3 Định lý Cramer's trong R

Chù y ràng vói càc dièu kién néu trén, bién ngàu nhién Sn nhàn già

tri trén tap compact K := [f {ai) J{a\^)]. Hdn nùa



i=l



òdày / := (/(ai), ...,/(a|i;|)). Do vày, vói mpi tàp A vàvói mpi só nguyén

n

4 G /l <^ L^ G {7 : < / , 7 > e A} := F.



(2.3.1)



Do vày, dang cùa dinh ly Cramer's sau day là he qua truc tiép cùa

dinh ly Sanov's.

Dinh ly 2.3.1. (Dinh ly Cramer's cho t à p con hihi han cùa R)

Vói moi tàp A CR

- inf I{x) < lim inf ilogP„(5„ G A)

xeAo

n^oc n



J2.3.2)



< hm sup - log PJSn ^ A) < - inf I{x).

n—>oo



n



xeA



0 day A^ là phàn trong cùa A và I{x) :=



inf



H{^\fi). Hàm toc



{7:=i}



do I{x) là lién tue tai x E K và thòa man

/(x) = sup{Ax-A(A)}



(2.3.3)



XeR



trong dò A(A) = log^/i(a,)e^'^^"'^1=1



Chù y: Vi hàm toc dp /(•) là lién tue trén K, tu (2.3.2) ràng

AcA^CK,

lim - log P^(Sn eA) = - inf I{x).

Chùng minh. Khi tàp A là mò, dò cùng là tàp F cùa (2.3.1) và giói han

cùa (2.3.2) là giói han ddn giàn cùa (2.2.2) cho F. Theo bàt dàng thùc



25



Jensen's, vói mpi 7 G Mi (E) và vói mpi A G R



A{\) = \ogJ2l^{a^)e'^^^^^

i=l



> ^ 7 ( a O l o g ^ ^ i - i | - ^ = A < / , 7 > -//(7l/i).

Dàu " - " xày ra khi -fx{ai) = /i(a,)e^-^^°')-^(^). Do dò vói mpi A và vói

mpi X

Xx - A(A) <

inf

//(7|/i) = I{x)

(2.3.4)

{7:=x}



vói dàu " = " xày ra x =< f,jx



>• Hàm A(A) khà vi vói



A'(A)-.

Do dò (2.3.3) dùng vói mpi x G {A'(A) : A G R}. Nhàn thay ràng

A'(-) là hàm tàng thue su vi A(-) là lèi thuc su và hdn nùa

/(ai) = infA'(A),



/(a.^:,) = sup A'(A).



^



A



D P dò (2.3.3) dùng vói mpi x G K^. Bay giò ta xem xét diém cuoi

X = /(ai) cùa K, và cho 7*(ai) = 1 sao cho < /. •y* >= x. Khi dò

- log/i(ai) = H{j*\fi) > I{x) > sup{Ax - A(A)}

A



> lim [Ax - A(A)] = - log/i(ai).

A—» —ex:



Chùng minh cho dicm cuòi khàc cùa K, tue là x = fia^) là ddn

giàn. Tinh lién tue cùa /(x) vói mpi x e K \k két qua true tiép cùa tinh

lién tue cùa dù liéu tUdng dói H{-\fi).

•

Cho DA := (A : A(A) < 00} và DA- •- {x : A*(x) < oc}. Dinh ly

Cramer's trong R là mot ùng dung trong truòng hdp x khòng tèn tai.

Dinh ly 2.3.2. (Dinh ly Cramer's trong R) Khi X, G R, day càc dò

do {fin} thòa man LDP vói hàm toc dò A'{-), cu thè là:

26



(a) Vói mgi tàp dòng F e R,

lim sup-log/i„(F) < - inf A*(x).

(h) Vói moi tap mò G



(2.3.5)



cR,



lim inf - log fin{G) > - inf A*(x).

n—oo



n



xeG



Chùng minh. (a) Cho F là mot tàp dóng khòng ròng. Chù y ràng (2.3.5)

hién nhién thòa man khi Ip = inf A*(x) = 0. Già sù Ip > 0, theo phàn

xeF

(b) cùa Bó de 1.3.2 ràng x tèn tai, nhu truòng hdp mò ròng cùa só thue.

Vói mpi X và vói mpi A > 0, àp dung bàt dàng thùc Chebyeheffs,

n



finilx, oc)) = Ells^_^^,] < E[e"^(^'"^^)] = e-"^^ ]][ Ele^^'

1=1



(2.3.6)



_ ^-n[Ax-A(A)]



Do dò néu x < oo, khi dò tu (1.3.2), vói mpi x > x,

M,([x,oo))


(2.3.7)



Néu X > —oc và X < X, khi do

/x,((-oo,.r])


(2.3.8)



Truóc tién xem xét truòng hdp x hùu han. Khi dò A'(x) = 0, và bòi

vi nhu già sù /^ > 0, x phài dUde chùa trong mot tàp mò F^.

Cho (x_,x+) là bop càc tàp mò (a, 6) G F' chùa x. Chù y ràng

X- < x+ và cà hai X-, x+ phài hùu han vi F khòng ròng. Néu x_ là hùu

han, khi x- e F vk A*(x-) > If. Hòn nùa A*(x+) > Ir khi x^ là hùu

han. Ap dung (2.3.7) cho x -^ x+ và (2.3.8) cho x = x_ hdp cùa càc tàp

bi chàn sao cho

kin{F) < fln{{-OC,X^\)



+ finiix^,



Oo)) < 26""^^



và càn trén dùng khi giói han logarit chuàn dUdc xét dén.

Bay giò, già sù X = -oo, khi dò vi A* là khòng giàm, tu phàn (b)

27



cùa Bo de 1.3.2 ràng ^lim^A*(x) = 0, và do dò x . = inf{x : x G F }

là hùu han. Ngoài ra / ^ = 0 vi F là mot tàp dóng, x^ G F và két qua

A*(x+) > Ip. Hdn nùa F e [x+, oo) và do dò càn trén dùng cùa dò chéch

lón àp dung cho (2.3.7) àp dung cho x = x+. Truòng hdp x = oo làm

tUdng tu.

(b) Chùng ta chùng minh tiép ràng vói mpi 6 > 0 vk vói mpi fi G A/i

lim inf-log

n-»oo



finii-6, 6)) > inf A(A) = - A ' ( 0 ) .



n



AeR



(2.3.9)

^



^



Vi phép bién doiY = X - x vói Ay(A) = A(A) - Ax, và do dò vói

Ar(-) = {• + x), dièu dò suy ra tu bàt dàng thùc ràng vói mpi x và vói

mpi ó > 0,

lim i n f - l o g / i „ ( ( x - ( 5 , x + (5)) > -A*(x).

n-»cxD



(2.3.10)



n



Vói mpi tàp mò G vk vói mpi x G G, và vói mpi ó > 0 dù nhò,

(x — ^, X + ^) C G. Do dò, càn duói dùng dò chéch lón sau day tu (2.3.10)

là chia khóa de chùng minh bàt dàng thùc (2.3.9). Truóc hét già sù ràng

/z((—oo, 0)) > 0, /i((0, oc)) > 0 vk fi co già là mot tàp con bi chàn trén

R. Già sù A(A) -^ oo khi |A| -^ oo và già sù cuòi cùng A(-) là hùu han

ò mpi nói.

Già sù A(-) là lién tue, eó dao hàm (ò phàn (e) eùa Bò de 1.3.2) và

do dò tèn tai rj hùu han sao cho A(7;) = inf A(A) và A'ÌT]) = 0. Dinh

nghla dò do xàc suàt mói Jl trén fi nhu sau

^ ( x ) = e^^-^^^^

dfi

và nhàn thày ràng Jl là dò do xàc suàt vi:



R



R



Cho / Ì ; là luàt ón dinh trén 4 khi X^ là bién ngàu nhién cùng phàn



28



phói cùa lu§.t fi. Chù y ràng vói moi s > 0

fln{(~e.



e)) =



I



fl{dxi)



. . • fi(dXn)



E^il<^

i=l



>e-l'!



y



exp(„f^:r,)MdxO...M(dx„)



(2-3.11)



1=1



I E2:t|
t=i



Theo (1.3.4) và càch chon ry,



E~,[X,]^^Jxe^^dfi



= A'ir^) = Q.



R



Do dò theo luàt só lón:

l i m / ! ; ( ( - £ , £ ) ) = 1.



(2.3.12)



n—•OO



Tu (2.3.11) ràng vói mpi £, 0 < £ < 5,

lim inf - Ipg finii-à, 5)) > lim inf - log /in((-£, ^)) > Mn) - ^\v\

n—>oo



n



n—'OO



n



và (2.3.9) dUdc xem co giói han khi e —• 0.

>

Già sù già eùa fi khòng bi chàn, trong khi //((-oc, 0)) > 0 và

/i((0, oo)) > 0. Gè dinh M dù lón sao cho fiU-M, 0)) > 0 và cho

M



AM(A) = Ipg / e^^'dfi.

-M



Cho 7 kì hiéu luàt cùa Xi dièu kién {\Xi\ < M} vk cho ^n là luàt cùa

Sn trén {|X,| < M,i = 1,2, ...,n}. Khi dò vói mpi n vk vói mpi 6 > 0,



finii-6,6)) >



^nii-S,6))fii[-M.MT.



29



Nhàn thày ràng theo chùng minh truóc day (2.3.9) dùng cho 7n. Do

vay, vói hàm sinh thòi diém dùng Ioga AM(A) - log/i([-M, Mj),

Ji'IJl'''^ -^''^^'M-^J))



>logfii[-M,M])



+ lim



inf-\og^nii-ó,6))



> inf AM(A)

XeR



vói IM ^ - inf AM(A) và /* =

AGK



Hm 7M. Suy ra

supM—*OO



lim inf-log finii-6, 6)) > -I*

n—•oo



Jl



(2.3.13)

'



ma AM(-) là khòng giàm trén M, và hdn nùa -I^ < AA/(0) < A(0) = 0,

suy ra - / * < 0. Vi -IM là hùu han khi M dù lón, - / * > - o c , suy ra

{A:AM(A)<-r}

khàc ròng, compact và do dò tèn tai mot diém ngàn nhàt, ki hiéu Ao,

trén giao eùa chùng. Theo djnh ly Lesbegue's ve su bòi tu ddn diéu,

A(Ao) =



lim



AM(AO) < - / *



M—>oc



và day bi chàn (2.3.13) tién hành theo (2.3.9). Bay giò cho fi là già khòng

bi chàn, tu dò suy ra (2.3.9) cho luàt xàc suàt fi tùy y vi néu cà hai

/i((-oo,0))-0



hay



/z((0, oc)) = 0,



khi dò A(-) là hàm ddn diéu vói

infA(A)^logM({0}).

AeR



Do dò trpng trUòng hdp (2.3.9) sau day

linii-S,6))>fini{0})



= fii{0})''.

D



He qua 2.3.3. Vói moi y



eR,



Hm - l o g / i n ( | i / , o o ) ) - - i n f A*(x)

n-^oo n

^^y

30



Chùng mmh. VI [x, x + (5) e [y, oo) vói mpi x > y và vói mpi J > 0 nén

suy ra

ÌHS,'"^^



n ^°SMn([y, oo)) > sup lim inf - log/i„([x, x + 6)).

^



x>y n^'x



n



^^^^ }'IJi'''^



~^^èl^nilx,x + 6)) > -A*ix).Xét

x ^

Ovk[OJ);[0,£)

n

trén i-6, 6) vk {-e, e) suy ra dièu phài chùng minh bòi (2.3.12) thòa man

lim Jhii[0,£)) = -.

n-»oo



2



D



2.4

•>



Dinh ly Cramer's trong M^

_



V



B ò d e 2.4.1. (a) A(-) là hàm lèi và khà vi ò moi nói và A*(-) là hàm

lèi toc dò tot.

(b) y = VA(77) ^ A*(y) =



-A(7?).



Chùng minh. (a) Tinh lèi cùa A suy ra tu bàt dàng thùc Hòlder"s. Tinh

khà vi suy ra tu tinh lién tue trén mièn xàc dinh. (Chùng minh Bo de

1.3.2). Tinh lèi và nùa lién tue duói eùa A* suy ra tu dinh nghla 1.3.1 bòi

mot già thiét tUdng tu cho chùng minh cùa phàn (a) cùa Bó de 1.3.2. Vi

A(0) = 0, A* khòng àm, và do dò là hàm tèe dò. Ta eó vói mpi x G R"^,

vói mpi p > 0,

A*(x) >p\x\-



sup{A(A)}.

|A|=p



Dàc biét, tàt cà càc tàp mùc eùa A* là bi chàn và A* là hàm toc dò tot.

(b) Cho y = vA(r/), eó dinh mot diém tùy y A G R'^, và cho

già) :=a<



X-T],y>



-Air] + a(A - r/))+ ,



Q G [0,1].



Vi A là hàm lèi và A(7;) là hùu han, ^(0 là lòm và |^(0)| < oo. Do

vày

^(1) - ^(0) < lim inf ^^^^^^^^^ =


vA(r;) > ^ 0.



Suy ra vói mpi A,

gii) = [< A,y > -A(A)] < ^(0) = [ -Airf)] < A*(T/).

Lày sup theo A, ta eó dièu phài chùng minh.



•



Dinh ly 2.4.2. (Cramer's) Già sù DA = R^. Khi dò {fin} thòa man

LDP trong R^ vói hàm lèi toc dò tot A*(-), tue là vói moi F G R ^ ^a co

*

- inf A*(x) < lim inf - log finir) < lim sup i log//^(F)

xer°

n >o Jl

—o

n—oo

n

<-infA*(x).

ler

Chùng minh. Truóc tién, ta xày dung càn trén dùng cho dò chéch lón.

Theo muc 2.1, chùng minh càn trén dùng tUdng dudng vói viéc chùng

minh ràng vói mpi 6 > 0 vk vói mpi tàp dóng F C R'^,

lim sup - log finiP) <ón->oo



Jl



inf I^x).



(2.4.1)



xeF



0 day I^ là (^-hàm toc dò hén két vói A*. Có dinh mot tàp compact

F C R^. Vói mpi qer, chpn A^ G R^ ma

-AiX,)>l'iq).

Vói mòi q, chpn Pq > 0 sao cho Pq\Xg\ < 6, vk cho

Bq,p, = {x : \x-q\<



Pq}



là mat càu tàm tai q bàn kmh pq. Vói mpi n, vói mpi A G R'^ và G-do

dude, G C R^

finiG) = E[ls^^c] ^ ^lexp(< A,5n > - | n f { < A,x >})].

Trong truòng hdp dàc biét, vói mòi n và g G F,

finiBq,p,)))cxpi-



inf { n < A „ x > } )

q.pq



32