5 Định lý Gartner - Ellis

Bó de 2.5.4. Cho già sù 2.5.1 dùng.

(a) AiX)là mot hàm lèi, A(A) > -oo d moi nai, và A*(x) là hàm lèi toc

do tot.

(h) Già sù ràng ^ = vA(7/) vói moi rf e D^. Khi dò

^*{y)^



-Airi),



(2.5.3)



Han nùa y E rf vói rj là siéu phàng tiép xùc cùa y.

Chùng minh. (a) Vi A^ là hàm lèi, do dò A„(n-)/n, và giói han cùa

chùng A(-) cùng là hàm lèi. Hdn nùa, A„(0) = 0 và do dò A(0) = 0, suy

ra A* là khòng àm. Néu A(A) = -oo vói mpi A G R*^, khi dò theo tinh

lèi AiaX) = - o o vói mpi a e [0,1]. Vi A(0) = 0, A ( - Q A ) = oo vói mpi

a G [0,1], màu thuàn vói già sù ràng 0 G Dj. Suy ra A(-) > - o c ò mpi

ndi.

Vi 0 G Di, suy ra B ^ C D^ vói mpi 6 > 0, vk C = su]p_ A(A) < oc.

Bòi vi hàm lèi A là lién tue trén Dj nén suy ra

A*(x) > sup {< A,x > -A(A)}

'"^

> sup < A,x > — sup A(A) = ^|x| — G.



(2.5.4)



Do dò vói mpi Q < oo, tàp mùc {x : A*(x) < Q} là bi chàn. Hàm A*

f

lèi và nùa lién tue duói. Theo phàn (a) cùa Bò de 1.3.2 suy ra A' là hàm

toc dò tòt.

(b) Chùng minh cùa (2.5.3) làp lai chùng minh cùa phàn (b) cùa Bò de

2.4.1. Già sù ràng vói mòi x G R^

AÌTì)=



-A*iy)



< < r/,x >-A*(x).



Khi dò vói mpi ^ G R^ < 6», x > < A(r/ + (?) - A(r;). Trong truòng hdp

dàc biét,

< ^ , x > < l i m - [ A ( ^ + ^E)-A(r/)]=<6',vA(r/) > .

38



Vi bàt dàng thùc này dùng vói mpi ^ G R'^ nén suy ra x = S/AÌT]) = y.

D P dò y là diem tiép xùc eùa A*, vói siéu phàng tiép xùc 7 G D^.

7

D

Vói mpi tap lèi khòng ròng C, phàn trong tUdng doi cùa C, kì hiéu

là ri C, dinh nghla là tàp:

nC:={yeC:



x e C ^ y - EÌX - y) e G, \/e > 0}.



BÓ de 2.5.5. (Rockafellar) Néu A : R^ -^ ( - o c , oc] là tran thùc sù,

nùa lién tue duói, là hàm lèi. Khi dò ri DA< C F .

D i n h ly 2.5.6. (Dinh ly Gartner-Ellis) Cho già sù 2.5.1 dùng.

(a) Vói moi tap dòng F,

lim s u p - l o g / / n ( F ) < - inf A*(x).

n-»oo



n



(2.5.5)



xeF



(h) Vói moi tap mò G,

lim inf-log/i„(C;) > - inf A*(x)

n >o

—o

n

xeGnF



(2.5.6)



ò day E là tap càc diem tièp xùc cùa A* ò dò siéu phàng tiép xùc

thuòc ve DA(e) Néu A là tran thùc sù, nùa lién tue duói. Khi dò LDP dùng cho hàm

toc dò tot A*i-).

Chùng minh. (a) Càn trén dùng cùa (2.5.5) cho càc tàp compact dude

thiét làp gióng nhu trong chùng minh dinh ly Cramer's trong R'^. Ta

chùng minh cho day càc dò do {fin} là ehàt mù. Cho Uj kì hiéu cho

vector tpa dò thù j cùa vector trong R'^ vói j = 1, 2,..., d. Vi 0 G D^,

vói mpi j > 0, tèn tai T]J > 0 sao cho AirjjUj) < oc và Ai-rfjUj) < oc,

vói mpi i = 1,..., d. Do dò thep bàt dàng thùc Chebyeheffs

/ 4 ( ( - ^ ' -P]) ^ expi-nrjjp



+ Ani-nrijUj))



._

J — 1, ... j fl



fiiilp, 00)) < expi-nrfjp



+ AninOjUj))

39



trong dò fij^, j ^ l,...,d\k

e h o j = l,...,d,



càc tpa dò eùa vector ngàu nhién Zn- Do dò.



lim lim s u p - l o g / i ^ ( ( - o c , - p ] ) = - 0 0 ,

f-^n^^^'''^n^''^i'ni[p.O0))



= -00.



Khi dò, j i ^ ^lirn sup-log//^^(([-p,pl'^)-) = - o c , tue là {pn} là chat

mù.

(b) Ta thiét làp càn duói dùng cùa (2.5.5). Vói mpi tàp mò, dièu kién

dù de chùng minh ràng vói mpi y e F,

lim lim inf-log/i„(5j,,<5) > -A*(y).



(2.5.7)



CÓ dinh y e F vk cho 7 6 /)$ là mot siéu phàng tiép xùc cùa y. Khi

7

dò, vói n dù lón, An{nr]) < oc, ta xàc dinh do do Jì^ nhir sau:

-j-^{z) ^ exp[n.



~i\n{nr])Y



Tacó

-\ogfiniBy,s)

n



= -Kiriv)-+-log

n

> -Aninr])n



f e^^^'^y-^^djrniz)

J

zeBy.i



ri



< ri,y > -\rì\6



+-logpniBy,s)•

n



Do dò,

lim lim inf-log

5_0n—00



finiBy^s) > Hi)-



+^}^^



n



> -A*iy)

~



lim inf-log JTniBy,5)



ó^un—oc



[t



+ lim lim inf - log/l;;^(i?y,j).

(5-»0n—oc



n



(2.5.8)

Ò day, bàt dàng thùc thù hai suy tu dinh nghla cùa A'. Già sù A„ là

40



Ioga cùa hàm sinh moment lién két vói /i„. Khi dò, vói mpi A G

ÌA;(nA):=ilog[|e-<^'^>rf^(z)

= -An(n(A + jf)) - -Aninrf) -^ A(A).

n



Jl



Vi Aninr]) < oo vói mpi n dù lón. Ta dinh nghla:

A*(x) := sup{< A,x > -A(A)} = A*(x)-



+A(r7).



(2.5.9)



^ Vi già sù 2.5.1 cùng dùng cho Jì^. Ap dung Bo de 2.5.4 cho A ràng

A* là hàm toc dò tòt. Hdn nùa, theo phàn (a) dò chéch lón cho càn trén

dùng dùng vói mpi day dò do {p^}, vk vói hàm toc dò tot A*. Dàc biét

vói mpi tàp dóng Bf; r,

lim sup-log/i;(BJ,5) < n->oo



n



inf A*(x) =-A*(xo)

^^^t.é



vói mpi xo khàc y. Ma y là diém tiép xùc cùa A*, 7 là siéu phàng tiép

7

xùc. Do dò, vi A*iy) >[< r],y > -A(77)] và xo ^ y,

A*(a:o) > [A*(a:o)- < TJ^XQ >] - [A*iy)-



]>0.



Do dò vói moi 6 > 0, lim sup - log p^iB" ^) < 0 ma Ji^iB' ^) ^ 0 và

n—oo



n



^'



^'



do dò

V^iBy^s) -^ 1

vói mpi 5 > 0. Trong trUòng hdp dàc biét,

hm lim inf-log/7;^(i?j/,,5) = 0.




n



(e) Thòng qua phàn (a) và phàn (b) và bó de Rockafellar, nò là dièu

kién dù de ehi ra ràng vói mpi tàp mò G,

inf

A*(x)< inf A'(x).

leGDh Dx*

xeC

41



Già sù DA- khàc ròng, suy ra tèn tai z G ri DA-. CÓ dinh y G G H D A - .

Khi dò vói mpi Q > 0 dù nhò, az + il - a)y e G n ri DA-. D P dò

inf



A*(x) < limA*(?/)



Vi y tùy y nén suy ra dièu phài chùng minh.



42



D



Chifcfng 3



Ap dung

3.1



Kiém dinh già thiét



Cho Y\, ...,Yn là mot day b.n.n. Vàn de kiem dinh già thiét gèm

quyét dinh, dua trén ed so day Vi, ...,Yn ma day luàt tóng quàt là P ^

hoàc P^j. Ta càn tap trung vào truòng hdp ddn giàn nhàt.

Trong toàn hpe, vàn de dUde mò ròng nhu sau: Cho VI,.... V^ là day

phàn phói xàc suàt khàc cùa luàt /ÌQ (già thiét //o) hoàc day p\ (già

thiét /fi), ò dò /i" kì hiéu cho dò do tìch cùa /Xj G A/i(E). Bang chù cài

hùu han E có the tùy y.

D i n h nghia 3.1.1. Mot kiém dinh S là mot day càc ành xa do dudc

(dói vói a-truòng tìch) 5 " : E" -^ {0,1}, xàc dinh nhu sau khi

Yi = yu....,Yn = yn thi HQ là chàp nhàn dUdc (//i bi loai bò) néu

5'"(?/i,...,yn)-0.

Con khi Hi duòc chàp nhàn (//o bi loai bò) néu 5"(z/i, ...,yn) = 1Khi thuc hién mot kiém dinh S dUdc xàc dinh bòi xàc suàt sai làm

an •-



FMOI-S""



loai bò //o),



Pn ••= ^M.('^^" lo^i bo ^^i)-



Muc dìch là de cue tiéu bòa pn- Néu khòng có mói lién he vói an, ta có

thè thu dUóc két qua Pn = 0 khi sù dung kiém dinh 5"(yi,..., yn) = 1 tai

43



già cùa Qn = 1. Do dò, mot de suàt dàu tién cùa Neymann và Pearson,

làm thè nào de cue tiéu /?„ dua trén mèi lién he vói a„. Già sù ràng ^o!

p.1 dUdc biét dén nhu mot tién nghiém và day là càc dò do bang nhau,'

do vay ty só hdp ly



là tèn tai. Cho Xj := logLi|,o(y,) = - log Lo||i(y,). Dò là b.n.n dòc làp

nhàn già tri thuc cùng phàn phói khàc khòng vói xàc suàt dudng. Hdn

nùa

x^ := E^„(Xi) = F.JXie-^^]

ton tai (có thè x^ = -oo) khi xe~^ < 1. Tudng tu,

xT := E^^iXi) = E^lXie""^] > F^JXi] = x^

ton tai (có the xT = oc).

Dinh nghia 3.1.2. Mot phép kiém dinh Neymann-Pearson là mot phép

kiém dinh ma vói moi TI 6 Z+, tv só hdp Iv chuàn hóa quan sàt dirdc

n



Sn '•= — y Xj dUdc so sành vói ngiróng 7^^ và Hi dildc chàp nhàn (hav

n ^-^

bi tu chói) khi Sn > 7n (tUdng ùng Sn < 7n)Dinh ly 3.1.3. Phép kiém dinh Neymann-Pearson vói ngitdng khòng dòi

7 G (xo, XT) thòa man

lim - l o g a n = - A o ( 7 ) < 0



(3.1.1



n—^oc Ti



va



hm i l o g / ? . = 7 - A S ( 7 ) < 0

i—•oc Jl

n—»oo TI



trong dò A^-) là phép hién dèi Fenchel-Legende cùa

Ao(A):=logF^[e^^'



44



(3.1.2)