3 Mi liờn h phõn tỏn ca chuyn ng súng

(3.66) cũng có thể tìm được đối với một sóng lan truyền theo hướng ngược với hướng

của trục x.

Bởi vì ω = kc , phương trình (3.66) có thể được viết thành:

c2 =



g

tanh kh

k



(3.67)



Phương trình (3.67) biểu thị tốc độ lan truyền của sóng bề mặt như là hàm của độ

sâu h và bước sóng L. Để tìm được bước sóng, mối liên hệ phân tán (3.66) có thể được

viết lại như sau:

gT 2

⎛ 2πh ⎞

(3.68)

tanh ⎜

L=

⎟

2π

⎝ L ⎠

Với một độ sâu h và chu kỳ sóng T cho trước, bước sóng L có thể được xác định

từ (3.68) bằng thuật toán thử và hiệu chỉnh. Phương trình (3.66), (3.67) và (3.68) được

gọi là mối liên hệ phân tán của sóng nước.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về việc phân loại sóng nước. Sóng

nước được phân thành ba loại chính căn cứ vào độ sâu tương đối của biển, được định

nghĩa là tỷ số h/L, trong đó h là độ sâu của biển còn L là bước sóng. Nếu độ sâu tương

đối là nhỏ hơn 1/20 (hay kh ≤ 1 / 3 ) thì độ sâu được xem là nhỏ so với bước sóng và

sóng được gọi là sóng nước nông (hay sóng dài). Nếu tỷ số lớn hơn 1/2 (hay kh ≥ 3 ),

sóng được gọi là sóng nước sâu (hay sóng ngắn). Khi mà 1 / 20 < h / L < 1 / 2 (hay

1 / 3 < kh < 3 ), sóng được gọi là sóng tại độ sâu trung gian và nói chung là trong điều

kiện này các phương trình truyền sóng là không đơn giản. Tuy nhiên, trong đa số

trường hợp, sóng có thể xem hoặc là sóng nước nông hoặc là sóng nước sâu.

Đối với trường hợp sóng nước sâu hoặc là sóng nước nông, ta có thể đơn giản

hóa mối liên hệ phân tán (3.66), (3.67) và (3.68).

Với sóng nước nông, ta có thể xấp xỉ tanh kh = kh và như vậy mối liên hệ phân

tán (3.67) trở nên đơn giản hơn:

c 2 = gh

(3.69)

Phương trình này chính là phương trình truyền sóng triều hay sóng nước dâng.

Trong trường hợp này, vận tốc pha của sóng trở nên không phụ thuộc vào bước sóng

(hay nói cách khác là số sóng hay chu kỳ sóng).

Đối với sóng nước sâu, ta có thể xấp xỉ tanh kh = 1, và như vậy mối liên hệ phân

tán (3.67) và (3.68) có thể biểu thị như sau:

c2 =



gL

gT 2

hoặc L =

2π

2π



(3.70)



Như vậy, vận tốc pha và bước sóng không phụ thuộc vào độ sâu. Khi g = 9.81

m/s , thì:

L = 1.56T 2

(3.71)

Ở đây đơn vị của L là m.

2



31



3.4 Chuyển động của hạt nước và áp suất

Như đã thấy, thế vận tốc của sóng có biên độ nhỏ truyền theo hướng trục x là:

Φ=



ag cosh k ( z + h )

cos(kx − ωt )

ω

cosh kh



Dùng định nghĩa của các thành phần vận tốc của hạt lỏng chúng ta có thể tìm ra

biểu thức của các thành phần vận tốc theo phương nằm ngang và thẳng đứng như sau:

dx

∂Φ

agk cosh k ( z + h )

=−

=u=

sin (kx − ωt )

dt

∂x

ω

cosh kh



dz

∂Φ

agk sinh k (z + h )

=−

=w=

cos(kx − ωt )

dt

∂z

ω

cosh kh



(3.72)

(3.73)



Hướng truyền sóng tiến



Hình 3.2. Biến thiên của vận tốc hạt lỏng theo độ sâu.

Các phương trình này biểu thị các thành phần vận tốc do sóng gây ra tại một

độ sâu z bất kỳ. Tại một độ sâu cho trước vận tốc dòng chảy là tuần hoàn cả theo x và

t. Với một góc pha cho trước, α = kx − ωt , hàm hyperbolic của z tạo nên sự suy giảm

vận tốc theo quy luật mũ từ mặt tới đáy.

Các số liệu thực nghiệm cho thấy tại z = - L/2 vận tốc trở nên bé tới mức có thể

bỏ qua, và bên dưới độ sâu này trên thực tế là không có chuyển động (hình 3.2).

Gia tốc địa phương dễ dàng tìm được từ (3.72) và (3.73) và có thể biểu thị như

sau

∂u

cosh k ( z + h )

= agk

cos(kx − ωt )

∂t

cosh kh



và



(3.74)



∂w

sinh k ( z + h )

= − agk

sin (kx − ωt )

∂t

cosh kh



(3.75)



Dịch chuyển theo phương thẳng đứng của hạt lỏng không thể lớn hơn biên độ

sóng a. Vì vậy, ta giả thiết rằng dịch chuyển thẳng đứng của mỗi hạt lỏng từ vị trí trung

bình của nó là nhỏ. Ta có thể tính dịch chuyển thẳng đứng và nằm ngang của hạt lỏng

này từ vị trí trung bình của nó bằng cách dùng mối liên hệ:

x = ξ = dịch chuyển nằm ngang của hạt lỏng từ vị trí trung bình.

32



agk cosh k (z + h )

sin (kx − ωt )dt

ω

cosh kh ∫

agk cosh k ( z + h )

=− 2

cos(kx − ωt )

cosh kh

ω

= ∫ udt = −



(3.76)



và:

z = η = dịch chuyển thẳng đứng của hạt lỏng từ vị trí trung bình.

agk sinh k ( z + h )

cos(kx − ωt )dt

ω

cosh kh ∫

agk sinh k ( z + h )

= 2

sin (kx − ωt )

cosh kh

ω

= ∫ wdt = −



(3.77)



Bằng cách dùng mối liên hệ phân tán, ω 2 = gk tanh kh , (3.76) và (3.77) có thể

tiếp tục được đơn giản hóa để có được biểu thức sau:

ξ = −a



cosh k ( z + h )

cos(kx − ωt )

sinh kh



(3.78)



η=a



sinh k ( z + h )

sin (kx − ωt )

sinh kh



(3.79)



Cả hai phương trình này có thể được kết hợp để có:

ξ 2 η2

+

=1

α2 β2

Ở đây:



(3.80)



α =a



cosh k ( z + h )

sinh kh



(3.81)



β =a



sinh k ( z + h )

sinh kh



(3.82)



Nước nông



Nước sâu trung bình



Nước sâu



Hình 3.3. Sơ đồ quỹ đạo của hạt nước

Phương trình (3.80) diễn tả một ellipse với một nửa trục chính (nằm ngang) là a

và một nửa trục phụ (thẳng đứng) là b. Quỹ đạo của hạt lỏng nói chung là có dạng

hình ellipse. Dạng đặc biệt của quỹ đạo hạt lỏng tại nước sâu và nước nông có thể dễ

dàng biết được bằng cách xem xét các giá trị của a và b.

Đối với sóng nước nông, có thể dễ dàng thấy:



33



α=



a

ak ( z + h )

và β =

kh

kh



(3.83)



Khoảng cách dịch chuyển nằm ngang cực đại là không đổi từ mặt tới đáy đại

dương. Khoảng cách dịch chuyển cực đại theo phương thẳng đứng biến đổi từ giá trị

không tại đáy tới biên độ sóng a tại mặt nước.

Đối với sóng nước sâu, các giá trị a và b được cho bởi

α =a



e kz e kh + e − kz e − kh

e kh − e − kh



(3.84)



β =a



e kz e kh − e − kz e − kh

e kh − e −kh



(3.85)



Vậy, khi h → ∞ ta có:

α = ae kz và β = ae kz



(3.86)



Các trục chính và trục phụ có giá trị bằng nhau và như vậy quỹ đạo của hạt nước

đã biến thành hình tròn. Bán kính của các hình tròn này được cho bởi công thức ae kz ,

và như vậy suy giảm rất nhanh theo độ sâu. Trong trường hợp này khoảng cách dịch

chuyển cực đại theo phương thẳng đứng tại bề mặt cũng bằng biên độ sóng a. Hình

3.3 diễn tả phác thảo về quỹ đạo chuyển động của các hạt lỏng khi có sóng.

Trường áp suất khi có một sóng tiến có thể được xác định từ phương trình

Bernoulli được tuyến tính hóa như sau:

p



ρ



=−



∂Φ

− gz

∂t



(3.87)



Dùng thế vận tốc Φ cho một sóng tiến theo hướng trục x, phương trình (3.87)

trở thành:

p



ρ



= ag



Hay:

p = aρg



cosh k ( z + h )

sin (kx − ωt ) − gz

cosh kh



cosh k ( z + h )

sin (kx − ωt ) − ρgz

cosh kh



(3.88)



Từ biểu thức của áp suất (3.87), có thể tìm được một loạt các đại lượng vật lý

quan trọng như lực tác động của sóng và mô men.

Ký hiệu áp suất do sóng gây ra là p + , ta có:

p + = aρg



cosh k ( z + h )

sin (kx − ωt )

cosh kh



(3.89)



Tại nước sâu, phương trình (3.88) trở thành:

(kh >> 1)

p+ = aρge kz sin (kx − ωt )

(3.90)

Tại nước nông, phương trình này trở thành:

(kh << 1)

p + = aρg sin (kx − ωt ) = ρgζ

(3.91)

Đây chỉ là biểu thức đối với áp suất tĩnh, một điều kiện đã được giả thiết trước

34



đối với sóng dài.

3.5 Vận tốc nhóm và năng lượng sóng

Chúng ta hãy xem xét trường hợp một nhóm sóng được biểu thị bằng một chuỗi

vô hạn các dao động thành phần. Để đơn giản hóa, ta hãy xem hai sóng chuyển động

theo hướng trục x, có cùng biên độ và pha biểu thị bằng (kx − ωt ) . Như vậy dao động

mực nước có thể được biểu thị bằng:

ζ T = a sin (k1 x − ω1t ) + a sin (k 2 x − ω 2 t )

(3.92)

Phương trình này có thể được viết lại như sau:

⎡1

(k1 − k 2 )x − 1 (ω1 − ω2 )t ⎤ a sin ⎡ 1 (k1 + k 2 )x − 1 (ω1 + ω 2 )t ⎤

⎥

⎢2

⎥

2

2

⎣2

⎦

⎣

⎦



ζ T = 2a cos ⎢



(3.93)



Như vậy, điểm có biên độ bằng không sẽ là điểm phân chia các nhóm sóng đơn.

Có thể tìm các điểm nút này bằng cách tìm giá trị không của thành phần cosine trong

(3.93).

Bây giờ, điều kiện ζ T max = 0 cho ta:

1

(k1 − k 2 )x − 1 (ω1 − ω 2 )t = (2n + 1) π

2

2

2



Hay

xnode =



ω1 − ω 2

k1 − k 2



t+



(2n + 1)π

k1 − k 2



(3.94)



(3.95)



Bởi vì vị trí của tất cả các điểm nút là hàm của thời gian, chúng không dừng.

Tại t = 0 ta sẽ có các điểm nút tại x = [(2n + 1)π ] / (k1 − k 2 ) , n = 0, 1, 2,3,..v.v. Như vậy,

khoảng cách giữa hai điểm nút liên tiếp là:

(x2 − x1 ) = Δx = 2π = L1 L2

(3.96)

k1 − k 2



L2 − L1



Tốc độ lan truyền của các điểm nút này (và như vậy là tốc độ lan truyền của

nhóm sóng) được gọi là vận tốc nhóm và được biểu thị bằng:

dx node

ω − ω2

= cg = 1

(3.97)

dt



k1 − k 2



Ở đây c g được xác định tại giới hạn khi mà ω1 tiến tới ω 2 , tức là c g = dω / dk .

Ta biết rằng ω = ck và như vậy với bước sóng L và vận tốc pha c, phương trình

(3.97) có thể được viết như sau:

cg =



d (ck )

dc

dc dL

dc

=c+k

=c+k

=c−L

dk

dk

dL dk

dL



(3.98)



Tuy nhiên, bằng cách dùng mối liên hệ c 2 = (g / k ) tanh kh , vận tốc nhóm được

biểu thị bằng:

35



cg =



d (ck ) c ⎛

2kh ⎞

= ⎜1 +

⎟ = cn

dk

2 ⎝ sinh 2kh ⎠



(3.99)



Trong đó:

n=



1⎛

2kh ⎞

⎟

⎜1 +

2 ⎝ sinh 2kh ⎠



1

≤ n ≤1

2



(3.100)



Đối với nước sâu n ≈ 1 / 2 , và đối với nước nông n ≈ 1 . Từ đó ta có thể thấy

rằng bởi vì các sóng đơn luôn luôn lan truyền nhanh hơn nhóm sóng, chúng xuất hiện

ở điểm nút cuối của nhóm và chuyển động lên đầu của nhóm. Tại đây, áp suất tại điểm

nút buộc chúng biến mất và sau đó lại tiếp tục xuất hiện tại điểm đầu của nhóm sóng

sau.

Thí dụ 3.1

Hãy rút ra phương trình(3.99) và tìm điều kiện giới hạn cho sóng nước sâu và

sóng nước nông.

Lời giải

Chúng ta biết rằng vận tốc nhóm được cho bởi:

cg =



d (ck )

dc

=c+k

dk

dk



trong đó c = g / k (tanh kh )1 / 2 . Như vậy:

dc

⎛ 1⎞

1/ 2

= g ⎜ − ⎟k −3 / 2 (tanh kh ) +

dk

⎝ 2⎠



g 1

(tanh kh)−1 / 2 sec h 2 kh(h ) .

k 2



Như vậy:

2

dc

1 g

1 g

1/ 2

1 / 2 sec h kh

(tanh kh ) +

(tanh kh )

(kh )

k

=−

dk

2 k

2 k

tanh kh

1

1

1

1

c 2kh

.

= − c + ckh

=− c+

2

2

sinh kh cosh kh

2

2 sinh 2kh



Vì thế:

cg = c + k



dc c ⎛

2kh ⎞

= ⎜1 +

⎟ = cn ,

dk 2 ⎝ sinh 2kh ⎠



Trong đó c g là vận tốc nhóm, c là vận tốc pha và:

cg

c



=



1⎛

2kh ⎞

⎜1 +

⎟ = n,

2 ⎝ sinh 2kh ⎠



đối với độ sâu trung gian. Với nước nông kh → 0 , n = 1 , và với nước sâu,

kh → ∞ , n = 1 / 2 .

Một tính chất rất quan trọng của sóng là khả năng vận chuyển năng lượng của

chúng từ vùng này tới vùng khác. Như vậy, kiến thức về mật độ năng lượng và vận

chuyển năng lượng là rất quan trọng để hiểu sự lan truyền của sóng.

36