5 Vn tc nhúm v nng lng súng

cg =



d (ck ) c

2kh

= 1 +

= cn

dk

2 sinh 2kh



(3.99)



Trong ú:

n=



1

2kh



1 +

2 sinh 2kh



1

n 1

2



(3.100)



i vi nc sõu n 1 / 2 , v i vi nc nụng n 1 . T ú ta cú th thy

rng bi vỡ cỏc súng n luụn luụn lan truyn nhanh hn nhúm súng, chỳng xut hin

im nỳt cui ca nhúm v chuyn ng lờn u ca nhúm. Ti õy, ỏp sut ti im

nỳt buc chỳng bin mt v sau ú li tip tc xut hin ti im u ca nhúm súng

sau.

Thớ d 3.1

Hóy rỳt ra phng trỡnh(3.99) v tỡm iu kin gii hn cho súng nc sõu v

súng nc nụng.

Li gii

Chỳng ta bit rng vn tc nhúm c cho bi:

cg =



d (ck )

dc

=c+k

dk

dk



trong ú c = g / k (tanh kh )1 / 2 . Nh vy:

dc

1

1/ 2

= g k 3 / 2 (tanh kh ) +

dk

2



g 1

(tanh kh)1 / 2 sec h 2 kh(h ) .

k 2



Nh vy:

2

dc

1 g

1 g

1/ 2

1 / 2 sec h kh

(tanh kh ) +

(tanh kh )

(kh )

k

=

dk

2 k

2 k

tanh kh

1

1

1

1

c 2kh

.

= c + ckh

= c+

2

2

sinh kh cosh kh

2

2 sinh 2kh



Vỡ th:

cg = c + k



dc c

2kh

= 1 +

= cn ,

dk 2 sinh 2kh



Trong ú c g l vn tc nhúm, c l vn tc pha v:

cg

c



=



1

2kh

1 +

= n,

2 sinh 2kh



i vi sõu trung gian. Vi nc nụng kh 0 , n = 1 , v vi nc sõu,

kh , n = 1 / 2 .

Mt tớnh cht rt quan trng ca súng l kh nng vn chuyn nng lng ca

chỳng t vựng ny ti vựng khỏc. Nh vy, kin thc v mt nng lng v vn

chuyn nng lng l rt quan trng hiu s lan truyn ca súng.

36



Trong nhng phn trc, chỳng ta ó xem xột nhng thay i ca cỏc tớnh cht

ca chuyn ng súng theo ta thng ng v pha. Khi xem xột nng lng, tt hn

l xem xột trng súng mt cỏch tng quỏt hn bng cỏch a ra cỏc nh ngha v

trung bỡnh pha hay cỏc i lng c tớch phõn theo phng thng ng. iu ny

c thc hin vi mt nng lng (E) cng nh tc vn chuyn nng lng

( E f ).

Chỳng ta hóy tớnh th nng khi m cú mt súng tin trờn b mt t do. xỏc

nh i lng ny, trc ht ta hóy tỡm th nng ca súng trờn z = - h ti nhng v trớ

cú súng. Sau ú ta s ly i lng ny tr i th nng ca nc yờn tnh.



Hỡnh 3.4 Phỏc tho nh ngha ca th nng

Th nng (i vi z = - h) ca mt ct nc vi cao h + , chiu di dx v 1

n v chiu rng (xem hỡnh 3.4) l:

(PE1 ) = ( cao i vi trng tõm) ì gM



(h + ) gx

h +

(PE1 ) =

(h + )gx =

2

2

2



Nh vy, th nng trung bỡnh trờn mt n v din tớch b mt l:

PE1 =



g



t +T x + L



(h + )



2 LT



t



2



dxdt



(3.101)



x



Dựng = a sin (kx t ) , ta cú:

PE1 =



gh 2

2



+



ga 2



3.(102)



4



Th nng trong trng hp lng súng s l:

PE 2 =



g

2 LT



t +T x + L





t



2

h dxdt =

x



gh 2

2



(3.103)



Nh vy, th nng trung bỡnh do mt súng tin trờn mt t do gõy ra s l:

ga 2

(3.104)

PE = PE1 PE 2 =

4



ng nng ca mt phn t nh vi chiu di x v chiu cao z , chiu rng mt

n v chuyn ng vi cỏc thnh phn vn tc u v w (nh trờn hỡnh 3.5) c cho

37



bi cụng thc:

(KE ) =



(



)



(



)



1 2

1

u + w 2 M = u 2 + w 2 xz

2

2



(3.105)



Nh vy, ng nng trung bỡnh trờn mt n v din tớch b mt l:

KE =





2 LT



t +T x + L = 0



(u

t



x



2



)



+ w 2 dxdzdt



(3.106)



h



Hỡnh 3.5. Phỏc tho nh ngha ca ng nng

Dựng cỏc thnh phn vn tc tng ng vi súng tin = A sin (kx t ) , ta cú:

KE =



ga 2



(3.107)



4



Nh vy, nng lng ton phn l:

ga 2

E = PE + KE =



2



(3.108)



Tip theo, ta xem xột s vn chuyn nng lng qua mt mt thng ng t mt

n ỏy cú chiu rng n v v vuụng gúc vi hng súng tin (nh vy x = const).

Cỏc ht lng i ngang qua mt ny (vi vn tc u) mang theo ng nng v th nng

( (1 / 2 ) (u 2 + w 2 ) + gz trờn mt n v th tớch). Khi chỳng ct ngang mt phng ny,

ỏp sut (p) tỏc ng lờn chỳng v thc hin cụng (vi tc pu trờn mt n v din

tớch).

Nh vy tc vn chuyn nng lng qua mt n v din tớch mt ng ti x

= constant c cho bi:



(



)



1





2

2

p + 2 u + w + gz u







(3.109)



Tc vn chuyn trung bỡnh thi gian ca nng lng qua mt n v chiu

rng tớch phõn theo phng thng ng c nh ngha l:

T /2



Ef =



(



)



1





2

2

p + 2 u + w + gz udzdt



h T / 2







(3.110)



Ch gi li cỏc s hng bc hai, t phng trỡnh trờn ta cú phng trỡnh gn

ỳng sau:

38



0 T /2



Ef =



p udzdt



(3,111)



+



h T / 2



Th (3.72) v (3.89) vo (3.111) ta cú:

E f = Enc = Ec g



(3.112)



Nh vy, ta thy rng vn tc nhúm l vn tc vn chuyn nng lng.

3.6 Nng lng ca súng phc hp

Ta ó thy trờn l trong vic tớnh toỏn c hai thnh phn nng lng súng, ta ó

dựng bỡnh phng biờn dao ng ca mt t do. Ta cng ó bit rừ rng mt hm

tun hon bt k (t ) vi chu k 2T cú th biu th bng mt chui Fourier nh sau:



a

nt

nt



(3.113)

(t ) = 0 + a n cos

+ bn sin



2



n =1







T



T



T



vi iu kin l



(t )dt hu hn. õy



a n v bn ln lt l biờn ca cosine v



T



sine ca súng thnh phn th n.

Cú th d dng thy rng (3.113) cú th vit di dng s phc nh sau:

(t ) =







C e



int / T



n



n =



vi C 0 = a 0 / 2 , C n = (a n ibn ) / 2 , C n = (a n + ibn ) / 2 .



H s Fourier phc C n cú th c xỏc nh t biu thc:

T



1

int

Cn =

T (t )e dt ,

2T



n = 0,1,2,......



V nh lý Parseval cho cỏc hm iu hũa cho ta:

int





C n e T dt

(t )dt =

(t ) (t )dt =

(t )



2T

2T

2T

T

T

T

n =



int



1 T



T



= g C n

2T (t )e dt

n =

T







g



T



2



g



T



g



T







= g C n C n

n =







= g C n



2



n =



a 2 1 2

2

= g 0 + a n + bn

4 2 n =1





(



39



)



Nh vy th nng l:

a 2 1 2

2

PE = g 0 + a n + bn

4 2 n =1





(



)



S hng u tiờn ca kt qu ny rừ rng l phự hp vi (3.104) cho mt súng

tin n vi biờn a 0 (= a ) .

CU HI V BI TP



1. Lý thuyt súng tuyn tớnh cũn cú cỏc tờn gi khỏc l gỡ?

2. Trỡnh by cỏc gi thit c bn ca lý thuyt súng tuyn tớnh.

3. Cú cỏc loi iu kin biờn no c s dng trong lý thuyt súng tuyn tớnh?

4. Hóy lit kờ cỏc phng trỡnh khỏc nhau ca quan h phõn tỏn.

5. Tiờu chun phõn bit súng cỏc vựng nc khỏc nhau l nh th no?

6. Xỏc nh cụng thc gn ỳng xỏc nh cỏc biu thc sinhx, coshx v tanhx cho cỏc

giỏ tr rt nh v rt ln ca x s dng khai trin chui Taylor.

7. Nng lng súng c truyn i vi tc ca nhúm súng hay tc ca pha

súng?

8. (a) Mt on súng lan truyn vuụng gúc vo b trờn a hỡnh ỏy vi cỏc ng

ng sõu thng v song song vi nhau. Chiu di v chiu cao súng nc sõu ln

lt l 300 m v 2 m. Chiu di súng v vn tc nhúm sõu 30 m bng bao

nhiờu?

(b) Nng lng trung bỡnh trờn mt n v din tớch b mt ti vớ trớ quan tõm ú bng

bao nhiờu?

(c) Thc hin phn (a) cho trng hp cựng cỏc c tớnh súng nc sõu, nhng ng

nh súng nc sõu to thnh gúc 60 so vi cỏc ng ng sõu.

9. Quan trc cỏc chuyn ng cht im nc trong mt h súng biờn nh cho bỏn

trc ln = 0.1 m, bỏn trc nh = 0.05 m, ng vi sõu nc tng cng bng 1 m.

Cỏc s liu quan trc ny ỏp dng cho cht im nc cú v trớ trung bỡnh gia

sõu ct nc. Cỏc giỏ tr cao súng, chu k súng v bc súng bng bao

nhiờu?

10. Mt con súng lan truyn vo b cú H0 = 1 m, T = 15 s. Ti mt v trớ gn b c th

( sõu = 5 m) biu khỳc x súng biu th rng khong cỏch gia cỏc ng

trc giao (tia súng) bng mt na khong cỏch ny nc sõu.

(a) Xỏc nh cao súng v chiu di súng ti v trớ gn b.

40



(b) Gi s khụng cú khỳc x súng, nhng cỏc thụng s súng nc sõu ging nh phn

(a), v súng s v khi t s H/h t 0,8, súng v sõu no?

11. (a) Chứng minh rằng các điều kiện biên tuyến tính tại bề mặt z = , biểu thị bằng

thế vận tốc , có thể đợc viết là w = t = z và tt g t = 0

ag cosh k ( z + h )





cos(kx t )

=



cosh kh







(b) Sau đó chứng minh rằng mối liên hệ phân tán là 2 = gk tanh kh với h là độ sâu

của biển, k là số sóng (= 2 / L ) , L là bớc sóng, là tần số góc (= 2 / T ) , T là

chu kỳ sóng và g là gia tốc trọng trờng.

(c) Viết một đoạn chơng trình ngắn bằng ngôn ngữ FORTRAN để tính bớc sóng

(L) bằng cách sử dụng mối liên hệ phân tán với thuật toán lặp. Cho T = 5, 10, 15 s

và độ sâu h = 5, 10, 20 m. Vẽ đồ thị biểu diễn kết quả đạt đợc. (g = 9.81 m/s2).

12. (a) Bắt đầu bằng thế vận tốc:

=



ag cosh k ( z + h )

cos(kx t )



cosh kh



chứng minh rằng cho độ sâu trung gian, các hạt lỏng bên dới một sóng tiến

chuyển động theo những quỹ đạo ellipse kín cho bởi x 2 / 2 + z 2 / 2 = 1 , với:

=



a cosh k ( z + h )

sinh kh



và



=



a sinh k ( z + h )

sinh kh



(b) Xác định quỹ đạo của hạt lỏng trong trờng hợp nớc sâu và nớc nông.

(c) Vẽ hình để minh họa các kết quả trên.

13. Tính động năng và thế năng của một chuỗi sóng tiến tại nớc sâu. Sau đó, từ điều

kiện là các năng lợng đó bằng nhau, tìm công thức c 2 = gL / 2 .



41



CHNG 4

NHNG Lí THUYT SểNG PHI TUYN CHO VNG Cể

SU KHễNG I

4.1 Gii thiu chung

Khụng cú mt li gii chớnh xỏc no cho cỏc phng trỡnh y v súng c

trỡnh by trong chng 3. iu ny l do cỏc s hng phi tuyn trong cỏc iu kin

biờn trờn b mt t do. Trong cỏc xp x tuyn tớnh, cỏc s hng ny b b qua hon

ton. Tuy nhiờn, trong cỏc lý thuyt phi tuyn thỡ chỳng c tớnh n bng cỏch xp

x. Rt nhiu lý thuyt v súng phi tuyn vi phng phỏp gii quyt v mc chớnh

xỏc ca vic xp x khỏc nhau ó c a ra. Trong chng ny, ta s trỡnh by mt

cỏch nh tớnh tng quan v nhng lý thuyt ny.

Lý thuyt súng phi tuyn u tiờn do Stokes (1847) a ra. Lý thuyt ca ụng v

mt nguyờn tc l cú th ỏp dng cho tt c cỏc sõu. Tuy nhiờn, trong thc t, i

vi nc nụng thỡ kt qu lý thuyt ny ch chp nhn c khi m cao súng rt

nh. Mt loi lý thuyt th hai l ch ỏp dng cho cỏc iu kin súng nc nụng.

Nhng lý thuyt ny s c trỡnh by trong mc 4.3.

Cỏc lý thuyt va núi cho ta cỏc biu thc gii tớch v nhiu h s cn thit cho

vic tớnh toỏn súng. Cỏc lý thuyt s tr cho ta thut toỏn xỏc nh giỏ tr ca cỏc h

s cho mt tp hp cho trc cỏc iu kin u vo. Mt s lý thuyt s tr s c

trỡnh by trong mc 4.4. Vn v tớnh ỳng n ca cỏc lý thuyt s c x lý trong

mc 4.5.

4.2 Lý thuyt Stokes

Stokes (1847) dựng phng phỏp xp x liờn tip, cú th c mụ t s qua nh

sau.

Kt qu ca lý thuyt tuyn tớnh c dựng tỡm mt xp x th nht cho cỏc s

hng phi tuyn b b qua. Vic hiu chnh cỏc kt qu ca phộp xp x th nht (tuyn

tớnh) ca nghim c tin hnh bng cỏch tớnh n iu trờn.

Bng cỏch dựng nghim ó c hiu chnh ln th nht, mt xp x ln th hai

cho cỏc s hng phi tuyn c tin hnh. Sau ú l xp x ln th ba. Nu nh quỏ

trỡnh ny hi t thỡ nú cú th c c tip tc cho n khi i lng hiu chnh tr nờn

bộ. Tht ra thỡ mt gii hn thc t s t c sm m khụng phi tin hnh nhiu

phộp xp x vỡ cỏc biu thc toỏn hc tr nờn rt di v rt khú tỡm ra cỏc xp x bc

cao.

42



Nh ó trỡnh by trờn, cỏc biu thc toỏn hc trong nhng xp x bc cao rt

di. Bi vy, d dng hn trong vic ỏp dng nhng lý thuyt ny, ngi ta ó

chun b nhng th v bng nh l nhng th v bng ca Skjelbreia (1959) cho

xp x bc 3, trong ú tt c nhng s hng cú bc 3 hay nh hn c gi nguyờn v

nhng s hng khỏc b b qua.

Trong phn tip theo, mt s kt qu s c trỡnh by ch yu di dng nh

tớnh. Mt s phng trỡnh ca lý thuyt bc hai s c trỡnh by vi mc ớch din

gii.

4.2.1 Mt ct b mt nc

Biu thc bc 2 i vi mt nc cú th c vit nh sau:

(S ) = 1 cos S + 2 sin S



(4.1)



trong ú:

1 = a

1

2



2 = ka 2



(4.2)



cosh kh(2 + cosh 2kh )

sinh 2 kh



(4.3)



im S=0 c chn ti mt nh súng. Hỡnh 4.1 trỡnh by mt phỏc tho ca

(4.1).

Mt s hng tuyn tớnh in hỡnh l t l vi a cos S hay a sin S , trong ú a l

biờn ca dao ng mc nc trong phộp xp x tuyn tớnh, v S = (t kx ) l pha.

Bi vỡ cỏc thnh phn phi tuyn bao gm cỏc tớch nh l u 2 , xp x u tiờn cho cỏc

s hng ny bao gm cỏc s hng t l vi a 2 cos 2 S = (1 / 2 )a 2 (1 + cos 2S ) , v cỏc s

hng tng t vi sin 2 S . iu ny cng ỏp dng c cho hiu chnh th nht ca

xp x tuyn tớnh ca nghim chớnh xỏc. Tip tc theo cỏch ny, ta cú th tỡm c

nhng xp x liờn tip ca nghim chớnh xỏc di dng nhng s hng liờn tc ca

mt chui s m ca a (cỏc s hng t l vi a, a 2 , a 3 , v.v...). Nu a l nh (i

vi L v h), mi s hng bc cao s nh hn nhiu nhng s hng bc thp hn v nu

nh khi ú chui c kt thỳc bng mt mt vi s hng thỡ ta cú th tỡm c mt

xp x tin li.

Mt ct súng dng nh cú cỏc nh hp hn v nhn hn mt ct biu th bng

hm cosine, v bng rng hn v phng hn. H qu l mc nc ti nh súng trờn

mc bin trung bỡnh (MWL) cao hn mt na chiu cao súng, vi giỏ tr vt quỏ l

2 (ti bc 2). iu ny quan trng cho vic tớnh toỏn lc súng tỏc ng lờn cỏc cụng



trỡnh nc nụng hay l cho vic xỏc nh cao cn thit ca khong khụng gia

mt di ca cu tu hay bn m mc MWL (cũn c gi l khong khụng).

43



1 + 2

1

2

MWL



Hỡnh 4.1 Mt ct b mt nc khi cú súng xp x bng lý thuyt bc 2 ca Stokes

Tớnh bt i xng nh trờn thng c quan sỏt thy rừ rng trong cỏc súng

thc. Mt ct thc o dng nh c d bỏo rt tt bng lý thuyt Stokes bc 2 v

bc 3 cho súng nc sõu, nhng s phự hp l kộm hn cho cỏc iu kin nc nụng.

T lý thuyt cú th rỳt ra mt ch th cho quỏ trỡnh ny, thớ d nh t s ca biờn

bc hai v biờn bc nht cn phi nh phng phỏp tip cn Stokes l cú giỏ tr.

Ti nc sõu, t s ny l (xem cỏc phng trỡnh 4.2 v 4.3):

2 1

H

ka



2 L

1 2



(kh >> 1)



(4.4)



T s ny thng l nh (ln nht l vo khong 0.2) vỡ rng súng v gii hn

dc cú th cú ca súng. Mt khỏc ti nc sõu hn t s trờn tr thnh (xem cỏc

phng trỡnh 4.2 v 4.3):

1 3

3 HL2

HL2

3

2

(kh ) ka

10 ì 3

32 2 h 3

h

2 4



(kh << 1)



(4.5)



Nu ta yờu cu 2 0.21 thỡ bt ng thc sau s phi c tha món:

HL2

20

h3



õy l mt yờu cu rt cht ch v H/L vỡ rng L>>h ti nc nụng. T s

HL2

thng c gi l s Ursell, ký hiu bi U r :

h3

Ur =



HL2

h3



(4.6)



Nu U r l quỏ ln thỡ chui Stokes phõn k. Mt ch th cho iu ny l s xut

hin ca mt cc i th hai ti bng súng khi m 2 > 1 / 4 nh c phỏc tho

trờn hỡnh Fig. 4.2. Khi m cc i th hai ti bng súng khụng c quan trc súng

thc ti nc nụng thỡ s xut hin ca nú trong cỏc kt qu tớnh toỏn ch ra rng lý

44



thuyt c s dng trong cỏc iu kin vt quỏ gii hn ỏp dng ca nú.



Hỡnh 4.2 Cc i th hai ti bng súng do lý thuyt Stokes bc 2 d bỏo

ti nc rt nụng.

Cỏc o c mc nc khi cú súng ln ti nc nụng cho thy cỏc profile mt

nc vi bng di v phng cựng vi nh hp v nhn, nh ch ra trờn hỡnh 4.3.

Nu profile ny c xp x bng mt tng cỏc thnh phn iu hũa dng cosin

(cos S, cos 2S v.v.) thỡ cn cú mt s lng ln cỏc thnh phn. iu ny cú ngha l

chui cn phi c tớnh ti mt bc rt cao. õy l mt nhim v rt khú khn v mt

thi gian, v do vy trong thc t, khụng nờn ỏp dng chui Stokes trong cỏc iu

kin ú, thm chớ c khi m nú khụng phõn k.



Hỡnh 4.3 Profile mt nc khi cú súng o c ti nc nụng.

4.2.2 Vn tc v qu o ht nc

Trong xp x phi tuyn, vn tc ht nc khụng cũn l i xng qua giỏ tr

trung bỡnh (bng 0 nu ch cú súng). Vn tc nm ngang ca ht nc cú dng bt i

xng gn ging vi mt nc. Vỡ vy, vn tc cú giỏ tr tuyt i ln hn bờn di

nh so vi bờn di bng. iu ny nh hng mnh ti vic tớnh toỏn ỏp lc súng

lờn cụng trỡnh, c bit l trong cỏc iu kin nc nụng. Cỏc s hng bc cao trong

cỏc chui vn tc ht nc gim nhanh hn theo khong cỏch di b mt so vi cỏc

s hng bc thp. Vn tc gn ỏy c d bỏo khỏ tt bng lý thuyt tuyn tớnh.

Trong lý thuyt tuyn tớnh, qu o ht nc l i xng c theo phng ng

v phng ngang. Trong cỏc lý thuyt phi tuyn, khụng th b qua s bt i xng

ca vn tc ht nc. Vỡ vy qu o ht nc khụng cũn l i xng. Sau mt chu k

súng thỡ ht nc tin v phớa trc mt chỳt, nh v trờn hỡnh 4.4.

45



Hỡnh 4.4 Qu o ht nc xp x bng cỏc lý thuyt súng phi tuyn

Vy, súng gõy ra vn chuyn khi lng i vi h quy chiu ca ta. Mt cỏch

khỏc l ta cú th chn mt h quy chiu sao cho vn tc vn chuyn khi lng tng

cng d tớch phõn theo phng thng ng bng 0. Trong trng hp ny cỏc ht

nc trong phn thp ca profile thng ng s cú vn tc d ngc li v ch cú cỏc

ht nc trờn l cú vn tc d theo hng súng. Vi chớnh xỏc bc hai, vn tc

trung bỡnh thi gian ca mt ht nc ti mt cao trung bỡnh z 0 trong cỏc iu

kin súng nc sõu c cho bi:

u ( z 0 ) = kaae 2 kz0 kh >> 1



(4.7)



Vi nc trung bỡnh v nc nụng, lý thuyt Stokes cho d oỏn khụng chớnh

xỏc v vn tc vn chuyn vt cht. iu ny l do nh hng ca nht (ch gii

hn trong lp biờn mng gn ỏy). Longuet-Higgins (1953) ó phõn tớch k cng v

tc vn chuyn vt cht do súng gõy ra tớnh theo cỏc lý thuyt súng khỏc nhau v

cú tớnh n nh hng ca nht.

4.2.3 Mi liờn h phõn tỏn v vn tc pha

Trong xp x Stokes bc 2, mi liờn h phõn tỏn ging nh trong lý thuyt tuyn

tớnh. Trong lý thuyt bc 3, xut hin mt thnh phn hiu chnh phi tuyn t l vi

bỡnh phng dc súng. Hiu ng ca nú l lm tng vn tc pha. Do vy, vn tc

pha ti mi sõu khụng ch ph thuc vo tn s m cũn ph thuc vo biờn . Tuy

rng hiu chnh l tng i nh nhng nú th tr nờn ỏng k khi m khỏc bit trong

vn tc pha l ỏng k, nh trong trng hp nhúm súng.

4.2.4 Hm lng nng lng v vn chuyn nng lng

Trong xp x bc thp nht, hm lng nng lng (E) v tc vn chuyn

nng lng l t l vi a 2 . Hiu chnh phi tuyn cho i lng ny bao gm cỏc

thnh phn t l vi a 4 v.v... Nng lng tng cng ca súng cú cao no ú tr nờn

nh hn giỏ tr tớnh theo lý thuyt súng tuyn tớnh. Cú th thy c iu ny m

46