2 Kỹ thuật tổ hợp cho bảng chữ cái hữu hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.47 MB, 60 trang )
Nói chung, E^ co the là tàp con thuc su cùa E. Khi xem xét dò do
riéng p, khòng giàm tong quàt ta co thè già su E^ = E bang càch bò
qua nhùng ki hiéu cho ràng xàc suit bang 0.
Dinh nghia 1.2.1. Kièu L^ cùa mot day hùu han y = (yi, ?/2, ••, ^n)
thuòc E" là dò do thuc nghiem càm sinh bòi day này. Rò ràng
L^ = (L^(ai),...,L^(a|^,))
là càc phàn tu cùa Afi(E), ò day
Ll{ar) = -J2Kiyj),
i = l,2,...,|El.
Tue là, L^(ai) là tàn so xuit bién cùa aj trong day yi, ...,?/„•
Cho Cn kì hiéu tàp t i t cà càc kiéu cùa day co dò dai n. Do dò
Cn-{iy-.1^ = 11 Vy}cRl^l
va do do thuc nghiém L^ hén két vói day T = ("Ki, ....Yn) là day càc
phàn tu ngàu nhién cùa £„.
"^
_
N
Bò de 1.2.2. (a) \Cn\ < (n + 1)1^1.
(h) Vói moi vector xàc suàt 7 G A/i(E),
ci,(7;£,)-inf(i,(7,7')<^-
(1-2.1)
Trong dà 6^^(7,7') = sup[7(yl) - 7'(^)] là khoàng càch bién phàn
Aci:
giUa do do 7 va •y'.
Chiùng minh. Chù y ràng moi thành phàn cùa vector V^ thuòc vào tàp
1^, ^,..., ^ | . Fuc luóng cùa tàp này bang (n + 1).
Phàn (a) cùa bó de dude suy ra tu dièu sau day: vi vector l'^ dUdc
quy dinh bòi it nhàt so ludng cùa |E|.
De chùng minh phàn (b) ta thày ràng £„ chùa tàt cà càc vector xàc
suit thành phàn cùa |E| thiét làp tìf tàp ( - , ^,..., ^ 1 Do dò vói moi
7 e A/i(E), ton tai 7' € £ „ vói \j{a^) - y{ai)\ < J Vi = 1,2,..., |E|.
Chàn cùa (1.2.1) dUdc suy ra tu tình hùu han cùa E.
1 ""
1=1
D
Chù y:
(a) Vi L^ là mot vector xàc suàt dUdc quy dinh bòi |E| - 1 thành phàn
va do vày
|>C.|<(n-f 1)1^1-1.
(b) Bó de 1.2.2 biéu dién lue ludng cùa tap £„, già cùa dò do thuc
nghiem ngàu nhién L^. Cà hai tình chit dèu sai khi |E| = 00.
Dinh nghla 1.2.3. Fóp kiéu Tni'y) eùa luàt xàc suit 7 6 £„ là tàp
Tnii) = {y e r^ : L^ = ^}.
Chù y ràng mot lóp kiéu bao gom càc hoàn vi cùa càc vector trong tap
dinh nghla sau day, quy iróc OlogO := 0 va Olog - := 0.
Dinh nghla 1.2.4. (a) Entropy cùa mot vector xàc suàt 7 là
^ ( 7 ) : = - ^ 7 ( ^ 2 ) log 7(^1).
(b) Entropy tirdng dói cùa mot vector xàc suàt 7 vói mot vector xàc
suàt khàc fi là
Chù y: Bang càch àp dung b i t dàng thùc Jensen's dói vói hàm lèi
a:Ioga:, ta ehi ra rang H{-\ÌL) là khòng àm. Chù y ràng / / ( » là hùu han
va lién tue trén tàp compact {7 G A/i(E) : E^ C E^}. Bòi vi xlogx là
lién tue vói 0 < .r < 1. Hdn nùa //(-[/i) là hàm toc dò tòt.
1.3
P h é p bién dói Fenchel-Legrendre
Cho Xi, X2,..., Xn là day bién ngàu nhién dòc làp, cùng phàn phói
d-chièu, vói Xi cùng phàn phói vói p e A^i(R^). //„ kì hieu cho luàt cùa
1 "
Sn := — y Xj
Foga cùa hàm sinh moment lién quan dén luàt xàc suit fi dudc dinh
nghia là
A(A) :=logAf(A) : = l o g E
(1.3.1)
Òday < X,x >:= Yl ^^^^ là tìch vò huóng trong R^, x^ là toa dò thù
j cùa X. Tén goi chung cho A(-) là hàm sinh tìch lùy, |x| = >/< x,x >
là chuàn Euclide. Chù y ràng A(0) = 0, trong khi A(A) > - 0 0 vói mgi
A, eó thè già su A(A) = 00. Cho /in ki hi^u cho dò do xàc suit cùa S^
va X := ^'[Xi]. Khi x tèn tai va huu han, va E[\Xi — xp] < 00. Khi dò
n
^ X khi n —• 00 vi
>
E[|4 - 5|'j = ^ E ^[l^^ - 5^1'] = -El\X, - xf] "-=2?0.
n^ ^—'
n
Do dò trong truòng hdp này Pn{F) —^ 0 khi n ^ 00 vói moi tàp dóng
F sao cho X ^ F.
D i n h nghia 1.3.1. Bién dòi Fenchel-Fegendre cùa A(A) là:
A*(x) := sup{< A,x > -A(A)}.
BÓ de 1.3.2. (a) A là hàm lèi va A* là hàm toc dò lèi.
(h) Néu D^ = {0}, khi dò A* dèng nhàt 0. Néu A(A) < 00 vói moi
A > 0, khi dò X < 00 (ed thèx — -00y) va vói mgi x > x,
A*(x) = sup|Ax-A(A)]
A>0
(1.3.2)
vói moi X > X, là hàm khòng giàm. Tuang tu néu A (A) < ce vói moi
A < 0, khi dóx> - o o (co thèx = oo^, vói moi x
A*(x) = sup[Ax-A(A)]
(1.3.3)
À<0
vói moi X
luòn co inf A*(x) = 0.
(c) A(-) là khà vi tren Dj vói A'irj) = —^E[Xie"^^] va A'{r]) = y suy
ra
A*{y) = ny-A{r]).
(1.3.4)
Chtìng minh. (a) Tình lèi eùa A sau day suy ra tu bit dàng thùc Holder's
vi
A(^Ai 4- (1 - e)X2) =
\ogE{{e^'^'f{e^'^'Y^-^^]
< \oglEle^'^'fE[e^'^'f-^A
= 6'A(Ai) + (1 - ^)A(A2)
vói moi 9 G [0,1]. Tình lèi eùa A* suy ra tu dinh nghla vi
OA*{xi) + (1 - 6')A*(x2) - sup{^Axi - ^A(A)}+
+ sup{(l-^)Ax2-(l-^)A(A)}
> sup{(^xi + (1 - ^)X2)A - A(A)}
XeR
= A*{exi +
{ì-9)x2)
ma A(0) = logE[l] = 0, do vày A*(x) > Ox - A(0) = 0 là khòng àm.
Ta chùng minh A* là nùa lién tue duói va do dò là hàm tèe dò. Co dinh
mOt day {xn} -^ x. Khi dò vói moi A G R,
lim inf A*(x„) > lim inf[Axn - A(A)] = A*(x).
x„—»I
(b) Néu
DA
Xn—•X
= {0}, khi dò A*(x) = A(0) = 0 vói mpi x G R. Néu
A(A) = log A/(A) < oo
8
vói moi A > 0.
