1 Cỏc phng trỡnh c bn v iu kin biờn

giả thiết trên sẽ được rút ra.

Bởi vì sóng được nghiên cứu là sóng tuần hoàn, có đỉnh dài (sóng hai chiều hay

sóng đơn) lan truyền mà không thay đổi hình dạng, nếu hướng trục x theo hướng lan

truyền của sóng, bài toán biến thành bài toán hai chiều. Như vậy, hệ tọa độ mà chúng

ta chọn sẽ giống như trên hình 3.1.

Dễ dàng tìm ra rằng với hệ tọa độ này, phương trình mô tả bề mặt tự do khi có

một sóng truyền theo hướng trục x với tốc độ truyền sóng c có thể được viết như sau:

z = ζ ( x − ct )

(3.1)

Mối liên hệ giữa bước sóng, vận tốc truyền sóng và chu kỳ có thể được viết như

sau:

L = cT

(3.2)

Các biến phụ thuộc mô tả trường dòng chảy khi có sóng là các thành phần vận

tốc dòng chảy theo các trục x và z, và áp suất. Các biến này lần lượt được ký hiệu lần

lượt là u, w và p.

3.1.2 Điều kiện không nén được – Phương trình liên tục

Như đã chỉ ra, bài toán được xem xét có thể coi là bài toán hai chiều. Trong

trường hợp này, như đã chỉ ra trong chương 2 (phương trình 2.34), điều kiện không

nén được của chất lỏng dẫn đến phương trình liên tục có dạng sau:

∂u ∂v

+

=0

∂x ∂y



(3.3)



3.1.3 Các phương trình động lượng

Với các giả thiết trong phần (3.1.1), phương trình động lượng cho chuyển động

hai chiều của chất lỏng (các phương trình 2.35) khi có sóng có thể được viết như sau:

∂u

∂u

1 ∂p

du ∂u

=

+u

+w

=−

∂x

∂z

ρ ∂x

dt ∂t

∂w

∂w

1 ∂p

dw ∂w

=

+u

+w

=−

−g

∂t

∂x

∂z

ρ ∂z

dt



(3.4)

(3.5)



Các phương trình (3.4) và (3.5) không đối xứng vì có sự xuất hiện của g trong

(3.5). Hai phương trình này có thể viết dưới dạng tương tự bằng cách thế

g = (∂ / ∂z )( gz ) vào (3.5) và cộng thêm một đại lượng bằng không (∂ / ∂x )( gz ) vào

(3.4). Việc này cho ta một phương trình đối xứng:

⎞

∂u

∂u

∂u ∂ ⎛ p

+u

+ w + ⎜ + gz ⎟ = 0

⎜ρ

⎟

∂t

∂x

∂z ∂x ⎝

⎠



(3.6)



⎞

∂w

∂w

∂w ∂ ⎛ p

+u

+w

+ ⎜ + gz ⎟ = 0

⎜ρ

⎟

∂t

∂x

∂z ∂z ⎝

⎠



(3.7)



và:



Vì sóng là sóng hai chiều, chúng ta chỉ đưa ra các điều kiện biên tại mặt thoáng

24



và tại đáy. Điều kiện động học cho chất lỏng không nhớt chỉ ra rằng không có hạt lỏng

nào xuyên qua bề mặt bao bọc chất lỏng. Điều này dẫn tới các phương trình sau:

w = 0 tại z = − h

(3.8)

và:

dζ

tại z = ζ (x, t )

(3.9)

w=

dt



Phương trình (3.9) có thể khai triển thành:

∂ζ

∂ζ

w=

+u

tại z = ζ (x, t )

∂t



∂x



(3.10)



Điều kiện biên động lực liên quan tới ứng suất. Bởi vì đáy là cứng nên không

một điều kiện biên nào cần thiết tại đáy. Điều kiện không có ứng suất tại mặt thoáng

cho ta:

p = 0 tại z = ζ ( x, t )

(3.11)

Điều kiện là ứng suất cắt bằng không tại mặt thoáng không cần đưa ra ở đây vì

chất lỏng được giả thiết là không nhớt, và như vậy ứng suất cắt bằng không tại tất cả

mọi nơi.

Như đã chỉ ra trong chương 2, cường độ xoáy của một chất lỏng lý tưởng bằng

hằng số. Như vậy, chuyển động bắt đầu không có xoáy sẽ mãi mãi không xoáy.

Đối với một chất lỏng thực khi có sóng, các xoáy có thể được tạo thành trong lớp

biên do sóng. Tuy nhiên, ngoại trừ đới sóng vỡ, độ dày của lớp biên khi có sóng là rất

nhỏ. Bên ngoài lớp biên mỏng này, dòng chảy do sóng tạo nên có thể coi là không

xoáy.

Như đã chỉ ra trong chương 2, điều kiện không xoáy đảm bảo sự tồn tại của một

thế vận tốc Φ thỏa mãn phương trình Laplace:

∂ 2Φ ∂ 2Φ

+ 2 =0

∂x 2

∂z



(3.12)



Trong trường hợp này, ta có thể đưa hàm f(t) trong vế phải của phương trình

Bernoulli (2.43) vào trong thế vận tốc mà không đánh mất tính tổng quát của bài toán.

Như vậy, phương trình Bernoulli (2.43) trở thành:

∂Φ 1 2 p

+ u + + gz = 0

∂t 2

ρ



(3.13)



Với thế vận tốc, các phương trình điều kiện biên cho dòng chảy khi có sóng

((3.8), (3.10) và (3.13)) trở thành:

∂Φ

= 0 tại z = − h

∂z

∂Φ ∂ζ ∂Φ ∂ζ

=

+

tại z = ζ (x, t )

∂z

∂t

∂x ∂x



25



(3.14)

(3.15)



2

2

∂Φ 1 ⎡⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ p

+ ⎢⎜

⎟ +⎜

⎟ ⎥ + + gz = 0 tại z = ζ ( x, t )

∂t 2 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥ ρ

⎣

⎦



(3.16)



Đồng thời, ta tuyến tính hóa các phương trình (3.15) và (3.16) bằng cách bỏ qua

các số hạng bậc hai, tức là u 2 và v 2 , và các điều kiện biên động lực trên bề mặt

(3.15) và (3.16) cho ta các điều kiện biên sau đây:

∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞

=⎜

(3.17)

⎟

∂t



⎝ ∂z ⎠ z =ζ

1 ⎛ ∂Φ ⎞

ζ =− ⎜

⎟

g ⎝ ∂t ⎠ z =ζ



(3.18)



Để có thể sử dụng các điều kiện biên này, cần phải giả thiết thêm là biên độ của

các sóng là đủ nhỏ để các phương trình (3.17) và (3.18) có thể được đơn giản hóa

thành các điều kiện biên:

∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞

(3.19)

=⎜

⎟

⎝ ∂z ⎠ z =0

1 ⎛ ∂Φ ⎞

ζ =− ⎜

⎟

g ⎝ ∂t ⎠ z =0

∂t



(3.20)



Cùng với các điều kiện biên (3.14), (3.19) và (3.20), cần phải chú ý rằng nghiệm

vật lý của bài toán truyền sóng phải là điều hòa cả theo biến không gian x và thời gian

t.

3.2 Lời giải giải tích của bài toán sóng trọng lực bề mặt

Bài toán biên hoàn chỉnh cho sóng trọng lực bề mặt có thể được phát biểu lại

như sau. Phương trình vi phân:

∂ 2Φ ∂ 2Φ

+ 2 =0

∂x 2

∂z



(3.21)



với các điều kiện biên:

∂Φ

= 0 tại z = −h

∂z

∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞

=⎜

⎟ tại z = 0

∂t ⎝ ∂z ⎠

1 ⎛ ∂Φ ⎞

ζ =− ⎜

⎟ tại z = 0

g ⎝ ∂t ⎠



(3.22)

(3.23)

(3.24)



Để giải bài toán này với các điều kiện biên, ta giả thiết rằng thế vận tốc có thể

được biểu thị như sau:

Φ ( x, z , t ) = X ( x )Z ( z )T (t )

(3.25)

Với X, Z và T lần lượt là các hàm chỉ của các biến số x, z và t.

Thế (3.25) vào (3.21), chúng ta có:

26



X"

Z"

=−

= −k 2

X

Z



(3.26)



với dấu phẩy kép biểu thị đạo hàm bậc hai và k 2 là một hằng số. Kết quả là ta có

hai phương trình vi phân thường:

X "+ k 2 X = 0

(3.27)

2

Z "−k Z = 0

(3.28)

Nghiệm của (3.27) và (3.28) là X = B cos kx + D sin kx và Z = Ee kz + Ge − kz với B,

D, E và G là các hằng số tích phân. Như vậy, nghiệm có thể viết dưới dạng:

Φ (x, z , t ) = (B cos kx + D sin kx )(Ee kz + Ge − kz )T (t )

(3.29)

Từ quan điểm vật lý, ta có thể thấy rằng đối với sóng đơn, nghiệm nhất thiết phải

là hàm tuần hoàn đơn giản của biến thời gian. Như vậy, có thể biểu thị T(t) bằng các

hàm cos ω t hay sin ω t .

Có bốn tổ hợp độc lập của các số hạng thỏa mãn điều kiện tuần hoàn cả với x và

t và là nghiệm của phương trình Laplace là:

Φ 1 = A1 Z ( z ) cos kx cos ω t

(3.30)

Φ 2 = A2 Z ( z ) sin kx sin ω t

(3.31)

Φ 3 = A3 Z ( z ) sin kx cos ω t



(3.32)



Φ 4 = A4 Z ( z ) cos kx sin ω t



(3.33)

Triển khai nghiệm dưới dạng này cho phép ta tìm giá trị của các hằng số tích

phân. Bởi vì phưong trình Laplace là tuyến tính, một tổ hợp thích hợp của các nghiệm

này sẽ thỏa mãn cả phương trình Laplace và các điều kiện biên.

Các điều kiện biên (3.22) và (3.24) bây giờ sẽ được áp dụng cho nghiệm (3.30).

Từ (3.30), ∂Φ 1 / ∂z = kA1 (Ee kz − Ge − kz )cos kx cos ω t .

Áp dụng điều kiện ∂Φ 1 / ∂z = 0 tại z = − h cho ta Ee − kh = Ge kh . Vì vậy:

E = Ge 2 kh

(3.34)

Từ đó ta có:

e k (z +h ) + e −k (z+h )

cos kx cos ω t

2

= 2 A1Ge kh cosh k ( z + h ) cos kx cos ω t



Φ 1 = 2 A1Ge kh



(3.35)



Áp dụng điều kiện biên tại mặt thoáng ζ 1 = −1 / g (∂Φ 1 / ∂t )z =0 cho ta

ζ 1 = (2ωA1Ge kh / g )cosh k (z + h ) cos kx sin ω t . Giá trị cực đại của ζ là biên độ a xảy ra

khi cos kx sin ω t = 1 . Như vậy:

A1Ge kh =



ag

2ω cosh kh



(3.36)



Và điều này dẫn tới:

ζ 1 = a cos kx sin ω t

(3.37)

Phương trình này diễn tả một hệ “sóng đứng” với bước sóng là L = 2π / k và

27