251 HS

gồm 3 lớp 12 của trường THPT tư thục Nguyễn Khuyến và 3 lớp 12 của trường THPT

chuyên Trần Đại Nghĩa.



3.1.5.1 Tình huống 1

Bảng 3.1: Thống kê các câu trả lời tình huống 1

Câu trả lời



Số lượng



%



8



3



5



1,9



232



87,2



Không trả lời



21



7,9



Tổng



266



100%



S1a

Không quan tâm đến tính liên tục

S1b

Đồng biến không suy ra liên tục

S1c

Đồng biến suy ra liên tục



 Ảnh hưởng mạnh mẽ của quan niệm “đồng biến” thì “liên tục”

Bảng thống kê cho thấy hầu hết HS cho rằng “hàm số đồng biến trên K (khoảng, nửa

khoảng, đoạn) nào thì liên tục trên K”, có đến 232/266 HS có câu trả lời theo S1c (chiếm tỉ

lệ 87,2%). Ưu thế tuyệt đối của chiến lược S1a so với các chiến lược còn lại cho thấy ảnh

hưởng mạnh mẽ của quan niệm “đơn điệu trên K thì liên tục trên K”. Điều này cho phép

chúng tôi hợp thức giả thuyết H1. Để rõ hơn chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của HS.

HS115:

“B sai vì khi đề bài cho hàm số đồng biến trên [-1;3] tức là đã liên tục trên [-1;3] rồi mới

đồng biến được.”

HS125:

“B sai vì đề bài đã gián tiếp cho f(x) đồng biến trên [-1;3] có nghĩa là hàm số f(x) liên tục

trên đọan [-1;3] .”

HS134:

“HS B bổ sung thêm là cần điều kiện liên tục như vậy là đúng nhưng lại không hiểu là f(x)

đồng biến trên [-1;3] chính là đã liên tục trên đọan [-1;3] nên cũng sai.”

HS136:

“B kết luận sai. Vì hàm số đồng biến trên [-1;3] nên hàm số sẽ liên tục trong [-1;3], chứ

không phải là không kết luận được.”

HS140:

“về ý kiến của B, theo như bạn ấy nói là đề bài không cho biết f(x) có liên tục hay không thì

không đúng, đề bài cho f(x) đồng biến trên [-1;3] ta suy ra f(x) liên tục.”

HS157: