2 Mụ t súng giú bng ph

Eζζ ( f )



Hình 6.5 Phác thảo mật độ phổ variance



Để làm rõ hơn khái niệm này, ta hãy xem xét biến đổi thời gian của mặt nước đối

với MSL tại một điểm cố định {ζ (t )} khi có sóng gió. Variance của mặt nước được

viết là var ζ hay σ ζ2 . Mật độ phổ variance liên quan với biến đổi này được viết là

S ( f ) , trong đó f là tần số của một thành phần phổ, hay là số các dao động trong một



đơn vị thời gian (trong hệ đơn vị SI: [f] = 1 Hz). Mật độ phổ được định nghĩa sao cho

việc tích phân trên một khoảng tần số nào đó, thí dụ từ fa tới fb (xem hình 6.5) là bằng

với sự đóng góp của các thành phần phổ có tần số nằm trong khoảng trên vào variance

tổng cộng σ ζ2 :

fb



∫ S ( f )df



= Δ[var ζ ]a ,b



(6.28)



fa



Nếu ta tích phân theo tất cả các tần số từ 0 tới ∞ , ta sẽ có variance tổng cộng:

∞



∫ S ( f )df



= var ζ = σ ζ2



(6.29)



0



Mặt khác, nếu khoảng tần số có một dải rất hẹp với chiều rộng Δf (xem hình

6.5), phương trình 6.28 trở thành:

S ( f )Δf = Δ[var ζ ]

(6.30)

hay

Δ[var ζ ]

(6.31)

S( f ) =

Δf



79



Các phương trình này cho ta ý nghĩa của S ( f ) : nó chỉ ra rằng variance (hay

năng lượng) tổng cộng phân bố theo tần số của các thành phần phổ như thế nào.

Phương trình 6.62 chỉ ra rằng S ( f ) có nghĩa của variance trên một đơn vị tần số.

Trong hệ SI, đơn vị của nó là m2/Hz. Điều này giải thích ý nghĩa của tên hàm là mật

độ phổ variance. Tập hợp các giá trị của mật độ phổ của tất cả các tần số là mật độ phổ

variance, hay thường được gọi một cách đơn giản là phổ variance hay phổ năng

lượng.

Phổ variance trong một mức độ đáng kể có thể được đặc trưng bằng một dãy các

moment phổ, định nghĩa như sau

∞



mn = ∫ f n S ( f )df



(n = 0, 1, etc.)



(6.32)



0



Moment bậc không ( m0 ) chỉ là diện tích phía dưới đường cong phổ, hay là

variance của quá trình (xem phương trình 6.29). Ký hiệu này của variance thường

được dùng để nhấn mạnh mối liên hệ của nó với phổ. Tỷ số m1 / m0 biểu thị khoảng

cách từ “tâm trọng lực” của phổ tới đường f = 0. Nói cách khác, theo một số nghĩa thì

nó diễn tả một tần số trung bình. Điều này cũng đúng cho đại lượng (m2 / m0 )1 / 2 (“bán

kính hồi chuyển” của phổ đối với đường f = 0). Sự khác nhau giữa hai đại lượng này là

thước đo chiều rộng của phổ.

Trong thực tế, phổ năng lượng hay là phổ variance được tính từ một chuỗi số liệu

mực nước đo đạc được trong khoảng T bằng cách khai triển các tín hiệu ghi được (với

một giá trị trung bình bằng không) thành một chuỗi Fourier, tức là một chuỗi với với

các hàm sine hay cosine phù hợp với số nguyên thời gian của khoảng thời gian ghi

nhớ T, và vì vậy các tần số rời rạc có thể được xem là bội số của các tần số (điều hoà)

cơ bản 1/T:

η (t ) = ∑ a n cos(2π f n t + α n )



(6.33)



n



trong đó:

f n = nf 1 = n / T for n = 1, 2, ….



(6.34)



Chú ý rằng các tần số rờ rạc fn là đồng khoảng cách vì rằng Δf n ≡ f n+1 − f n = 1 / T ,

đọc lập với n.

Có thể chứng minh rằng trung bình bình phương của (6.33) là:



80



N

1 2

E { 2 (t )} = ∑ an

η

n =1 2



(6.35)



Đây là một giá trị ước tính của quá trình mà số liệu được lấy mẫu. Vì vậy, đại

lượng



(1 / 2)an2 là phần đóng góp của thành phần phổ với tần số



f n tới giá trị ước



tính của variance. Tập hợp của các giá trị này, được coi như là một hàm của các tần số

rời rạc f n cho ta giá trị xấp xỉ của mật độ phổ variance liên tục. Mối liên hệ giữa hai

đại lượng có thể được biểu thị bằng

1 2

an = S ( f n )Δf n

2



(6.36)



Eζζ ( f )



Hình 6.6 Chuỗi số liệu mực nước và phổ variance tương ứng (Battjes,

1984)

2

Thực ra, vì những sai số lấy mẫu trong 1 / 2a n (ước tính từ chỉ một thể hiện), đây



không phải là một phương pháp đáng tin cậy để ước tính S ( f ) . Cần phải lấy trung

2

bình trên một tập hợp các giá trị 1 / 2a n để có được một đánh giá đủ tin cậy. Tuy nhiên,



chúng ta sẽ không nghiên cứu thêm về vấn đề này ở giáo trình này.

Hình 6.6 cho ta một thí dụ về một chuỗi số liệu ngắn của mực nước và một phổ

81



mật độ variance ước tính tương ứng, chú ý tới tỷ lệ vẽ phổ. Để kiểm tra sơ bộ các số

và diễn giải ý nghĩa của phổ, chúng ta có thể xấp xỉ đường cong phổ bằng một tam

giác với giá trị trên đỉnh bằng 20m2/Hz và giá trị dưới đáy bằng 0.1Hz. Từ đó, chúng

ta có thể ước tính được diện tích phía dưới đường cong (variance) là

1/2X(20m2/Hz )X(0.1 Hz)=1m2, tương ứng với độ lệch tiêu chuẩn là 1m. Giá trị này

tương đối phù hợp với ghi chép sóng.

Chú ý rằng phổ variance hay năng lượng không cho biết gì về pha của các thành

phần phổ. Vì vậy, không thể dùng phổ này để tạo ra bản ghi chép mà ta đã dùng nó để

xác định phổ. Ngược lại, bằng cách dùng các tập hợp pha khác nhau, ta có thể tạo ra

các thể hiện khác nhau mà tất cả chúng đều có phổ variance (hay năng lượng) giống

hệt nhau. Điều này cho ta manh mối để xây dựng các mô hình xác suất sóng mà ta sẽ

mô tả dưới đây.

6.2.2 Chiều rộng của phổ và dạng phổ

a) Chiều rộng phổ

Nói chung, dạng của phổ tần số sóng phụ thuộc vào các điều kiện tạo sóng

bên ngoài (tốc độ gió, đà gió, thời gian tác động của gió, độ sâu nước, sự tồn tại của

sóng lừng, giai đoạn của bão) cũng như các cơ chế nội tại (tương tác phi tuyến giữa

các sóng thành phần, tiêu tán năng lượng do sóng vỡ hay ma sát đáy). Tuy nhiên, dạng

của phổ không phải là tuỳ ý và một số đặc tính cơ bản của phân bố năng lượng được

áp dụng cho tất cả các phổ.

Bởi vì sẽ là rất thuận lợi nếu như ta xử lý các phổ tần số bằng cách dùng tần số

góc ω ( = 2π / T = 2πf , rad/s) thay cho tần số f (Hz). Trong phần này, tần số góc cũng

được gọi vắn tắt là tần số. Khi dùng ω , chúng ta không nên nhầm lẫn với tần số f.

Năng lượng của phổ sóng đạt giá trị cực đại tại ω = ω p , và giảm dần với cả

các tần số lớn hơn và nhỏ hơn. Thông thường, tốc độ giảm tại khoảng tần số thấp là

nhanh hơn tại khoảng tần số cao. Tần số ω p mà tại đó năng lượng của phổ sóng đạt

giá trị cực đại được gọi là tần số đỉnh. Tần số thấp nhất của sóng trọng lực do gió gây

ra được ước tính là xấp xỉ 0.03 Hz (0.2 rad/s). Năng lượng tại các tần số thấp hơn giá

trị này sóng đập, seiches hay thuỷ triều.

Tần số cao nhất của sóng trọng lực do gió gây ra tương ứng với vận tốc pha nhỏ

nhất là 23 cm/s tại bước sóng nhỏ nhất là 1.7 cm (trong nước sạch ở 20oC). Như vậy,

tần số cao nhất là 13.6 Hz (85 rad/s). Lực cản do sức căng mặt ngoài không cho phép

tạo ra sóng có các tần số cao hơn. Các tần số giới hạn này được cho bởi các xấp xỉ lý

thuyết. Trong thực tế chúng ta chỉ sử dụng một dải tần số cho sóng trọng lực gây bởi

gió hẹp hơn nhiều.

Hơn nữa, phổ thường là có quy luật, thí dụ như có vùng quy luật hàm mũ mà

82



S (ω ) ~ ω − n với một số mũ n nào đó. Một thí dụ hay của tính quy luật đó được cho bởi



khoảng bão hoà (hay khoảng cân bằng) trong phổ sóng, khi mà phổ phụ thuộc vào tần

số theo quy luật ω −5 (hay ω −4 ). Khoảng bão hòa này biểu thị sự cân bằng giữa năng

lượng mất mát do sóng vỡ và năng lượng sóng nhận được từ gió.

Một loạt các hàm mũ đã được đề nghị để có thể bao hàm phần dễ thay đổi

nhất của phổ. Các phổ khác nhau này thường là kết quả phân tích các chuỗi thời gian

thu được từ các thí nghiệm với các điều kiện tạo sóng khác nhau.

Phổ cho ta một mô tả hoàn chỉnh về sóng đại dương chỉ khi mà nó được coi là

chồng chất tuyến tính của rất nhiều thành phần hình sin cơ bản. Tuy nhiên, đặc biệt là

trong nước nông, sóng đại dương luôn cho ta thấy một đỉnh nhọn hơn và một bụng

nông hơn, gây ra do các thành phần điều hoà được tạo thành và sự tương tác của

chúng. Sự hiện diện của các thành phần điều hoà có thể thấy trong phổ sóng đại

dương như là các đỉnh thêm vào trong khoảng tần số cao. Thông tin này không đủ để

cho thấy các phối hợp của tần số tương tác tạo ra các đỉnh đó. Để tạo ra một “bản đồ”

của các tần số tương tác, cần phải áp dụng phép phân tích phổ bậc cao hơn.

Do tính phức tạp của việc truyền năng lượng từ khí quyển vào đại dương, sóng

bề mặt là đa hướng. Chỉ có một phần năng lượng sóng là lan truyền theo hướng gió.

Bởi vì có sự giới hạn của các phương pháp quan trắc, kiến thức về phân bố hướng là

khá nghèo nàn so với kiến thức về phổ tần số. Trong phần này ta sẽ xem lại các diễn

giải hiện tại về phổ hướng của sóng đại dương, gọi là mô hình mũ cosine, mô hình

Gauss bọc xung quanh, mô hình von Mises, mô hình dạng hyperbolic, và mô hình trải

hai đỉnh .



Thời gian



83



Tần số



Hình 6.7 Hàm tự tương quan K (τ ) và hàm mật độ phổ S (ω ) .



Hình 6.7 chỉ ra một hàm phổ tần số sóng điển hình và một hàm tự tương quan

tương ứng. Hàm tự tương quan đã được chuẩn hoá K (τ ) / σ ζ2 bắt đầu bằng 1 tại τ = 0.

Với tất cả các quá trình, K (τ ) → 0 khi mà τ → ∞ , và thời gian tắt đặc trưng cho tính

chất này được gọi là quy mô tương quan. Thí dụ như một quá trình Markov có một

hàm tự tương quan dạng:

⎛ τ ⎞

K (τ ) = K 0 exp⎜ − ⎟

⎜ τ ⎟

⎝ 0⎠



(6.37)



trong đó τ 0 được gọi là quy mô tương quan. Như vậy,



τ = τ 0 khi



K (τ 0 ) = e −1 ≈ 0.368 .



Dùng định nghĩa của quy mô tương quan, ta có thể nhận ra rằng trong trường

hợp của chúng ta τ 0 ≈ 7s. Trong trườnghợp này, hàm tự tương quan K (τ ) của một tín

hiệu cosin có pha ngẫu nhiên được cho bởi:

⎛ 2πτ

K (τ )

= cos(ω 0τ ) = cos⎜

⎜ T

K0

⎝ 0



⎞

⎟

⎟

⎠



(6.38)



trong đó T0 là chu kỳ của tín hiệu. Hàm K (τ ) biến mất với τ 1 = T0 / 4 . Giả thiết rằng

phần lớn năng lượng sóng được tập trung xung quanh tần số đỉnh ω p = 2π / T0 thì sẽ

84



là rất tự nhiên nếu ta liên kết điểm cắt đường không đầu tiên của hàm K (τ ) tại τ = τ 1

với chu kỳ thống trị của quá trình. Như vậy, tần số đỉnh ω p = 2π / 4τ 1 .

Trong hình 6.7, τ 1 ≈ 1.7 s, tương ứng với chu kỳ đỉnh ω p = 2π / (4 × 1.7 ) = 0.92

rad/s. Nhìn nhanh hình 6.7 ta có thể thấy rằng phổ trong hình có một đỉnh tại ω p =

0.85 rad/s, gần với giá trị xấp xỉ là 0.92 rad/s.

Hàm S (ω ) biểu thị một phân bố của năng lượng sóng trong miền tần số. Vì vậy,

tương tự với S ( f ) , moment tần số mr được định nghĩa là:

∞



mr = ∫ ω r S (ω )dω



(6.39)



0



Một số moment đầu tiên là đặc biệt quan trọng đối với việc mô tả phổ của sóng

đại dương. Moment đầu tiên xác định tần số sóng trung bình ω và chu kỳ trung bình

T , tức là:

m

m

2π

T =

ω= 1

and

= 2π 0

(6.40)

m0

m1

ω

~

Cũng như các moment mr , các moment phổ trung tâm mr cũng được dùng tới.

Chúng được định nghĩa là:

∞



r

~

mr = ∫ (ω − ω ) S (ω )dω



(6.41)



0



Vì vậy:

~

m0 = m0 ,



~

m1 = m1 − ω m0 = 0 ,



2



m

~

m2 = m2 − 1

m0



(6.42)



~

Momen trung tâm m2 là một thước đo mức độ tập trung của năng lượng phổ

sóng xung quanh tần số ω .

~

Khi mà chúng ta chuẩn hoá m2 trong phương trình (6.42) bằng tích (ω 2 m0 ) , ta



có được một thông số không thứ nguyên ν 2 như sau:



Sự dịch chuyển bề mặt



ν2 =



~

mm

m2

= 0 2 2 −1

2

m1

ω m0



85



(6.43)



Sự dịch chuyển bề mặt



Hình 6.8: Biến trình thời gian của dao động mực nước: a) phổ hẹp và b) phổ

rộng.

Thông số ν 2 là một đại lượng bậc thấp và thuận tiện để đo chiều rộng phổ.

Phương trình (6.43) chỉ ra một cách rõ ràng rằng khi mà tất cả năng lượng sóng tập

trung vào một tần số ω = ω , ta có ν 2 → 0 . Khi mà năng lượng sóng phân bố rộng rãi

quanh các tần số, ν 2 tăng lên. Trong các cơn bão điển hình, thông số chiều rộng phổ

ν xấp xỉ bằng 0.3.

Các profile sóng điển hình tương ứng với các phổ rộng và phổ hẹp được chỉ ra

trong hình 6.8. Ta có thể thấy rằng các sóng của một phổ hẹp gần như có tần số giống

nhau nhưng biên độ biến đổi. Các đường bao trên và dưới trùng lặp một cách chính

xác với đỉnh và bụng, và tạo ra một cặp các đường cong đối xứng đối với một giá trị

trung bình. Trong trường hợp như vậy, dịch chuyển dương và âm của mặt sóng là

bằng nhau, và bằng với biên độ sóng. Đối với phổ rộng, hiện diện các sóng có nhiều

tần số và chúng cưỡi lên nhau tạo ra những cực đại địa phương thấp hơn mực nước

biển trung bình.

b) Dạng phổ

Sự phát triển của sóng dưới tác động của gió không phải là vô hạn. Năng

lượng mà gió truyền cho sóng được cân bằng bởi tương tác của các sóng, truyền năng

lượng từ một dải cho trước tới các dải khác, và bởi tiêu tán năng lượng. Tại nước sâu,

quá trình tiêu tán năng lượng thường được xảy ra dưới dạng sóng bạc đầu với quy mô

nhỏ hơn bước sóng. Sóng bạc đầu xảy ra khi mà hai đỉnh sóng chồng lên nhau hay

một sóng ngắn cưỡi lên một sóng dài.

Một dạng giới hạn sóng phát triển khác liên quan với việc tạo thành những

sóng mao dẫn ngay trước đỉnh nhọn của các sóng chính. Các sóng mao dẫn này lấy

năng lượng của các sóng chính nhờ có độ cong của bề mặt cao (Phillips, 1977).

Chúng ta cũng cần chú ý rằng dòng chảy gió cũng làm cho sóng vỡ tại một biên độ

86



nhỏ hơn nhiều. Sóng vỡ tại nước nông tạo ra một giới hạn trên cho việc phát triển của

sóng bằng cách lấy năng lượng sóng tại một điều kiện tới hạn.

Việc xảy ra của bất cứ một cơ chế nào như thế là một chỉ số của trạng thái bão

hoà của các thành phần sóng, trong đó đạt được cân bằng giữa năng lượng do gió

cung cấp và năng lượng mất mát do tiêu tán. Như vậy, khoảng bão hoà có thể được mô

tả một cách rõ ràng nhờ các thông số vật lý địa phương cho biết hình thái sóng tới hạn,

thí dụ như gia tốc trọng trường, (g), vận tốc ma sát gió trên bề mặt sóng ( u* ), và tần số

địa phương ( ω ). Phillips (1958), dùng các lý luận thứ nguyên đã tìm ra rằng:

⎛ ωu ⎞

S (ω ) = f ⎜ * ⎟ g 2ω −5

(6.44)

⎟

⎜

⎝ g ⎠



Khi mà dòng chảy mặt là không quan trọng, tức là khi mà ωu* / g << 2 , phương

trình 6.44 cho ta

S (ω ) = αg 2ω −5 ,



⎛

2g ⎞

⎜ ω p << ω << 2 ⎟

⎜

u* ⎟

⎝

⎠



(6.45)



trong đó α là một hằng số (α = 1.23 × 10 −2 ).

6.2.3 Các phổ tần số điển hình

Các phổ mà ta thảo luận cho tới nay chỉ giới hạn trong điều kiện bão hoà, khi mà

ω > ω p . Để có thể bao hàm phần quan trọng nhất của phổ, một loạt các hàm đã được



đề nghị. Một dạng chung của các hàm mật độ phổ là:

S (ω ) = Aω − p exp(− Bω − q )

(6.46)

trong đó A, B, p and q là các thông số tự do. Vậy, các moment phổ định nghĩa bởi

phương trình (6.41) trở thành:



trong đó Γ(



) là hàm gamma.



⎛ 1 ⎞ ⎛ p − r −1⎞

⎟

mr = AB (r − p+1) / q ⎜ ⎟Γ⎜

⎟

⎜q⎟ ⎜

q

⎠

⎝ ⎠ ⎝



(6.47)



Phổ Pierson- Moskowitz

Có thể là phổ phổ biến nhất trong số các phổ được đề nghị là phổ Pierson và

Moskowitz (1964). Các ông dùng các số liệu quan trắc hiện trường và các phát kiến lý

thuyết của Phillips (1958) và Kitaigorodskii (1962) đã chỉ ra rằng:

⎡ ⎛ g ⎞4 ⎤

S (ω ) = αg ω exp ⎢− B⎜

⎟ ⎥

⎢ ⎝ ωU ⎠ ⎥

⎦

⎣

2



−5



(6.48)



với α = 8.1 × 10 −3 , B = 0.74 và U là vận tốc gió tại độ cao 19.5 m trên bề mặt biển.

Dạng của phổ sóng được điều khiển bởi một tham số duy nhất - vận tốc gió U. Phổ

trong phương trình (6.48) được đề nghị cho biển đã phát triển hoàn toàn, khi mà vận

87



tốc pha bằng vận tốc gió. Phổ thực nghiệm đề nghị bởi Pierson và Moskowitz cho ta:

Uω p

Uω p Uf p

= const = 0.879 and

=

= 0.13

(6.49)

g

2πg

g

với f p = ω p / 2π . Sau khi thế vào phương trình (6.48) ta có:

⎡ 5 ⎛ ω ⎞ −4 ⎤

⎟ ⎥

S (ω ) = αg ω exp ⎢− ⎜

⎢ 4 ⎜ωp ⎟ ⎥

⎠ ⎦

⎝

⎣

−5



2



(6.50)



Có một số vấn đề toán học khi ta tính các moment thứ tư của phổ bằng cách

dùng phương trình (6.50). Về mặt vật lý, moment này biểu thị gia tốc bình phương

trung bình đo được tại một điểm Eulerian là không bị giới hạn. Để khắc phục nhược

điểm này, ta thường cắt bỏ một phần tần số, tức là

ωc



m4 = ∫ S (ω )dω



(6.51)



0



trong đó ω c = nω p và n được lấy là n>3.

Chúng ta cần chú ý rằng phổ Pierson-Moskowitz không nhất thiết tương ứng

với sóng phát triển hoàn toàn. Trong thực tế, Hasselmann và những người khác

(1976) sau khi đã kiểm tra rất kỹ phổ thực nghiệm của Pierson-Moskowitz, đã tìm ra

rằng chỉ có một phần của các phổ này là tương ứng với sóng phát triển hoàn toàn.

Phổ Bretschneider-Mitsuyasu

Mitsuyasu (1970) dùng các số liệu quan trắc để hiệu chỉnh các hệ số trong các

công thức do Bretschneider (1968) đề nghị và thấy rằng phổ của sóng gió phát triển

hoàn toàn được cho bởi:



[



4

S (ω ) = 2517 H12/ 3T1−3 ω −5 exp − 1605(T1/ 3ω )

/



−4



]



(6.52)



Hình 6.9 cho ta sự so sánh giữa phổ Bretschneider-Mitsuyasu và phổ quan trắc

với trường hợp H1/ 3 = 3.3 m, T1/ 3 = 8.0 s, H = 2.1 m, T = 6.6 s. Hình vẽ cho thấy rằng

năng lượng sóng trải trong khoảng f = 0.05 ~ 0.4 Hz, hay là tương ứng với T = 2.5 ~

20 s, cho dù rằng chu kỳ của sóng có nghĩa là 8 s. Hình vẽ còn cho ta thấy rằng năng

lượng sóng tập trung vào quanh tần số f p ≅ 0.11 Hz, mà nó thường là nhỏ hơn tần số

f = 0.125 Hz tương ứng với chu kỳ sóng có nghĩa. Đường đứt gẫy là kết quả của việc

đưa các giá trị của độ cao và chu kỳ sóng có nghĩa xác định từ ghi chép vào phương

trình (6.52). Tuy rằng một số khác biệt có thể thấy được giữa phổ tính toán và phổ

quan trắc (một phần vì hiệu ứng nước nông trong chuỗi số liệu sóng đã được hiệu

88



chỉnh với độ sâu đặt máy là 11m), phổ tiêu chuẩn mô tả phổ thực khá tốt.

sóng có nghĩa

sóng chính



Mật độ phổ



Quan trắc

Phổ chuẩn



Tần số



Hình 6.9 So sánh giữa phổ Bretschneider-Mitsuyasu và phổ quan trắc

Phổ JONSWAP và những biến thể của nó

Phổ JONSWAP phát triển phổ Pierson-Moskowitz để có thể bao hàm sóng có

đà giới hạn. Phổ này được phát triển nhờ sử dụng các số liệu từ một chương trình quan

trắc rất quy mô (Joint North Sea Wave Project) tiến hành trong các năm 1968 và 1969

tại biển Bắc. Phổ JONSWAP, sau khi được công bố vào năm 1973, gần như được

công nhận ngay và trở thành rất nổi tiếng trên trường quốc tế. Mô hình phổ kết quả có

dạng (Hasselmann và những người khác, 1973):

⎡ 5 ⎛ ω ⎞ −4 ⎤

⎟ ⎥γ δ ,

S (ω ) = αg ω exp ⎢− ⎜

4 ⎜ωp ⎟ ⎥

⎢

⎠ ⎦

⎝

⎣

2



−5



(6.53)



trong đó:

⎡



δ = exp ⎢−

⎢

⎣



(ω − ω )⎤

p



2 2 ⎥

2σ 0 ω p ⎥

⎦



(6.54)



Phổ (6.53) chứa 5 thông số, tức là α , γ , ω p và σ 0 = σ 0' với ω ≤ ω p , và

"

σ 0 = σ 0' với ω > ω p cần phải biết trước. Thông số γ δ là một thông số tăng cường đỉnh



được đưa vào trong phổ Pierson-Moskowitz để diễn tả một phổ có đỉnh nhọn hơn, đặc

trưng cho sóng đang phát triển. Thông số γ mô tả mức độ của đỉnh và thông số σ 0

mô tả chiều rộng của miền đỉnh.

89