2 Kiểm định tỷ số hợp lý tổng quát cho bảng chữ cái hữu hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.47 MB, 60 trang )
Chùng minh. Cho S^ := (5")-i(0) và S- := iS-)-\l)
kì hiéu cho tàp
:on cùa E" ma ành xa 5 " : //Q - H^. Vói moi z = 0,1 và 7 G £„, eho
\ ' := 5f n T„(7), ò dó Tni^f) là kiéu lóp cùa 7. Ta dinh nghla
1
trong càc truòng hdp khàc.
Dièu dó chi ra ràng ành xa S^iy) = 5(L^, n) cùa phép kiém dinh 5
:hòa man bó de. Cho Y = (Kj, ...,Yn), Y^ cùng phàn phói. Khi dó vói
npi /i G Mi(E) và vói mpi 7 G Cn, P^^iY\Ll = 7) làjdò do thóng nhàt
Tén kiéu lóp T„(7). Trong truòng hdp dàc biét, néu 5(7,n) = 0, khi dó
Do dó,
{7:5(7,n)=0}n£„
<2
^
P,,iY e S^,^) < 2P,,iY e S^)--^ 2pn.
{7:5(7,n)=0}n£„
Két qua,
1
—
1
lim sup - log Pn < lim sup - log dnn—•oo
n
n—oo
71
Tình toàn tUdng tu, ta ehi ra ràng a^ < 2an, tù dó suy ra dièu phài
;hùng minh.
—
Dinh ly 3.2.3. (Hoeffdeng)
Cho phép kiém dmh S* gèm càc ành xa
:àc dinh nhù sau
,0
1
néu HiLllfio)
trong càc trùdng hap khàc.
Khi dò, S* là mot kiém dinh tèi ùu cùa 7/.
48
Chùng minh. Theo càn duói dùng cùa dinh ly Sanov's,
lim sup - log P^o(/fo loai bò bòi 5*")
n—•OO
Ti
'
Do dó, 5* thòa man (3.2.1) trén £^. CÓ dinh /ii G Mi(E) và cho /3;
kì hieu Pn xàc suàt sai làm lién két vói phép kiém dinh S\ Khi dó, theo
càn duói dùng, ta có:
7t—•oo
a
n—•oo
n
< - ^
f ^ 9 '^'l
*
inf
//(7I//0) : - - J(r/)
Cho S là phép kiém dinh xàc dinh bòi hàm nhi phàn S{Fj^,n) tren
Mi (E) X Z_^. Già sii ràng vói moi 6 > 0 vk vói mpi n, tèn tai 7 G C^ sao
cho
//(7|MO)<(7?-^)
trong khi 5'(7,n) = 1. Khi dó theo Bò de 2.2.3, vói phép kiém dinh và
già tri cùa n,
an > P,oiLl
= 7) > (n + l)-l^le-"^(^l^°) > (n ^ l)-^le-"(''-^^
Do dó, néu xàc suàt sai làm an lién két vói 5 thòa man (3.2.1), khi
dó, vói mpi ^ > 0 và vói mpi n dù lón,
Cn n {7 : Hi-f\po)
cCnH
{i : S(--, n) = 0}.
Khi dó, vói mpi 6 > 0,
lim sup - log Pn > lim inf - log pn
n—oo
n
n—oc
77
> lim infÌlogP^,(A.;; G {'- : H^ÌPo) < n ~ ó}).
n—•OO
n
49
Néu E^o = E, khi dó {7 : //(7|^o) < rf-ó} là mot tàp mò cùa Mi(E).
Do dó, theo bàt dang thùc trén và càn duói dùng cùa dinh ly Sanov's,
lim sup - log/?^ > - i n f
"^°°
^
inf
Hi^ìpi) =
'5>0 {7://(7|Mo)<^-<5}
^^^^'^
.^^^.
= -''^lAv-ó) = -Jirf).
0 day, dàu dàng thùc cuòi cùng tù bàt dàng thùc truc tiép trong
dinh nghìa cùa ./(•) trong (3.2.3). Khi E^, ^ E, tàp
{7 : ^ ( 7 | M O )
là khòng mò. Do dó, néu Hijlfi^) < 00, vói mpi z = 1,2, khi dó E., e
E^o n E^,, và két qua tèn tai 7„ G Cn sao cho
cho i = 0,1. Do vày, càn duói dùng (3.2.4) dUde suy ra thàm chi E^^ ^ E.
Két bop (3.2.3) và (3.2.4) và pL\ tùy y, ta suy ra
lim sup - log Pn^ - lim sup - log Pnn—oo
Jl
n—oo
Jl
Vay S* là mot kiém dinh tèi Uu eùa 77.
3.3
D
Dò dai hiém trong càc di dóng ngàu
nhién
k
Xét di dòng ngàu nhién 5o = 0, Sk = E ^^^ ^ = 1,2,... ò dó X, là
càc bién ngàu nhién dòc làp, cùng phàn phÓi, nhàn già tri trong R^. Gpi
P ^ :=: m a x | / - A : 0 < k < l < m,
:
| _ ^"^ € ^ }
là dò dai lón nhàt cùa di dóng ngàu nhién eho dén thòi diém 77 ma trung
7
bình thuc nghiem thuòc ve tàp yl C M •
50
Lién két vói { P ^ } là thòi diém dùng
T, : = i n f | / :
Do vày {Rm>r}
?LZ-^
^ A,
\fO
<^ {T, < jn}.
D i n h ly 3.3.1. Già sù A là tap sao cho giói han
LA := - lim -logfiniA)
tèn tai,
n—oc Jl
(3.3.1)
^
^
trong dò p,n là luat cùa Sn= -Sn- Khi dò hàu chàc chàn
n
y
Rm
,.
r
1
lim
= hm -—— = -—.
n—oo l o g 771
r - 0 0 l o g Tr
IA
Dinh ly này cho ta UÓc lUòng tiém càn cùa P ^ (và Tr) khi m — oo (hay
>
r -^ oo).
Chù y: Dièu kién (3.3.1) dUde thiét làp nhu mot két qua eùa LDP. Vi
du, néu A(-) là loga cùa hàm sinh moment cùa Xi, hùu han mpi ndi, khi
dó theo dinh ly Cramer's, dièu kién (3.3.1) dùng
TA^
inf A*(X) = inf A*(x).
xeA
X6.40
Chùng minh. Truóc tién, xét ve trai cùa phàn phói cùa Tr là bi chàn bòi
két qua eùa bién có hiém.
m-r
{Tr
òdóGki
C U
m
^
m-1
U Ck,i C U
oc
y Ck,i
: = | - ^ - ^ ^ G . 4 | . Có 771 càch chpn k> 0 trong két luàn trén,
trong khi PiGk,i) - Pi-kiA) và / - A > r. Do dó, theo hdp cùa càc bién
;
co bi chàn,
oo
PiTr <7n) <
mY,Pn{A
n=r
51
