2 Mối liên hệ đơn điệu-khả vi

tôi chọn phân tích bài “sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”- chương I: Ứng dụng đạo

hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của GKCB10 nhằm làm rõ mối liên hệ đơn điệu - khả vi

đã được thể hiện như thế nào?

2.2.1 SGK nâng cao

*Phần bài học (vị trí GV)



Sau khi nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến đã được học ở lớp 10, kĩ thuật

khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng xét dấu tỉ số biến thiên cũng được SGK nhắc lại với

cách diễn đạt khác, trong đó có sự xuất hiện của x :

“Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có

f ( x  x )  f ( x )

 0 với mọi x  0 mà x  x  K .

x

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có

f ( x  x)  f ( x)

 0 với mọi x  0 mà x  x  K .” [GTNC12, tr.4]

x



Mặc dù không nói rõ nhưng có thể hiểu mục đích của việc này là đưa vào tính chất sau mà

cách diễn đạt trên chính là yếu tố công nghệ:

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a)Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x)≥0 với mọi x  I .

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x)≤0 với mọi x  I .”(1)

[GKNC12, tr.4]

Tính chất trên là điều kiện cần để một hàm khả vi trên I đơn điệu trên khoảng đó. Ngay sau

đó GKNC12 đưa vào định lí:

“Định lí

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a)Nếu f’(x)>0 với mọi x  I thì hàm số đồng biến trên khoảng I.

b)Nếu f’(x)<0 với mọi x  I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.

c)Nếu f’(x)=0 với mọi x  I thì hàm số không đổi trên khoảng I.”(2)

[GKNC12, tr.5]

Đây chính là định lí quan trọng mà noosphere muốn nhấn mạnh, điều đó thể hiện rõ trong

GVNC12:

“Mục tiêu của chương này là:

Kiến thức



Giúp học sinh nắm vững

-Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số

[…]

Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn

điệu) của hàm số[…]” [GVNC12, tr.18]

“Giúp học sinh thông hiểu điều kiện (chủ yếu là điều kiện đủ) để hàm số đồng biến

hoặc nghịch biến trên một khoảng, một nửa khoảng hoặc một đoạn.

[…]

Giúp học sinh vận dụng một cách thành thạo định lí về điều kiện đủ của tính đơn

điệu để xét chiều biến thiên của hàm số”[GVNC12, tr.20]

Định lí trên chính là điều kiện đủ để một hàm khả vi trên khoảng I đơn điệu trên I. Sau định

lí (2), GKNC12 đưa ra chú ý:

“Khoảng I trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a ;b) thì f

đồng biến trên đoạn [a ; b].” [GKNC12 , tr.5]

GVNC12 giải thích việc đưa vào chú ý này là để tạo thuận lợi trong thực hành, ta sẽ thấy rõ

qua trích đoạn sau:

“Đây là một chú ý quan trọng ta chỉ giới thiệu một trường hợp.Tuy nhiên, dựa vào

đó, học sinh có thể nêu được các khẳng định tương tự cho các trường hợp khác :

Điều kiện để hàm số nghịch biến hoặc không đổi trên một đoạn, điều kiện để hàm số

đơn điệu hoặc không đổi trên một nửa khoảng.

Một vài ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết và lợi ích của việc xét tính đơn điệu của

hàm số không chỉ trên một khoảng mà còn cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng.

Đây là một ví dụ cùng với bài giải của một học sinh.

Ví dụ.Chứng minh rằng hàm số y = x3+3x2+3x+2 là đồng biến trên toàn bộ R.

Giải

Hàm số có đạo hàm

y’= 3x2+6x+3 = 3(x+1)2 .

Từ đó ta lập được bảng biến thiên



Như vậy hàm số đồng biến từ -∞ đến 1 trên khoảng (-∞,1), sau đó đồng biến từ 1 đến

+∞ trên khoảng (1 ;+∞) thành thử hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Lập luận vừa nêu là không chặt chẽ. Đúng ra phải chứng tỏ hàm số đồng biến trên

mỗi nửa khoảng (-∞,1] và [1 ;+∞) từ đó mới suy ra hàm số đồng biến trên R.

Tính đồng biến của hàm số đã cho trên R được chứng minh một cách chặt chẽ tương

tự như ví dụ 3 trong bài.

[...]

Khi xét chiều biến thiên của hàm số, để tránh nặng nề, ta thường chỉ nói tới tính đơn

điệu của hàm số trên một khoảng. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc xét chiều

biến thiên của hàm số trên một đoạn hoặc nửa khoảng tỏ ra rất tiện dụng trong thực

hành.” [GVNC12, tr.21-22]

Một cách tự nhiên, ta đặt câu hỏi : chiều ngược lại của định lí có đúng không ? Mặc dù

không nêu tường minh nhưng với việc trình bày định lý (1) về điều kiện cần và đưa vào ví

dụ 3 cho thấy rõ GKNC12 ngầm lưu ý rằng chiều ngược lại không đúng.

“Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số

y



4 3

x  2 x 2  x  3 ” [GKNC12, tr.6]

3



Lời giải trong GKNC12 chỉ rõ hàm số trên đồng biến trên R nhưng đạo hàm của hàm số tại x

= 0 vẫn bằng không. Ví dụ nêu trên một mặt chỉ rõ chiều ngược lại của định lí là không

đúng, đồng thời thông qua đó, GKNC12 đưa vào định lí mở rộng dưới dạng một nhận xét:

“Nhận xét: Qua ví dụ 3, ta thấy có thể mở rộng định lí đã nêu như sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x)≥0 với mọi x  I ( hoặc f’(x)≤0

với mọi x  I ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên I”(3)[GKNC12, tr.7]

So với định lý 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt12 mà chúng tôi đã nêu



12



o



“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên



I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là:



ở chương 1 thì (1), (2) và cả định lí mở rộng (3) chỉ là những trường hợp đặc biệt. Theo

chúng tôi, sự thay đổi trên là hợp lí vì lẽ khái niệm “phần trong” không được học ở phổ

thông, hơn nữa một phát biểu đầy đủ như định lý 2 có thể sẽ rất khó hiểu đối với HS và

không cần thiết, nó phù hợp hơn với cấp độ đại học.

Một giả thiết quan trọng của các định lí (1), (2), (3) là hàm số phải có đạo hàm trên

khoảng I. Nói cách khác muốn áp dụng định lí, trước hết cần xét xem hàm số có khả vi trên

khoảng cần xét hay không? Tuy nhiên, GKNC12 lại không có một dòng nào lưu ý đến việc

này, GVNC12 cũng vậy. Trong các ví dụ được cho, hàm số luôn khả vi trên khoảng cần xét,

chỉ áp dụng công thức để tính đạo hàm. Như vậy, dường như giả thiết “hàm số f có đạo hàm

trên khoảng I” luôn được đảm bảo và học sinh không có trách nhiệm phải kiểm tra giả thiết

này.

Vấn đề “tồn tại những hàm đơn điệu trên K nhưng lại không khả vi trên K” không được

GKNC12 đề cập, GVNC12 cũng không có một dòng nào bàn đến vấn đề này. Trong chương 1,

chúng tôi đã chỉ ra một ví dụ minh họa, chúng tôi cho rằng một ví dụ theo kiểu như thế kèm

với minh họa bằng đồ thị có thể đưa vào khá đơn giản nhưng noosphere đã không thực hiện.

Từ đó có thể thấy rằng, mối liên hệ này không được noosphere chú ý. Phân tích phần bài tập

sẽ giúp chúng tôi làm rõ thêm nhận định này.

*Phần bài tập (vị trí HS)



Phần bài tập gồm các kiểu nhiệm vụ với kĩ thuật và công nghệ như sau :

T1:Chứng minh hàm số f(x) đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng (nửa

khoảng, đoạn) K cho trước.



Ví dụ:

“2.Chứng minh hàm số y 



x 1

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó”

x2



[GKNC12, tr.5]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi xác định kĩ thuật τ1 như sau :

Kĩ thuật τ1 :



Nếu K là một khoảng:

-Tính đạo hàm f’(x)

-Chứng minh f’(x)>0 (f’(x)<0), x  K hoặc f’(x)≥0 (f’(x)≤0) và dấu bằng xảy ra tại



o



o



x  I , f '( x)  0 và { x  I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.” ([21], tr.165)



một số hữu hạn điểm.

Nếu K là nửa khoảng hoặc đoạn [a,b]:

-Khẳng định sự liên tục của f trên K.

-Xét I là khoảng con lớn nhất của K (khoảng thu được bằng cách bỏ các đầu mút của

K), đối với I, tiến hành như trong trường hợp K là khoảng.

Công nghệ θ1:



Định lý về điều kiện đủ:

“Định lí

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a)Nếu f’(x)>0 với mọi x  I thì hàm số đồng biến trên khoảng I.

b)Nếu f’(x)<0 với mọi x  I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.

c)Nếu f’(x)=0 với mọi x  I thì hàm số không đổi trên khoảng I.”

[GKNC12, tr.5]

Định lí mở rộng:

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x)≥0 với mọi x  I ( hoặc f’(x)≤0

với mọi x  I ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên I”[GKNC12, tr.7]

Và lưu ý sau:

“Khoảng I trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

”[GKNC12, tr.5]

T2:Xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x).



Ví dụ:

“Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số y  x 



4

” [GKNC12, tr.6]

x



Từ cách giải ví dụ trên trong SGK chúng tôi suy ra kĩ thuật τ2 như sau:

Kĩ thuật τ2:



-Tính đạo hàm y’.

-Xét dấu của y’.

-Dựa vào dấu của y’, lập bảng biến thiên và kết luận, cụ thể:

Nếu trên khoảng K mà y’ >0 (y’<0) hoặc y’ ≥0 (y’≤0) , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn

điểm thì kết luận hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.



Công nghệ θ2≡θ1

T3:Tìm giá trị của tham số a để hàm số y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên R.



Ví dụ:

Bài tập 4: “ Với giá trị nào của a hàm số y  ax  x 3 nghịch biến trên R ?”

[GKNC12, tr.8]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi suy ra kĩ thuật τ3 như sau:

Kĩ thuật τ3:



-Tính đạo hàm y’.

-Tìm a để y’>0 (y’<0) với mọi x thuộc R. Hoặc tìm a để y’≥0 (y’≤0) với mọi x thuộc

R, dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Công nghệ θ3:

- θ1



-Định lí về dấu của tam thức bậc hai.

T4:Chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x) trên khoảng D=(a;b)



Ví dụ:

Bài tập 8: “Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)sinx < x với mọi x>0,

sinx > x với mọi x<0;[…]” [GKNC12, tr.8]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi suy ra kĩ thuật τ4 như sau:

Kĩ thuật τ4:



-Đặt h(x) = f(x)-g(x).

-Xét sự biến thiên của h(x) trên [a;b) hoặc (a;b].

-Dựa vào sự biến thiên của h(x) trên D suy ra y>0 trên D, từ đó suy ra f(x)>g(x) trên

D.

Công nghệ θ4≡θ1

 Nhận xét



Đối với T1, các hàm được cho luôn khả vi trên khoảng cần xét. Kĩ thuật để giải quyết là

tính đạo hàm và chứng minh đạo hàm có dấu không đổi trên khoảng cần xét. Kĩ thuật xét

dấu tỉ số biến thiên hoặc dùng định nghĩa đã hình thành ở lớp 10 không được sử dụng. Sau

đây, chúng tôi phân tích một trường hợp đặc biệt của T1.

“7.Chứng minh hàm số f(x)= cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.” [GKNC12 , tr.8],

được gợi ý trong GVNC12 như sau:



“f’(x)=-2(sin2x+1)≤0 với mọi x  R.

f’(x)=0  sin2x=-1  2 x  





2



 k 2  x  



Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn [ 





4



 k ; 





4





4



 k ,k  Z

 ( k  1 ) ]



Do đó hàm nghịch biến trên R.

Cách giải khác. Ta chứng minh hàm số f nghịch biến trên R, tức là

x1 ,x2  R,x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .(1)



Thật vậy, lấy hai số a, b sao cho a
f’(x)=)=-2(sin2x+1)≤0 với mọi x  (a; b) .

Dễ thấy f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng (a;b). Do đó hàm số f

nghịch biến trên khoảng (a,b). Từ đó ta có bất đẳng thức (1).”

[GVNC12, tr.27]

Trong cách giải đầu, việc chứng minh f(x) nghịch biến trên R được chuyển thành chứng

minh f(x) nghịch biến trên từng đoạn mà hợp của chúng là R (ở đây, ta thấy rõ một lí do của

việc đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu trên đoạn). Tuy nhiên người ta lại chứng minh f(x)

nghịch biến trên từng đoạn bằng τ1. Cách giải thứ 2 dùng định nghĩa nhưng sau đó để chứng

minh được (1) thì vẫn dựa vào τ1. Tóm lại, tuy có vài điểm khác biệt nhưng hai cách mà

GVNC12 gợi ý vẫn chủ yếu dựa vào τ1.

Đối với T2, các hàm được cho luôn khả vi trên từng khoảng của miền xác định của

chúng. Giả thiết của định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng luôn thoả

mãn. Kĩ thuật giải quyết là tính đạo hàm và xét dấu của chúng, từ đó chỉ ra các khoảng đơn

điệu của hàm số.

Đối với T3, các hàm được cho là hàm bậc 3, luôn khả vi trên R. Kĩ thuật giải quyết là

tính đạo hàm tìm điều kiện của tham số để đạo hàm có dấu không đổi trên R hoặc đạo hàm

không âm (không dương) trên R bằng cách sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai đã

học ở lớp 10, đạo hàm chỉ bằng không tại một số hữu hạn điểm. Như vậy, kĩ thuật τ3 chủ

yếu vẫn dựa vào “định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí

mở rộng”.

Đối với T4, các hàm được cho luôn khả vi trên khoảng D cần xét. Kĩ thuật giải quyết chủ

yếu vẫn dựa vào “định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí

mở rộng”



 Tóm lại: Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tính đơn điệu của hàm số cho thấy,

θ1: “định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí mở rộng” là



yếu tố công nghệ chi phối các tổ chức toán học này. Nó tạo ra kĩ thuật giải quyết chủ yếu là

tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm khi giải các bài toán liên quan đến việc xét tính đơn điệu

của hàm số. Điều đó cho phép chúng tôi dự đoán về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau đối

với HS lớp 12:

R1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số phải dựa trên cơ sở xét dấu đạo hàm.



Trong các kiểu nhiệm vụ này, hàm số được cho luôn khả vi trên khoảng cần xét. Không xuất

hiện bài tập theo kiểu hàm được cho đơn điệu trên khoảng K nhưng không khả vi trên K.

Yếu tố đồ thị đã không được sử dụng, mặc dù có thể dùng nó để minh hoạ một cách trực

quan cho mối liên hệ này.

Như vậy, cả phần phân tích lí thuyết và bài tập đều cho thấy, vấn đề “tồn tại những hàm

đơn điệu trên khoảng K nhưng lại không khả vi trên K” không được đề cập. Điều kiện “hàm

số khả vi trên khoảng cần xét” luôn được đảm bảo, rõ hơn, hàm số luôn khả vi trên khoảng

cần xét tính đơn điệu của nó. Từ đó, một mặt chúng tôi đi đến giả thuyết sau về sự tồn tại

của quy tắc hợp đồng đối với HS lớp 12:

R2: HS không có trách nhiệm phải kiểm tra tính khả vi của hàm số được cho trên

khoảng đang xét khi giải các bài toán liên quan đến xét chiều biến thiên của hàm số.



mặt khác, chúng tôi đặt ra câu hỏi: những ràng buộc này sẽ tác động như thế nào lên mối

quan hệ cá nhân của HS? Họ có cho rằng “khả vi” là điều kiện cần của “đơn điệu” không?

Rõ hơn, họ có nghĩ rằng nếu hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì

f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên khoảng đó?

2.2.2 SGK cơ bản



Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ chọn phân tích bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm

số(chương 1-GKCB12) nhằm chỉ rõ những điểm giống và khác nhau so với SGK nâng cao.

*Phần lý thuyết

 Những điểm giống với SGK nâng cao:



Hai định lí quan trọng được đề cập:

Định lí về điều kiện đủ:

“Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.”



[GKCB12, tr.6]

Và định lí mở rộng:

“ Ta có định lí mở rộng sau đây.

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x)≥0 (f’(x)≤0) và f’(x)=0 chỉ tại hữu

hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.” [GKCB12, tr.7]

Giả thiết của định lí không được GKCB12 lưu ý. Trong các ví dụ được xem xét, hàm số luôn

khả vi trên khoảng đơn điệu của nó. Mặc dù nhấn mạnh việc sử dụng đồ thị trong dạy học

“Nên tích cực sử dụng hình ảnh hình học (đồ thị) của một hàm số để gợi ý, củng cố các tính

chất mang tính lí thuyết” [GVCB12, tr.25] nhưng một ví dụ minh họa bằng đồ thị nhằm chỉ ra

rằng “có những hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng lại không khả vi trên khoảng đó”

đã không xuất hiện. Như vậy, dường như điều kiện “hàm số có đạo hàm trên K” luôn thỏa

mãn.

 Những điểm khác nhau:



Trong hai định lí được đề cập, K được hiểu là khoảng, nửa khoảng, đoạn. Chúng tôi chú ý

đến hai trường hợp sau: K là nửa khoảng và đoạn. Muốn áp dụng định lí thì hàm số phải khả

vi trên K, trong khi đó, định lí (2) và (3) trong SGK nâng cao đi kèm với lưu ý thì chỉ cần

hàm khả vi trên K trừ ra đầu mút của nó. Một câu hỏi được đặt ra, nếu hàm số không khả vi

tại đầu mút của K thì ta phải làm thế nào để xét tính đơn điệu của nó? Trong bài học, vấn đề

này không được xem xét cả trong GKCB12 và GVCB12, như đã nói ở trên, dường như giả thiết

“hàm số có đạo hàm trên K” luôn được đảm bảo.

Một điểm khác nhau nữa là, GKCB12 nêu tường minh quy tắc xét tính đơn điệu của hàm

số:

“1.Quy tắc



1.Tìm tập xác định.

2.Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi (i=1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng

0 hoặc không xác định.

3.Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4.Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.”

[GKCB12, tr.8]

Bước thứ 2 trong quy tắc này chỉ rõ phải xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định. Ở đây chúng tôi nhận thấy GKCB12 có đề cập đến những điểm mà tại đó đạo

hàm không xác định. Tuy nhiên, các ví dụ áp dụng ngay sau đó lại cho thấy, điểm mà tại đó



đạo hàm không xác định là những điểm mà hàm số không xác định:

“Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y 



x 1

.

x 1



Giải. Hàm số xác định với mọi x≠-1. Ta có

y' 



( x 1)  ( x 1)

2



.

( x  1 )2

( x  1 )2



y’ không xác định tại x = -1.



Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞).” [GKCB12, tr.9]

Trong ví dụ trên, x=-1 không thuộc khoảng đơn điệu của hàm số. Ta xem xét thêm giải

thích của GVCB12:

“Để giúp học sinh dễ nhớ quy trình xét tính đơn điệu bằng đạo hàm, SGK nêu các

bước tiến hành dưới dạng một quy tắc. Trong quy tắc này, nếu học sinh yêu cầu cho

một ví dụ minh họa rằng ngoài các nghiệm của f’(x)=0 còn cần tìm cả những điểm

tại đó đạo hàm không xác định (tức là không có đạo hàm tại điểm đó) ta có thể lấy

các ví dụ sau:

a)(H.5)



 x2

nêu x  1

f(x) 

 x  2 nêu x  1



Dễ thấy rằng hàm số f(x) không có đạo hàm tại x = 1 vì

lim



x 0

( x  0 )



f ( 1  x )  f ( 1 )

( 1  x )  2  1

 lim

 1

x 0

x

x

( x  0 )



f ( 1  x )  f ( 1 )

( 1  x )2  1

lim

 lim

2

x 0

x 0

x

x

( x  0 )

( x  0 )



Mặt khác, f’(x)=2x với -∞


f’(x)>0 khi 0 < x < 1 ;

f’(x)<0 khi -∞ < x < 0;

f’(x)=-1 khi 1 < x < +∞.

Suy ra sự biến thiên của hàm số f(x)



b)Xét hàm số H.6



1  x

voi 0  x  1



g( x )   x

0

voi x  1





Hàm số g(x) không có đạo hàm tại x = 1 vì

g( 1  x )  g( 1 )

0

x 0

x

( x  0 )

lim



g( 1  x )  g( 1 )

 1

x 0

x

( x  0 )

lim



Mặt khác

g'( x )  



1

<0 trong khoảng (0;1) và g’(x)=0 khi x>1.

x2



Suy ra g(x) giàm trong khoảng (0;1), g(x) không đổi trong khoảng (1;+∞).”

[GVCB12, tr.27]

Hai ví dụ được nêu trong đoạn trích chỉ ra sự cần thiết phải xác định các điểm mà tại đó

hàm số không có đạo hàm. Tuy nhiên, điểm mà đạo hàm không xác định lại không thuộc

khoảng đơn điệu của hàm số, qua các điểm này tính đơn điệu của hàm số bị thay đổi (Ở câu

a, qua điểm x=1 thì tính đơn điệu của hàm số thay đổi (từ đồng biến sang nghịch biến), ở

câu b qua x=1 hàm số chuyển từ nghịch biến sang không đổi). Như vậy, mặc dù đây là cơ

hội tốt để lưu ý GV về tính chất “có những hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng lại

không khả vi trên khoảng đó” nhưng noosphere đã không thực hiện. Điều đó càng củng cố