4 Định lý Cramer's trong R

Suy ra vói mpi A,

gii) = [< A,y > -A(A)] < ^(0) = [ -Airf)] < A*(T/).

Lày sup theo A, ta eó dièu phài chùng minh.



•



Dinh ly 2.4.2. (Cramer's) Già sù DA = R^. Khi dò {fin} thòa man

LDP trong R^ vói hàm lèi toc dò tot A*(-), tue là vói moi F G R ^ ^a co

*

- inf A*(x) < lim inf - log finir) < lim sup i log//^(F)

xer°

n >o Jl

—o

n—oo

n

<-infA*(x).

ler

Chùng minh. Truóc tién, ta xày dung càn trén dùng cho dò chéch lón.

Theo muc 2.1, chùng minh càn trén dùng tUdng dudng vói viéc chùng

minh ràng vói mpi 6 > 0 vk vói mpi tàp dóng F C R'^,

lim sup - log finiP) <ón->oo



Jl



inf I^x).



(2.4.1)



xeF



0 day I^ là (^-hàm toc dò hén két vói A*. Có dinh mot tàp compact

F C R^. Vói mpi qer, chpn A^ G R^ ma

-AiX,)>l'iq).

Vói mòi q, chpn Pq > 0 sao cho Pq\Xg\ < 6, vk cho

Bq,p, = {x : \x-q\<



Pq}



là mat càu tàm tai q bàn kmh pq. Vói mpi n, vói mpi A G R'^ và G-do

dude, G C R^

finiG) = E[ls^^c] ^ ^lexp(< A,5n > - | n f { < A,x >})].

Trong truòng hdp dàc biét, vói mòi n và g G F,

finiBq,p,)))cxpi-



inf { n < A „ x > } )

q.pq



32



Do vày, vói mpi g G F,

~xeB^



< \ ' ^ > ^ P 9 | A 9 | - <ó-







9,pq



vk do dò

1,

- log finiBq^p^) < n



inf



^e5,,p.



< A^, X > +A(Ag) < ^ - < A„ g > +A(A,



Vi F là tàp compact, ta có the trich ra tu phù mò U B„ „ cùa F

qer ^'^^

mot phù hùu han bao gèm N = 7V(F, oo) < oo sao cho mat càu vói tàm

9i,<72,--,9Ar trong F. Khi dò

- l o g / / „ ( F ) < -logA^ + J n



n



min {< A,., - A ( A , ) } .



i=i,...,N



V



v/j



Do dò, ta chpn A^

1

hm sup-log/ifi(F) <6—

n—•cx)



Jl



min I s iqt).

i=l,...,N



Vi qi G F, càn trén dùng cùa (2.4.1) dUde thiét làp cho mpi tàp compact.

Càn trén dùng eùa dò chéch lón dUdc mò ròng cho tàt cà càc tàp

con dóng eùa R'^ bòi fin là hp chat mù và àp dung Bò de 1.1.4 cho

Hp := [-/9, p]. Vi Hp = U {x : Ix-'l > p}, hdp eùa càc bién co bi chàn.



/in(//;) < E MP, oo)) + Y. Mi((-^- -Pi)



(2-4.2)



trong dò fi{, j = 1, 2,..., d, là càc luàt xàc suàt tpa dò cùa vector ngàu

"

1 "

nhién Sn, luàt trén - V X/. Ap dung (2.3.7) và (2.3.8), có p > |x|.

^



1



1= 1



Mi((-oo, - P i ) < e-'•^•(-'",



33



/4(|p, ^ ) ) < e - ^ - ' " '



trong dò A* kì hiéu cho phép bién doi Fenchel-Legrendre cùa log E[e^(],

j = 1,2,..., d. A*(x) -> oo khi |x| - . 00, két hdp (2.4.2) và xem giói han

nhu n — oo khi p — 00, suy ra

>

^

lim lim snp-ìogfiniH':)



= -oo



{/i„} là chat mù vi Hp là tap compact.

Ta thiét làp càn duói dùng eùa dò chéch lón. Dò là dù de chùng

minh ràng vói mpi y G DA* vk vói mpi 6 > 0,

lim inf-log/i„(Bj,, -A*iy).

n—^oo



(2.4.3)



TI



Triróc tién già sii rang y = VA(77) vói moi y e R"^. Ta xàc dinh Jl:

^/^/



dfi



{z) X = e < 7 / , 2 > - A ( 7 ; )



và cho fi ki hieu cho luàt xàc suàt cùa S^ khi Xi là bién ngàu nhién cùng

phàn phói vói luàt Jl. Khi dò

- l p g / / „ ( B , , , ) = A ( 7 ^ ) - < 7 7 , y > + - l o g / e"<^'^-^>M;((iz)

n

TI

J

zeBv.s

> A(7/)- < Tf.y > -\r}\6-^-log



finiBy,s).



11/



Theo dinh ly bòi tu diém,

F^(Xi) = j



^



J xe<^''>dfi = vA(r^) = y



vk thep luàt yéu cùa luàt só lón, lim p^iBy^s) = 1 vói mpi 6 > 0. Hdn

n—>oo



nùa, vi

A(7;)- >



-A*iy)



theo bàt dàng thùc truóc, càn dUói dùng

lim inf ilog//,(5,,<5) > -A*(y) - \r]\6.

n—•OO



71



34



Dodo

^lim inf-log/i.(B,,,) > Jiminf^rn inf ilogMn(B,,,) > -A*(y).

Mò ròng cho càn duói dùng (2.4.3) ta cùng eó phù y G A v sao cho

y i {VA(A) : A G R^},

mòi Xj là b.n.n chuan, dàc biét, có dinh Af < oo và cho 7 kì hiéu cho

luàt bién cùa b.n.n Yj := Xj + —f=, ò day Ki,.... Ì4 là da b.n.n chuàn

dòc làp và cùng phàn phói cùa Xi, X2,..., X^. Cho AA/(-) kì hiéu cho Ioga

1



"



cùa hàm sinh moment cùa Yl, trong khi 7^ kì hiéu luàt Sn^^ = - X^ y

n ^-^ ^

j=\

|AP



Vi Ioga cùa hàm sinh moment eùa b.n.n chuàn là —^ nén ta có

AM(A) = A(A) + - Ì - | A | 2 > A ( A )



và do do

A*(y) = sup{< X,y> -A(A)} > sup{< X.y >

>•



,



-AM{X)}



*>



Theo già sù, x = F(Xi) < 00, do dò theo bàt dàng thùc Jensen's,

A(A)



> < A,x >



vói mpi A G R"^. Suy ra p(A) :=<



X,y



> - A M ( A ) hùu han.



khà vi và



thòa man

lim sup giX) = —00.

p-^°^



\X\>p



Supermum cùa ^(•) trén R'^ chùa mot vài 7 hùu han ma

7

0 = ^giri) = y - vAA/(r;)

cu the là, y = vAA/(r;). Do dò, theo chùng minh càn duói dùng dò chéch

lón (2.4.3) àp dung cho {7^} tién hành cho vói mpi ó > 0,

lim inf-log7„(5j,,5) > -A*iy) > -00.

n—•OO



71



35



Sn



có phàn phói gióng nhu 4 + -y==, ò day K ~ A^(0,1) và dòc



làp vói Sn. Do vay,

lJ^niBy,26) > IniBy^s) " F ( | 7 | > V ^ ^ ) -



Cuoi cùng, vi F là vector da bién chuàn,

lim s u p - l o g P ( | 7 | > \fM'j)

n—•oo



Jl



M



I _



V



ZI



< - - ^ .

/



_



2



Két hdp dièu kién n -^ oo và khi dò M -^ oo và ba bàt dàng thùc

truóc suy ra dièu phài chùng minh.

D

Chù y: Dièu kién 0 G D^ dù de dàm bào ràng A* là hàm tèe dò tòt

và {fin} là chat mù. Chùng minh càn duói dùng dua trén ed so già thiét

DA = R^.

Dinh ly Sanov's cho bang chù cài hùu han dupe rùt ra nhu mot h^

qua cùa dinh ly Cramer's trong R*^. Thàt vày, chù y ràng nghla thuc

nghiém eùa vector ngàu nhién



dò do thuc nghiem cùng phàn phói nhàn già tri Yi, ...,Yn trong bang chù

cài hùu han E. Hdn nùa Xi là bi chàn. DA = R'^'. Và ta thu dUdc he

qua tàt yéu cùa dinh ly Cramer's sau day:

H e qua 2.4.3. Cho tap F cùa càc vector xàc suàt trong R'^',

- inf A*(7) < lim inf ^ logF^(L^ G F) < lim s u p - l o g

^er°

n-^oo n

"-"^

n



P^(L;; G



F)



< - i n f A*(7).

7€r



trong dò A* là phép bién dòi Fenchel -Legrendre cùa Ioga cùa hàm sinh

moment



,

A(A) - logF(e<^'^'^) =



log^e^^fiia,),

1=1



vÓiX - (Ai,...,A|5:|)GRl^l.

36



2.5



D i n h ly Gdrtner-EUis



Dinh ly Gàrtner-Elhs mò ròng cùa dinh ly Cramer's cho càc bién ngàu

nhién khòng cùng phàn bó.

Cho day vector ngàu nhién Z„ G R^ trong dò Zn eó luàt fin. Foga

eùa hàm sinh moment

A„(A):=logF[e<^'^">]



(2.5.1)



chi ra rang tèn t^i giói han cùa A„(A) thìch hdp ma //„ thòa man LDP.

Già su' 2.5.1. Vói mòi X G R'', Ioga cùa hàm sinh moment dinh nghla

nhu giói han A(A) = lim -An(nA) ton tai nhu ma ròng so thùc. Man

n—•00 n



j



•



nùa, diém 0 thuòc ve phàn trong cùa D A : = { A G R ^ : A(A)
Trong truòng hdp dàc biét, néu fin là luàt dièu chinh thiic nghiém 5„

cùa vector ngàu nhién cùng phàn phói Xr G R*^, khi dò, vói mpi n eZ.i.,

^A„(nA) = A(A):=logF[e<^'^^>]

n

,0

vk già sù 2.5.1 dùng ò mpi ndi 0 G D)^.

Dinh nghla 2.5.2. Cho A*(-) là bién dói Fenchel-Legendrc cùa A(-) vói

DA-



= {X GR'^ : A*(x) < oc}.



?/ G R"^ là mot diém tiép xùc eùa A* néu vói mòi A G R'^ và vói mpi x

khàc y,

-A*iy) > < A, X > -A*(x),

(2.5.2)

A trong (2.5.2) dUdc gpi là mot siéu phàng tiép xùc.

Dinh nghìa 2.5.3. Mot hàm lèi A : R^ -> (-oc, oc] là trdn thuc su néu

(a) Di là khòng ròng.

(b) A(-) là khà vi trén D^.

(e) A(-) là dóc dùng, cu thè là, lim |vA(Aj| = oc. Vói moi day {A,,}

hpi tu tói mpt diém bién trong D^.

37



Bó de 2.5.4. Cho già sù 2.5.1 dùng.

(a) AiX)là mot hàm lèi, A(A) > -oo d moi nai, và A*(x) là hàm lèi toc

do tot.

(h) Già sù ràng ^ = vA(7/) vói moi rf e D^. Khi dò

^*{y)^



-Airi),



(2.5.3)



Han nùa y E rf vói rj là siéu phàng tiép xùc cùa y.

Chùng minh. (a) Vi A^ là hàm lèi, do dò A„(n-)/n, và giói han cùa

chùng A(-) cùng là hàm lèi. Hdn nùa, A„(0) = 0 và do dò A(0) = 0, suy

ra A* là khòng àm. Néu A(A) = -oo vói mpi A G R*^, khi dò theo tinh

lèi AiaX) = - o o vói mpi a e [0,1]. Vi A(0) = 0, A ( - Q A ) = oo vói mpi

a G [0,1], màu thuàn vói già sù ràng 0 G Dj. Suy ra A(-) > - o c ò mpi

ndi.

Vi 0 G Di, suy ra B ^ C D^ vói mpi 6 > 0, vk C = su]p_ A(A) < oc.

Bòi vi hàm lèi A là lién tue trén Dj nén suy ra

A*(x) > sup {< A,x > -A(A)}

'"^

> sup < A,x > — sup A(A) = ^|x| — G.



(2.5.4)



Do dò vói mpi Q < oo, tàp mùc {x : A*(x) < Q} là bi chàn. Hàm A*

f

lèi và nùa lién tue duói. Theo phàn (a) cùa Bò de 1.3.2 suy ra A' là hàm

toc dò tòt.

(b) Chùng minh cùa (2.5.3) làp lai chùng minh cùa phàn (b) cùa Bò de

2.4.1. Già sù ràng vói mòi x G R^

AÌTì)=



-A*iy)



< < r/,x >-A*(x).



Khi dò vói mpi ^ G R^ < 6», x > < A(r/ + (?) - A(r;). Trong truòng hdp

dàc biét,

< ^ , x > < l i m - [ A ( ^ + ^E)-A(r/)]=<6',vA(r/) > .

38