3 Phép biến đổi Fenchel - Legrendre
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.47 MB, 60 trang )
vói moi X > X, là hàm khòng giàm. Tuang tu néu A (A) < ce vói moi
A < 0, khi dóx> - o o (co thèx = oo^, vói moi x
A*(x) = sup[Ax-A(A)]
(1.3.3)
À<0
vói moi X
luòn co inf A*(x) = 0.
(c) A(-) là khà vi tren Dj vói A'irj) = —^E[Xie"^^] va A'{r]) = y suy
ra
A*{y) = ny-A{r]).
(1.3.4)
Chtìng minh. (a) Tình lèi eùa A sau day suy ra tu bit dàng thùc Holder's
vi
A(^Ai 4- (1 - e)X2) =
\ogE{{e^'^'f{e^'^'Y^-^^]
< \oglEle^'^'fE[e^'^'f-^A
= 6'A(Ai) + (1 - ^)A(A2)
vói moi 9 G [0,1]. Tình lèi eùa A* suy ra tu dinh nghla vi
OA*{xi) + (1 - 6')A*(x2) - sup{^Axi - ^A(A)}+
+ sup{(l-^)Ax2-(l-^)A(A)}
> sup{(^xi + (1 - ^)X2)A - A(A)}
XeR
= A*{exi +
{ì-9)x2)
ma A(0) = logE[l] = 0, do vày A*(x) > Ox - A(0) = 0 là khòng àm.
Ta chùng minh A* là nùa lién tue duói va do dò là hàm tèe dò. Co dinh
mOt day {xn} -^ x. Khi dò vói moi A G R,
lim inf A*(x„) > lim inf[Axn - A(A)] = A*(x).
x„—»I
(b) Néu
DA
Xn—•X
= {0}, khi dò A*(x) = A(0) = 0 vói mpi x G R. Néu
A(A) = log A/(A) < oo
8
vói moi A > 0.
Khi dò
OD
OD
M{X)
xd/i < — - — < 00
/
A
0
2 —
tue là X < oc (co the x = -CXD). Bay giò, vói mpi A 6 R, theo bàt dàng
thùc Jensen
A(A) = log£;[e^^^] > £;[loge^^^] = Xx.
Néu X = - o c , khi do A(A) = oc. Cho A < 0 va (1.3.2) hién nhién
dung. Khi X là hùu han, theo bàt dàng thùc triróc day suy ra A*(x) = 0.
Trong triròng hdp này, vói mpi x >x vk vói mpi A < 0
Xx - A(A)
A(A) < A*(x) = 0
suy ra (1.3.2). Tu do suy ra tình ddn dieu cùa A*(x) trén (x, oc), vi vói
mpi A > 0, Ax — A(A) là hàm khòng giàm nhir mot hàm so cùa x.
Khi A(A) < oc vói mpi A < 0, khi do cà (1.3.3) va tinh ddn dieu cùa
A* trén (—oo,x) difdc xem xét tu Ioga cùa hàm sinh moment cùa —X,
àp dung cho mot triròng hdp ddn giàn triróc.
Cuòi cùng ta chùng minh inf A*(x) = 0. Dièu nàv thòa man cho
xeR
D\ = {0}, X 6 M trong triròng hdp A* = 0 va khi x là hùu han, trong
truòng hdp này
A*(x) = 0.
Bay giò xem xét truòng hdp khi x = — C D trong khi A(A) < oc vói
X
moi A > 0. Khi dò theo b i t dàng thùc Chebyeheffs va (1.3.2)
log/i([x,oo)) < inf logE[e^(^i-^^] = - sup{Ax - A(A)} = -A*(x).
^>0
A>0
Dodo
lim A*(x) <
X—> —00
lim { - l o g / i ( [ x , o c ) ) } - 0
X—»—oo
va (1.3.3) sau day.
Truòng bop x = C D trong khi A (A) < oo vói moi A < 0 là òn dinh
X
theo Ioga eùa hàm sinh moment cùa —X.
(c) Ta co fe{x) =
hòi tu diém tói xe'^'' khi e ^ 0, vk
fe{x)
< —^
ó
9
:= h(x)
^^
vói mpi e e (-6,6), trong khi £;[|/i(Xi)|] < oo vói moi J > 0 dù nhò.
Cho A'{rj) ^ y vk xem xét hàm ^(A) := \y - A(A). VI g{-) là hàm lòm
va g'{r)) = 0, g{r]) = sup^(A) va (1.3.4) là thòa man.
D
XeR
BÓ de 1.3.3. Néu 0 G D^, khi do A* là mot hàm toc dò tot. Han nùa
néu DA — R, khi dò
hm —~^ = oo.
(1.3.5)
Chiing minh. 0 e D^, khi dò tèn tai A_ < 0 va A+ > 0 sao cho cà hai
nàm trong DA- Vi vói moi A G R
A*(x)
, . , , A(A)
> Asign X - - ^ .
\x\
\x\
—\^
Suy ra
A*fxì
lim i n f ^ - ^ > min{A+:-A_} > 0,
Ixl-oo
X'
Trong truòng hdp dàc biét A*(x) — 0 khi |x| ^ oo va tàp mùc là
>
dóng, bi chàn nén suy ra là tàp compact. Do dò A' là hàm toc dò tòt.
Chù y ràng (1.3.5) trén day DA — R duòe xem xét — A_ = A-|_ —• oo. D
>
10
Chu'dng 2
N g u y é n ly dò chéch lón
2.1
2.1.1
Giói thiéu nguyén ly dò chech lón
D ò chéch lón
Cho Xi,X2, ...,X„ là day bién ngàu nhién dòc làp, co phàn phói
1 "
"
chuàn A^(0,1) va nhan già tri thirc. Xét thuc nghiém 5^ = — y^ ^i- Khi
Ti .
1=1
do, Sn lai là mot bién ngàu nhién co phàn phòi chuàn vói k}^ vpng bang
0 va phifdng sai bang —. Do vày, vói moi < > 0, ta co
5
n
P{\Sn\ > ^) -^ 0
khi n -^ oc
(2.1.1)
va vói mpi A\
PiV^Sn e A ) ^ ^
f e~^dx
khi n ^ oc.
V 27r J
A
Ma ta lai co
P(|5„| > ^) ^ 1 - - i = /
11
e - f rfx.
(2.1.2)
Do vày
1
^
- log P{\Sn\>
6^
6)-^--
khi n ^ 00
(2.1.3)
hay là
P{\Sn\ >ó)^e~~
khin^oo.
Ta co (2.1.3) là mot vi du cùa dò chéch lón. Hòn nùa, cà (2.1.1) va
(2.1.2) van eó già tri khi ma càc bién ngàu nhién {Xi} dòc làp, cùng
phàn phói vói ky vong bang 0 va phudng sai bang 1. Vày (2.1.3) con
dùng hay khòng khi ma {X^} khòng eó phàn phói chuan? Va càu tra
lòi là lim - log P{\Sn\ > ó) luòn tèn tai va già tri cùa nò phu thuòc vào
n—»oo n
phàn phói cùa Xi.
Dò chéch lón nham nghién cùu chình xàc toc dò bòi tu dén 0 cùa
biéu thùc P{\Sn\ > 6).
2.1.2
Nguyén ly dò chéch lón
Nguyén ly dò chéch lón (ki hiéu là LDP) dàc trUng cho toc dò hòi
tu khi £: ^ 0 cùa mot ho dò do xàc suit {^^} trén (A', B) thòng qua mot
hàm tèe dò. Dàc trUng này thòng qua tiém càn trén va tiém càn duói
cùa giói h^n mù ma /ie giao vói càc tap con cùa X.
Dinh nghla 2.1.1. {/le} thòa man nguyén ly dò chéch lón vói hàm toc
dò / néu vói moi F G ^
— inf I(x) < lim inf £ log//e (r) < Hmsup£:log/X£(r) < - inf/(x).
(2.1.4)
Ben phài va ben trai cùa (2.1.4) tUdng ùng dUdc goi là càn trén dùng
va càn duói dùng.
Chù y: 1. Chù y ràng trong (2.1.4) B khòng nhat thiét là a-truòng
Borei. Nhu vày ò day eó su tàch biét giùa tàp trén dò co dò do xàc suit
va tàp già tri bi chàn.
12
