1 Kiểm định giả thiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.47 MB, 60 trang )
già cùa Qn = 1. Do dò, mot de suàt dàu tién cùa Neymann và Pearson,
làm thè nào de cue tiéu /?„ dua trén mèi lién he vói a„. Già sù ràng ^o!
p.1 dUdc biét dén nhu mot tién nghiém và day là càc dò do bang nhau,'
do vay ty só hdp ly
là tèn tai. Cho Xj := logLi|,o(y,) = - log Lo||i(y,). Dò là b.n.n dòc làp
nhàn già tri thuc cùng phàn phói khàc khòng vói xàc suàt dudng. Hdn
nùa
x^ := E^„(Xi) = F.JXie-^^]
ton tai (có thè x^ = -oo) khi xe~^ < 1. Tudng tu,
xT := E^^iXi) = E^lXie""^] > F^JXi] = x^
ton tai (có the xT = oc).
Dinh nghia 3.1.2. Mot phép kiém dinh Neymann-Pearson là mot phép
kiém dinh ma vói moi TI 6 Z+, tv só hdp Iv chuàn hóa quan sàt dirdc
n
Sn '•= — y Xj dUdc so sành vói ngiróng 7^^ và Hi dildc chàp nhàn (hav
n ^-^
bi tu chói) khi Sn > 7n (tUdng ùng Sn < 7n)Dinh ly 3.1.3. Phép kiém dinh Neymann-Pearson vói ngitdng khòng dòi
7 G (xo, XT) thòa man
lim - l o g a n = - A o ( 7 ) < 0
(3.1.1
n—^oc Ti
va
hm i l o g / ? . = 7 - A S ( 7 ) < 0
i—•oc Jl
n—»oo TI
trong dò A^-) là phép hién dèi Fenchel-Legende cùa
Ao(A):=logF^[e^^'
44
(3.1.2)
Chùng minh. Chù y ràng a , = P ^ ^ ( 4 e (7,00)). Hdn nùa, theo càch
xàc dinh và bòi tu ddn diéu
x ^ = limA'o(A),
x r = limA;(A).
A-»0
x->ì
'
Do dò, x^ < 7 = M^irf) vói mpi j] G (0,1), và giói han (3.1.1) dude
xày ra. Thep càch xàc dinh cùa Xj, Loga cùa hàm sinh moment lién két
vói /il là Ao(A + 1). Do dò, khi Hi dùng, Sn thòa man LDP vói hàm toc
dò
AI(x) = A*(.x)-x.
Vi 7 G ( - 0 0 , xT), theo he qua 2.3.3 và tình dòn diéu cùa A;(X) trén
(—oo,xY) ràng
1
hm -logPn
1
= lim -logP^^iSn
n—»oo n
n—•oc n
G (-00,7]) =
^
'
-A;(7).
'•
Tù dó suy ra (3.1.2).
D
H e qua 3.1.4. (Giói han Chernoff s) Néu 0 < P{Ho) < l, khi dó
inf lim inf(-^-]ogP(^)| = -Ao(0)
S n-^oc
In
J
trong dò infzmum dùac lày trén càc phép kiém dinh.
Chù y:
(a) Chù y ràng theo bàt dang thùc Jensen's,
x^ < log E^,le^'] = 0
và
xT > - log E^, [e"^'] - 0.
(b) AS(0) dUdc gpi là thòng tin Chernoffs eùa dò do fio vk pi.
Chùng minh. Dó là dièu kién dù phép kiém dinh Neymann-Pearson. Cho
a* vk P* là xàc suàt màc sai làm cùa phép kiem dinh Neymann-Pearson
nguòng 0. Vói mpi phép kiém dinh Neymann-Pearson khàc, a^ > <
(khi 7„ < 0) hoàc Pn > Pn (khi 7n > 0). Do vày vói mpi phép kiém dinh
- log Pi'^ > - log[min{P(//o), PiBi)}]
TI
71
+ m i n i - l o g ^ , - log .3;}.
Kfi
45
li
^
Dodo, k h i O < P(i/o) < 1,
¥il^^^^^°g^n^^^^liminfmin{ilog<,ilog;5;}
Theo (3.1.1) và (3.1.2):
lim - I o g a ; = lim -log/3; = -Ao(0).
Két qua,
lim inf-logP^^) > - A : ( 0 ) .
n—»oo
Jl
u\ /
Dàu " = " khi phép kiém dinh Neymann-Pearson nguòng 0.
n
BÓ de 3.1.5. (BÓ de Stein's) Cho /?; là infimum cùa Pn trong so tàt
cà càc phép kiém djnh vói an < e. Khi dó, vói moi e < ì,
lim - log /?; = x^.
n—»oo Jl
Chùng minh. Dó là dièu kién dù cùa phép kiem dinh Neymann-Pearson.
Khidó
và
/?„ = P.ASn < 7n) = BM,|1S„<.J = l^J^s„<,yH
(3-1-3)
Khi dó,
- Iog/3„ = - log £:„|l^„,,^e"^"l < 7„.
(3.1.4)
Truóc tién, già sù ràng x^ = -oo. Khi dó, theo dinh ly 3.1.3, vói mpi
phép kiém dinh Neymann-Pearson vói nguòng có dinh 7. ta có -.„ < ^•
Do vày,
n~^ log Pn < 7
vói mpi 7 và vói mpi n dù lón, và BÓ de dUde chùng minh.
Tiép theo, già sù ràng x^ > - 0 0 . Tacó thè già sù ràng jim^mf7„ > x^,
theo luàt yéu cùa luàt sÓ lón, lim supa^ - 1- Két qua, néu an < e, theo
n—»oo
luàt yéu cùa luàt só lón,
lim i n f P ^ ( 5 „ G [ x ^ - 7 / , 7 u ] ) > 1 - ^
n—»oo
46
V r; > 0.
(3.1.5)
Do dó, theo dàng thùc (3.1.3),
- log Pn > -log
En \ln
,
p""^^]
_
1
>xo-77-f-logP^„(5,G[x^-r;,7j).
(3.1.6)
Két hdp (3.1.5) và (3.1.6), tacó két qua cùa phép kiém dinh NeymannPearson:
lim inf - log/?; > x^ - ry
n—»oo
V r; > 0.
n
(3.1.7)
^
'
Theo dinh ly 3.1.3, an < e vói mpi phép kiém dinh Neymann-Pearson
vói nguòng có dinh 7 > x^. Do dó, theo (3.1.4):
lim sup - log /?! < x^ + 77
n—•oo
V 7 > 0 và V £ > 0.
?
n
Tù dó két hdp vói càn duói dùng cùa (3.1.7) và T] tùy y, ta suy ra
dièu phài chùng minh.
D
3.2
K i é m d i n h t y só hcfp ly tóng quàt cho
b a n g chu* cài hù'u han
Dinh nghla 3.2.1. Mot kiém dinh S là tói Uu (vói 7 > 0 dà cho) néu
7
trong só càc phép kiém dinh thòa man
hm s u p - l o g Q n < -1
n—>oc
(3.2.1)
n
phép kiém dinh 5 có - hm supn ^ log Pn là cuc dai dói vói tàt cà càc
n—>oo
dò do xàc suàt pL\.
BÓ d e 3.2.2. Vói moi phép kiém dinh Sjuói xàcjuat sai làm{an. 3n}^^i,
co tèn taijnòt phép kiém dinh S cùa S^iy) = 5 ( L ; \ n) ma xàc suàt sai
làm {a^, Pn}'^=i thòa man
lim sup - log 5 ; < lim sup - log On,
n—•oo
Jl
n—•oo
n
lim sup - log Pn < lim sup - log Pnn—•oo
Jl
n—oo
47
U
Chùng minh. Cho S^ := (5")-i(0) và S- := iS-)-\l)
kì hiéu cho tàp
:on cùa E" ma ành xa 5 " : //Q - H^. Vói moi z = 0,1 và 7 G £„, eho
\ ' := 5f n T„(7), ò dó Tni^f) là kiéu lóp cùa 7. Ta dinh nghla
1
trong càc truòng hdp khàc.
Dièu dó chi ra ràng ành xa S^iy) = 5(L^, n) cùa phép kiém dinh 5
:hòa man bó de. Cho Y = (Kj, ...,Yn), Y^ cùng phàn phói. Khi dó vói
npi /i G Mi(E) và vói mpi 7 G Cn, P^^iY\Ll = 7) làjdò do thóng nhàt
Tén kiéu lóp T„(7). Trong truòng hdp dàc biét, néu 5(7,n) = 0, khi dó
Do dó,
{7:5(7,n)=0}n£„
<2
^
P,,iY e S^,^) < 2P,,iY e S^)--^ 2pn.
{7:5(7,n)=0}n£„
Két qua,
1
—
1
lim sup - log Pn < lim sup - log dnn—•oo
n
n—oo
71
Tình toàn tUdng tu, ta ehi ra ràng a^ < 2an, tù dó suy ra dièu phài
;hùng minh.
—
Dinh ly 3.2.3. (Hoeffdeng)
Cho phép kiém dmh S* gèm càc ành xa
:àc dinh nhù sau
,0
1
néu HiLllfio)
trong càc trùdng hap khàc.
Khi dò, S* là mot kiém dinh tèi ùu cùa 7/.
48
