Tính toán mạch điện xoay chiều dạng số phức

Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Ñieän



Người ta thường quy ước các số phức biểu diễn những lượng biến thiên theo thời

.

.

.

gian bằng những chữ cái in hoa với dấu chấm trên đầu, ví dụ: I , U , , E ...Còn các số phức

khác khơng có dấu chấm trên đầu, ví dụ như: Z, Y, S...

 Biểu diễn số phức bằng hình học:

Trong mặt phẳng, lấy hệ tọa độ vng góc trục hồnh biểu diễn các số thực gọi là

trục thực, ký hiệu +1. Còn trục tung biểu diễn cc số ảo gọi trục ảo ký hiệu +j.

Ví dụ: biểu diễn z = a+jb và cụ thể z = 4+5j và z = -4+2j như hình sau



 Các cách biểu diễn số phức:

- Dạng đại số: dạng Z = a+ jb gọi là dạng đại số của số phức.Trong đó a là phần

thực và bj là phần ảo.

Do đó Z = a + jb

 Dạng đại số thích hợp cho việc thực hiện cho phép cộng trừ số phức.

- Dạng lượng giác:

Từ biểu diễn hình học trên ta có: (Xét Oam)

a = z acos  , b = z sin 

Z = z cos  + j z sin  = z (cos  + j sin  )

- Dạng mũ:

Dùng công thức Ơ le:

cos  + j sin  = ej 

ta có Z = z ej 

 Dạng mũ thích hợp cho việc thực hiện cho phép nhân và chia số phức.

 Như vây: Số phức có hai cách biểu diễn cơ bản: biểu diễn bởi phần thực a và

phần ảo b hoặc biểu diễn bởi mô đun z và acgmen  bốn lượng hình thành một tam giác

vng OaM: a, b là hai cạnh góc vng và z là cạnh huyền,  l góc nhọn.



Biên soạn: Trần Văn Đạt



-38-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Với z =



a 2  b 2 và tg 



Giáo trình Điện



b

a



Ví dụ: Chuyển số phức Z = 4 + 3j về dạng lượng giác và dạng mũ

Giải:

Mô đun và acgmen của số phức Z và viết số phức Z.

z=



a 2  b 2 = 42  32  5



tg 



b 3

  0, 75 �   36050'

a 4



Dạng lượng giác và mũ:

0

'

0

'

j 36 53

Z = 5  cos 36 53  j sin 36 50   5e

0



'



- Số phức liên hợp:

Một số phức được gạo là liên hợp của phức A nếu chúng có phần thực bằng nhau

*

*

và phần ảo bằng nhau nhưng trái dấu, người ta kí hiệu phức liên hợp của là Z hoặc A .

*



Z = a – jb

*





Z =z (cos - j sin )



-j 

Z =ze

*



 Một số phép tính đối với số phức:

 Đẳng thức của 2 số phức:

Hai số phức Z1 = a1 + jb1, Z2 = a2 + jb2 được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần

thực và phần ảo bằng nhau từng đơi một tức là: Z1 = Z2 khi có a1 = a2 , b1 = b2.

 Cộng các số phức:

Quy tắc: Muốn cộng các số phức ta cộng các phần thức lại với nhau và các phần

ảo lại với nhau.

Ví dụ: Cộng hai số phức Z1 = a1 + jb1, Z2 = a2 + jb2, tổng của chúng sẽ là:

Z = Z1 + Z2 =( a1 + jb1) + (a2 + jb2) = (a1+a2) + j(b1 +b2)

 Trừ các số phức:

Quy tắc: Muốn trừ các số phức ta trừ các phần thức lại với nhau và các phần ảo

lại với nhau.

Ví dụ: Trừ hai số phức Z1 = a1 + jb1, Z2 = a2 + jb2,hiệu của chúng sẽ là:

Z = Z1 - Z2 =( a1 + jb1) - (a2 + jb2) = (a1-a2) + j(b1 -b2)

 Nhân, chia các số phức:

Đối với tích, thương người ta hay dùng dạng số mũ:

Giả sử



.



v1 v e

1



j 1



;



.



v2



Biên soạn: Trần Văn Đạt



v2 e j 2 thì

-39-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



V1* V2 = v1*v2 ej(1+2)

.



V1







.



V2



v1 j ( 1   2 )

e

v2



Nếu dạng đại số khi thực hiện phép nhân, chia số phức thì ta thực hiện giống như

nhân chia đa thức. Giả sử cho 2 số phức: Z1 = a1 + jb1, Z2 = a2 + jb2

Z1Z2 = ( a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 – b1b2) + j(a1b2 + b1a2)



V1 (a1  jb1 )(a 2  jb2 ) (a1  jb1 )(a 2  jb2 )





V2 (a 2  jb2 )(a 2  jb2 )

a 22  b22

Ví du 1: Tìm các số phức biểu diễn các lượng hình sin sau :

i1 =15sin (  t +





) (A) i2 =4,5 2 sin (  t  ) (A)

6





u1 =220 2 sin (  t - 300 ) (V) u2 =160sin (  t - ) (V)

2



Giải :

Phức biểu diễn i1:

.



I



1m



 15e



j





6



(A) hay



.



I1 

.



.



I



2m



 4,5e



.



U



(A) hay



 220 2e  j 30 (V)

0



1m



.



U



 j



2m



 160 2e



j





2



(V)



I



2



15 j 6

e (A)

2





4,5  j

e (A)

2

.



hay



U

.



 220e  j 30 (V)

0



1



U1 



hay



220  j 2

e (V)

2



Ví dụ 2: Tìm các lượng hình sin biểu diễn bởi các phức sau :

.



I



j





3



.



 4e ,U



.



m



 10,5(kV ), E  15, 75( kV ), (A)



Giải:

Dòng điện I ứng với phức dòng điện I:

i= I 2 sin (  t +







) =4 2 sin (  t + )(A)

3

3



Phức điện áp:

.



U m  10,5  10,5e



 j



(kV )



u= Um sin (  t -  ) =10,5e e j (Kv)

Phức sức điện động:

Biên soạn: Trần Văn Đạt



-40-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h

.



E  15, 75  15, 75e



j0



Giáo trình Điện



(kV )



e = 15,75 2 sin  t

Ví dụ 3: Tìm dòng điện tổng và điện áp hiệu



i1 =15sin (  t + ) (A) i2 =4,5 2 sin (  t  ) (A)

6





u1 =220 2 sin (  t - 300 ) (V) u2 =160sin (  t - ) (V)

2



Giải:

Để tìm tổng và hiệu các lượng hình sin, ta áp dụng tính tốn đối với phức của

chúng.

Biết



j



i1 10,6.e





6



,



i2 4,5.e  j

.



.



.



Dòng điện tổng i = i1+i2  I  I1  I 2

Để tìm tổng này ta đổi I1và I2 về dạng đại số :

.



I1  10,6(cos







3

1

+jsin )= 10,6(

 j ) = 9,2 + j5,3 (A)

6

6

2

2



.



 j

= 4,5 cos[(  )+jsin(  ) ] = -4,5 (A)

I 2  4,5e



Từ đó:

.



.



.



I  I1  I 2 = (9,5+ j5,3) -4,5 = 4,7 +j5,3) (A)



Đổi về số mũ:

.



I  4, 7 2  5,32  7, 06( A)

5,3

 1,13 � 1  480 25'

4, 7



tg1 

.



Từ đó: I  7, 06e j 48 25

0



'



 Dòng điện tương ứng là: I =i1+i2 = 7,06



0

'

2 sin(  t + j 48 25 )(A)



Hiệu điện áp: u  u1  u2

Các phức điện áp đổi về dạng đại số:

.



0



U 1  220e  j 30  (190  j110)(V )

.



U 2  113e

.



.



j





2



  j113(V )



.



0



U  U1  U 2 = (109 - j110) – (-113j) =109 +j3 = 109 e j1 13'



 Hiệu điện áp:

Biên soạn: Trần Văn Đạt



-41-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



u = u1 – u2 = 109 2 sin ( t  1013' ) (V)

5.2. Biểu diễn các đại lượng xoay chiều bằng số phức:

Số phức có sự tương đồng với các đại lượng điện ở chổ cả số phức và đại lượng

điện đều được đặc trưng bởi 2 yếu tố giống nhau đó là độ lớn và góc pha của đại lượng

điện và agumen của số phức vì thế người ta có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đại

lượng trong khi giải bài tốn điện sau đó lấy kết quả của số phức đã tìm được chuyển

thành các đại lượng điện cần tính tương ứng.

Nguyên tắc biểu diễn một đại lượng điện bằng một số phức là lấy trị số hiệu dụng

của đại lượng điện là modun của số phức, lấy góc pha đầu của nó làm agumen của số

phức .

- Biểu diễn các hàm điều hoà ( sin hoặc cos) bằng số phức:

i(t) = Im sin(t + i)  I =



I m jI

.e = Ii

2



u(t) = Um sin(t + u)  U =



U m jI

.e = Uu

2



e(t) = Em sin(t + e)  E =



Em jI

.e = Ee

2



- Biểu diễn tổng trở bằng số phức:

Z=



R 2  X 2  Z  R  jX



- Biểu diễn công suất của nhánh bằng số phức:

S = P + jQ  S =

 actg



P 2  Q 2 : môdun



Q

: agumen

P



- Biểu diễn quan hệ giữa áp và dòng hình sin trong một nhánh:

U

Z 

;   u   i

I



Ta biết



Dùng số phức:



*



U

*



I



U .e j u



 I .e j i



Z  z.e j

- Biểu diễn quan hệ giữa cơng suất, dòng và áp trong một nhóm:

Ta có:



.



S



.



*



S .e j U .I .e j ( u   i ) U . I Z .I 2 (r  jX ) I 2 P  jQ .



5.3. Giải các mạch điện xoay chiều hình Sin dạng số phức:

 Quy tắc:

 Nếu: u = Um.sin( .t   )  U U .e j U

Bieân soạn: Trần Văn Đạt



-42-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



 Nếu: e = Em.sin( .t   )  E  E.e j  E 



Tổng trở phức được xác định:

j

U U

Z   e j ( u   i ) Z .e

I

I



Z Z .e j Z  cos   j sin    R  jX



 Phần thực là điện trở R

 Phần ảo là điện kháng X

Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều. Biết R = 3(Ω), L = 40(mH), u = 10.cos(100t



+ 200)(V). Tính I , viết biểu thức i.



Giải

*



u= 10.cos(100t +200)  U 



10 j 200

.e

2







Z L  j.L.  j.100.40.10  3 4()









Z  R  Z L = 3 + j4 (Ω) =



2



4



3  4 .e



jarctg



4

3



0



= 5. e j 53 (Ω)



10 j 200

.e

0

0

0

U

2

I 

 2.e j ( 20  53 )  2.e j  33 (A)

j 530

5.e

Z









 i 2. sin(100t  330 ) (A)



Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều. Biết R = 4(Ω), C =



1

F , u = 8.sin2t(V). Tính

8







I , viết biểu thức i.

Biên soạn: Trần Văn Đạt



-43-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



Giải

8 j 00

.e (V)

2



u = 8.sin2t =





ZC 



 j

 j



 j 4()

C. 1 .2

8











Z R  Z C 4  j 4  4 2  4 2 .e jarctg  1 4. 2 .e j  45 (Ω)

0



8 j 00

.e

0

0

0

U

2

I 

1.e j ( 0 45 ) 1.e j 45 (A)

j  450

Z 4 2 .e









 i  2. sin(2t  450 )( A)



Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều. Biết R = 4(Ω), C =



1

F , L = 2(H), u =

2











8.cos2t(V). Tính I , VC ,viết biểu thức i.



Giải

8 j 00

.e (V)

2



u = 8.cos2t =





ZC 



 j

 j



 j ()

1

C.

.2

2







Z L  j. L.  j 2.2  j 4()













0

Z  R  Z L  Z C 4 +j4 – j = 4 + j3(Ω) = 5. 37 (Ω)



8 j0

.e

U

8. 2 j ( 00  370 ) 8. 2 j  370 (A)

2

I 



.e



.e

j 370

10

10

5.e

Z









Biên soạn: Trần Văn Đạt



-44-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h













VC  I . Z C 

 i



Giáo trình Điện



8. 2 j  370

8. 2 j  1270

(V)

.e

.1.e j  90 

.e

10

10



16

. cos(2t  37 0 )

10



Ví dụ 4: Mạch điện gồm hai nhánh song song Z1 = (1 – j0,5)  ; Z2 = (1 +j0,5).

Đặt điện áp U = 2,5(V). Xác định I trong mạch chung.

Giải

Tổng trở tương đương của mạch

Z td 



Z 1 .Z 2

1  j 0,51  j 0,5 0,625



1  j 0,5  1  j 0,5

Z1  Z 2



Dòng điện ở mạch chung: với U = 2,5(V), tức là:

*



U U .e j 2,5.e j 0

*



U

2,5

I



4 A

Z td 00,625

*



Vậy dòng điện và áp đồng pha

Ví dụ 5: Một nhánh có R = 3, X = 4 đặt vào điện áp xoay chiều u = 20 2 sin

(314t + 800). Tính dòng điện phức, tính các thành phần cơng suất phức.

Giải

Phức điện áp U* 20.e



j 80 0



Phức tổng trở Z = R + jX = 3 + j4 = 5. e j 53 

0



Phức dòng điện tính được từ định luật ôm

*



0



U 20.e j 80

j 27 0

I 



4

.

e

0

Z

5.e j 53

*



Phức công suất:

*



*



0

0

S U . I 20.e j 80 .4.e j 27 80.e j107 (VA)



= 23 + j 764 (VA)

S = 80VA, P = 23W; Q = 76VAr

C. Câu hỏi và bài tập:

1/ Một mạch điện R,L,C nối tiếp R = 100, C = 22F, L = 200mH. Điện áp giữa 2

đầu cực của nguồn U = 220V. Tính dòng điện trong mạch khi tần số f = 1Khz.

2/ Mạch điện gồm điện trở R = 10, nối tiếp C = 470F. Điện áp giữa 2 đầu cực

của nguồn U = 110V, f = 50Hz. Tính dòng điện và các thành phần của tam giác điện áp.

3/ Một mạch điện R,L,C nối tiếp R = 47, C = 220F, L = 100mH. Điện áp giữa 2

đầu cực của nguồn U = 220V.

Bieân soạn: Trần Văn Đạt



-45-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



a. Tính dòng điện, các thành điện áp và các loại công suất khi f = 50Hz.

b. Xác định tần số f để dòng điện cực đại. Tính cơng suất .

4/ Một mạch điện R, L, C nối tiếp có R = 33, C = 200F, L = 100mH. Điện áp

giữa 2 đầu cực của nguồn U = 200V.

a. Tính dòng điện, các thành điện áp và các loại công suất khi f = 50Hz.

b. Xác định tần số f để dòng điện cực đại. Tính cơng suất của mạch?

5/ Một mạch điện R, L nối tiếp R = 10K, L = 100mH. Biết I = 0,2mA; tần số

dòng điện f = 5KHz.

a. Tính điện áp UAB, các thành điện áp

b. Thay L bằng C, cho biết dòng điện I có trị số khơng đổi. Xác định C

6/ Một cuộn dây R = 5, XC = 10, XL = 25. Điện áp đấu vào nguồn U = 220V.

a. Tính dòng điện, QL, QC, Q, hệ số cơng suất của mạch.

b. Tính điện áp đặt lên cuộn dây và điện áp đặt lên tụ điện

j 20 0



*



7/ Phức dòng điện và áp của một nhánh I*  20.e U 220.e j 50 . Hãy xác định các

thành phần trở kháng Z , điện dẫn Y, công suất P, Q, S của nhánh.

0



8/ Một cuộn dây có R1 =4  ,XL1 = 3  , mắc nối tiếp với mạch tụ điện có R2 =5 

,XC2 = 12  đặt vào điện áp xoay chiều U =113(V). Tính dòng điện trong mạch, điện áp

đặt vào cuộn dây và mạch tụ điện, công suất mạch tiêu thụ, công suất trên cuôn dây và

mạch tụ điện. Vẽ đồ thị véc tơ.

9/ Mạch điện gồm hai nhánh song song Z1 = (1- j0,5)  , Z2 = (1+j0,5)  , đặt vào

điện áp U=2,5V. Xác định dòng điện trong mạch chung?

9/ Giải mạch điện như hình vẽ trên: Z1= (1 +j2)  , Z2= (3 -j4)  , Z3= (8 +j6)  , U =

10V.



Biên soạn: Trần Văn Đạt



-46-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



Chương 3

MÁY BIẾN ÁP CẢM ỨNG MỘT PHA

A. Mục tiêu của bài

Học xong chương này học viên sẽ có khả năng:

- Mơ tả được thành phần cấu tạo và trình bày được nguyên lý làm việc của máy

biến áp một pha dùng làm máy biến áp nguồn trong các thiết bị điện tử.

- Tính tốn được các thơng số cơ bản để quấn máy biến áp môt pha dùng làm máy

biến áp nguồn.

B. Nội dung chính

1. Khái niệm, cấu tạo và nguyên lý làm việc máy biến áp cảm ứng một pha.

1.1. Khái niệm:

Để biến đổi điện áp (dòng điện) của dòng xoay chiều từ giá trị cao đến giá trị thấp

hoặc ngược lại ta dùng máy biến áp.

Máy biến áp là thiết bị điện từ tĩnh, làm việc theo nguyên tắc cảm ứng điện từ,

dùng để biến đổi hệ thống điện xoay chiều (U1, I1, f) thành (U2, I2, f).

Đầu vào của máy biến áp nối với nguồn điện gọi là sơ cấp. Đầu ra nối với tải gọi

là thứ cấp.

1.2. Cấu tạo:

Gồm hai bộ phận chính: Lõi thép và dây quấn.

1.2.1. Lõi thép máy biến áp:



Hình 5.1: Lõi thép máy biến áp



Biên soạn: Trần Văn Đạt



-47-



Khoa KT Điện- Điện lạnh- Điện tử

kỹ thuật -75h



Giáo trình Điện



Hình 5.2: Cấu tạo máy biến áp

Dùng để dẫn từ thơng chính của máy, được chế tạo từ vật liệu dẫn từ tốt, thường là

thép kỹ thuật điện mỏng ghép lại.

Để giảm dòng điện xốy trong lõi thép, người ta dùng lá thép kỹ thuật điện, hai

mặt có sơn cách điện ghép lại với nhau thành lõi thép.

Lõi thép gồm hai bộ phận:

- Trụ là nơi để đặt dây quấn

- Gơng là phần khép kín mạch từ khép kín

Trụ và gơng tạo thành mạch khép kín

1.2.2. Dây quấn máy biến áp:

Được chế tạo bằng dây đồng hoặc nhơm có tiết diện tròn hoặc chữ nhật, bên ngồi

dây dẫn có bọc cách điện.

Dây quấn gồm nhiều vòng dây và lồng trụ vào lõi thép. Giữa các vòng dây, giữa

các dây quấn có cách điện với nhau và các dây có cách điện với lõi thép.

Máy biến áp thường có hai hay nhiều dây quấn. Khi các dây quấn đặt trên cùng

một trụ thép, các dây quấn khác đặt lồng vào nhau.

Các làm mát bộ dây quấn: Máy biến áp có cơng suất nhỏ thì làm mát bằng khơng

khí, máy có cơng suất lớn thì làm mát bằng dầu, vỏ thùng có cánh tản nhiệt.

1.3. Nguyên lý làm việc của máy biến áp cảm ứng một pha:

Khi ta nối dây quấn sơ cấp vào nguồn điện xoay chiều điện áp U 1 sẽ có dòng điện

sơ cấp I1 chạy trong dây quấn sơ cấp W1.

Dòng điện I1 sinh ra từ thông Φ biến thiên chạy trong lõi thép. Từ thơng này móc

vòng đồng thời với cả hai dây quấn sơ cấp và thứ cấp được gọi là từ thông chính.

Theo định luật cảm ứng điện từ:

e1 = - W1



d

dt



e2 = - W2



d

; W1, W2 là số vòng dây quấn sơ cấp và thứ cấp.

dt



Biên soạn: Trần Văn Đạt



-48-