2 Li gii gii tớch ca bi toỏn súng trng lc b mt

X"

Z"

=−

= −k 2

X

Z



(3.26)



với dấu phẩy kép biểu thị đạo hàm bậc hai và k 2 là một hằng số. Kết quả là ta có

hai phương trình vi phân thường:

X "+ k 2 X = 0

(3.27)

2

Z "−k Z = 0

(3.28)

Nghiệm của (3.27) và (3.28) là X = B cos kx + D sin kx và Z = Ee kz + Ge − kz với B,

D, E và G là các hằng số tích phân. Như vậy, nghiệm có thể viết dưới dạng:

Φ (x, z , t ) = (B cos kx + D sin kx )(Ee kz + Ge − kz )T (t )

(3.29)

Từ quan điểm vật lý, ta có thể thấy rằng đối với sóng đơn, nghiệm nhất thiết phải

là hàm tuần hoàn đơn giản của biến thời gian. Như vậy, có thể biểu thị T(t) bằng các

hàm cos ω t hay sin ω t .

Có bốn tổ hợp độc lập của các số hạng thỏa mãn điều kiện tuần hoàn cả với x và

t và là nghiệm của phương trình Laplace là:

Φ 1 = A1 Z ( z ) cos kx cos ω t

(3.30)

Φ 2 = A2 Z ( z ) sin kx sin ω t

(3.31)

Φ 3 = A3 Z ( z ) sin kx cos ω t



(3.32)



Φ 4 = A4 Z ( z ) cos kx sin ω t



(3.33)

Triển khai nghiệm dưới dạng này cho phép ta tìm giá trị của các hằng số tích

phân. Bởi vì phưong trình Laplace là tuyến tính, một tổ hợp thích hợp của các nghiệm

này sẽ thỏa mãn cả phương trình Laplace và các điều kiện biên.

Các điều kiện biên (3.22) và (3.24) bây giờ sẽ được áp dụng cho nghiệm (3.30).

Từ (3.30), ∂Φ 1 / ∂z = kA1 (Ee kz − Ge − kz )cos kx cos ω t .

Áp dụng điều kiện ∂Φ 1 / ∂z = 0 tại z = − h cho ta Ee − kh = Ge kh . Vì vậy:

E = Ge 2 kh

(3.34)

Từ đó ta có:

e k (z +h ) + e −k (z+h )

cos kx cos ω t

2

= 2 A1Ge kh cosh k ( z + h ) cos kx cos ω t



Φ 1 = 2 A1Ge kh



(3.35)



Áp dụng điều kiện biên tại mặt thoáng ζ 1 = −1 / g (∂Φ 1 / ∂t )z =0 cho ta

ζ 1 = (2ωA1Ge kh / g )cosh k (z + h ) cos kx sin ω t . Giá trị cực đại của ζ là biên độ a xảy ra

khi cos kx sin ω t = 1 . Như vậy:

A1Ge kh =



ag

2ω cosh kh



(3.36)



Và điều này dẫn tới:

ζ 1 = a cos kx sin ω t

(3.37)

Phương trình này diễn tả một hệ “sóng đứng” với bước sóng là L = 2π / k và

27



biên độ a. Thế vận tốc Φ 1 giờ trở thành:



aG cosh k ( z + h )

(3.38)

cos kx cos ω t

ω cosh kh

Điều kiện cần để cho Φ 1 là hàm tuần hoàn của x với bước sóng L là k được

Φ1 =



định nghĩa là k = 2π / L . Đại lượng này được gọi là số sóng.

Có thể tìm các hằng số khác trong các nghiệm cơ bản của Φ bằng phương

pháp trên. Kết quả là ta có:

Φ1 =



ag cosh k ( z + h )

cos kx cos ω t

ω cosh kh



Φ2 =



ag cosh k ( z + h )

sin kx sin ω t

ω cosh kh



Φ3 =



ag cosh k ( z + h )

sin kx cos ω t

ω cosh kh



Φ4 =



ag cosh k ( z + h )

cos kx sin ω t

ω cosh kh



Vì tính chất tuyến tính của phương trình Laplace, một tổ hợp tuyến tính của các

nghiệm trên cũng là nghiệm. Như vậy:

Φ = Φ 2 - Φ1 =



ag cosh k ( z + h )

cos(ω t − kx )

ω cosh kh



(3.39)



Như ta sẽ chỉ ra dưới đây, phương trình (3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến

theo hướng trục x. Từ (3.24) và (3.39), ta có phương trình mô tả mặt nước:

1 ⎛ ∂Φ ⎞

⎟ = a sin (ω t − kx )

g ⎝ ∂t ⎠ z =0



ζ =− ⎜



(3.40)



Phương trình này tuần hoàn cả theo x và t. Nghiệm này thường được coi là

nghiệm sóng tiến. Đại lượng:

ψ ( x, t ) = ω t − kx

(3.41)

được gọi là pha sóng.

Nếu ta chuyển động cùng với sóng sao cho tại tất cả các thời điểm t vị trí tương

đối của chúng ta đối với mặt sóng là cố định. Khi đó phaψ (x, t ) = (ω t − kx ) sẽ là hằng

số. Tốc độ di chuyển của ta phải thỏa mãn điều kiện:

dx ω L

(3.42)

= = =c

dt



k



T



c được gọi là vận tốc pha của sóng, hay là vận tốc truyền sóng. Như vậy, phương trình

(3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến theo hướng trục x.

Ta có thể thấy rằng với phương trình (3.39) ta có thể mô tả hoàn chỉnh trường

vận tốc bên dưới một sóng. Đồng thời, từ phương trình Bernoulli ta có thể xác định

trường áp suất.

Bằng cách tương tự, ta có thể tìm được thế vận tốc cho một sóng tiến theo

28



hướng âm của trục x bằng tổ hợp (Φ 1 + Φ 2 ) như sau:

Φ = Φ1 + Φ 2 =



ag cosh k ( z + h )

cos(kx + ω t )

ω cosh kh



Dao động mực nước trong trường hợp này là:

ζ = a sin (kx + ω t )

Tương tự ta có:

Φ = −(Φ 3 + Φ 4 ) =



(3.43)

(3.44)



ag cosh k ( z + h )

cos(kx − ω t )

ω cosh kh



và:

Φ = −(Φ 4 − Φ 3 ) = −



ζ = a sin (kx + ω t )



(3.45)



ag cosh k ( z + h )

cos(kx + ω t )

ω cosh kh



(3.47)



(3.48)

Các thế vận tốc (3.45) và (3.47) lần lượt trùng với (3.39) và (3.43), chỉ có điều là

chúng bị lệch pha đối với gốc của hệ tọa độ.

Từ biểu thức của thế vận tốc, chúng ta có thể tìm ra một loạt các tính chất của

sóng. Tính chất quan trọng nhất là sự phân tán sóng. Trước khi rút ra mối liên hệ

phân tán, chúng ta hãy xem xét kỹ thế vận tốc và một số đặc tính vật lý của nó.

Chúng ta hãy xem xét một phương pháp đơn giản để tìm hàm thế vận tốc. Giả

thiết rằng ta xem xét một sóng tiến. Như vậy, thế vận tốc có dạng Φ ~ e i (kx −ω t ) và có

thể được viết như sau

Φ = Z (z ) Re{e i (kx −ω t ) }

(3.49)

Ở đây Re biểu thị phần thực của lời giải phức.

Như vậy, lời giải thực tế của bài toán có dạng:

Φ = Z ( z ) cos(kx − ω t )

(3.50)

Dùng lời giải này thế vào phương trình Laplace, ta có

Z "−k 2 Z = 0

(3.51)

Lời giải của phương trình này là:

Z = B cosh kz + D sinh kz

(3.52)

Với B và D là các hằng số.

Như vậy:

Φ = (B cosh kz + D sinh kz ) cos(kx − ω t )

(3.53)

Điều kiện biên được thỏa mãn bởi (3.53) là:

∂Φ

= 0 tại

∂z



z = −h



1 ⎛ ∂Φ ⎞

⎟ tại z = 0

g ⎝ ∂t ⎠



ζ =− ⎜



Dùng (3.54), ta có B cosh kh − D sinh kh = 0 . Như vậy:

D = B tanh kh

(3.56)

Dùng (3.55), ta có:

29



(3.54)

(3.55)



ζ =−



Bω

sin (kx − ωt )

g



(3.57)



Bω

g



(3.58)



Định nghĩa:

a=−



với a là biên độ sóng. Như vậy:

ζ = a sin (kx − ωt )

Kết quả là:

Φ=



(3.59)



ag cosh k ( z + h )

cos(kx − ωt )

ω

cosh kh



(3.60)



Áp suất dưới sóng được xác định như sau:

p = −ρ



∂Φ

cosh k ( z + h )

− ρgz = − ρag

sin (kx − ωt ) − ρgz

∂t

cosh kh



(3.61)



Bằng cách tương tự, ta có thể có được ba dạng lời giải của p bằng cách dùng tích

các nghiệm thích hợp.

Nếu như sóng tiến lan truyền từ − ∞ tới ∞ theo một góc θ với trục x thì dạng

của Φ và ζ nhất định phải được biến đổi để có:

Φ=



ag cosh k ( z + h )

cos(kx cosθ + ky sin θ − ωt )

ω

cosh kh

ζ = a sin (kx cos θ + ky sin θ − ωt )



(3.62)

(3.63)



3.3 Mối liên hệ phân tán của chuyển động sóng

Bằng cách phối hợp điều kiện biên động học (phương trình 3.23) và điều kiện

biên động lực (phương trình 3.24), điều kiện sau có thể được rút ra:

∂ 2Φ

∂t



2



+g



∂Φ

= 0 tại z = 0

∂z



(3.64)



Hãy xem xét một sóng tiến theo hướng x với thế vận tốc được cho bởi:

Φ=



ag cosh k ( z + h )

cos(kx − ωt )

ω

cosh kh



(3.65)



ta có:

∂ 2Φ

cosh k ( z + h )

= − agω

cos(kx − ωt )

2

cosh kh

∂t

g



∂Φ ag 2 k sinh k ( z + h )

=

cos(kx − ωt )

∂z

ω

cosh kh



Thế các giá trị này vào (3.64) tại z = 0 cho ta:

ω 2 = gk tanh kh

(3.66)

Mối liên hệ này được gọi là mối liên hệ phân tán tuyến tính, bởi vì nó được rút ra

dựa trên sự tuyến tính hóa các điều kiện biên bề mặt. Thông thường, để thuận tiện nó

được gọi một cách đơn giản là mối liên hệ phân tán. Một công thức giống hệt như

30



(3.66) cũng có thể tìm được đối với một sóng lan truyền theo hướng ngược với hướng

của trục x.

Bởi vì ω = kc , phương trình (3.66) có thể được viết thành:

c2 =



g

tanh kh

k



(3.67)



Phương trình (3.67) biểu thị tốc độ lan truyền của sóng bề mặt như là hàm của độ

sâu h và bước sóng L. Để tìm được bước sóng, mối liên hệ phân tán (3.66) có thể được

viết lại như sau:

gT 2

⎛ 2πh ⎞

(3.68)

tanh ⎜

L=

⎟

2π

⎝ L ⎠

Với một độ sâu h và chu kỳ sóng T cho trước, bước sóng L có thể được xác định

từ (3.68) bằng thuật toán thử và hiệu chỉnh. Phương trình (3.66), (3.67) và (3.68) được

gọi là mối liên hệ phân tán của sóng nước.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về việc phân loại sóng nước. Sóng

nước được phân thành ba loại chính căn cứ vào độ sâu tương đối của biển, được định

nghĩa là tỷ số h/L, trong đó h là độ sâu của biển còn L là bước sóng. Nếu độ sâu tương

đối là nhỏ hơn 1/20 (hay kh ≤ 1 / 3 ) thì độ sâu được xem là nhỏ so với bước sóng và

sóng được gọi là sóng nước nông (hay sóng dài). Nếu tỷ số lớn hơn 1/2 (hay kh ≥ 3 ),

sóng được gọi là sóng nước sâu (hay sóng ngắn). Khi mà 1 / 20 < h / L < 1 / 2 (hay

1 / 3 < kh < 3 ), sóng được gọi là sóng tại độ sâu trung gian và nói chung là trong điều

kiện này các phương trình truyền sóng là không đơn giản. Tuy nhiên, trong đa số

trường hợp, sóng có thể xem hoặc là sóng nước nông hoặc là sóng nước sâu.

Đối với trường hợp sóng nước sâu hoặc là sóng nước nông, ta có thể đơn giản

hóa mối liên hệ phân tán (3.66), (3.67) và (3.68).

Với sóng nước nông, ta có thể xấp xỉ tanh kh = kh và như vậy mối liên hệ phân

tán (3.67) trở nên đơn giản hơn:

c 2 = gh

(3.69)

Phương trình này chính là phương trình truyền sóng triều hay sóng nước dâng.

Trong trường hợp này, vận tốc pha của sóng trở nên không phụ thuộc vào bước sóng

(hay nói cách khác là số sóng hay chu kỳ sóng).

Đối với sóng nước sâu, ta có thể xấp xỉ tanh kh = 1, và như vậy mối liên hệ phân

tán (3.67) và (3.68) có thể biểu thị như sau:

c2 =



gL

gT 2

hoặc L =

2π

2π



(3.70)



Như vậy, vận tốc pha và bước sóng không phụ thuộc vào độ sâu. Khi g = 9.81

m/s , thì:

L = 1.56T 2

(3.71)

Ở đây đơn vị của L là m.

2



31