3 Độ dài hiếm trong các di động ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.47 MB, 60 trang )
Lién két vói { P ^ } là thòi diém dùng
T, : = i n f | / :
Do vày {Rm>r}
?LZ-^
^ A,
\fO
<^ {T, < jn}.
D i n h ly 3.3.1. Già sù A là tap sao cho giói han
LA := - lim -logfiniA)
tèn tai,
n—oc Jl
(3.3.1)
^
^
trong dò p,n là luat cùa Sn= -Sn- Khi dò hàu chàc chàn
n
y
Rm
,.
r
1
lim
= hm -—— = -—.
n—oo l o g 771
r - 0 0 l o g Tr
IA
Dinh ly này cho ta UÓc lUòng tiém càn cùa P ^ (và Tr) khi m — oo (hay
>
r -^ oo).
Chù y: Dièu kién (3.3.1) dUde thiét làp nhu mot két qua eùa LDP. Vi
du, néu A(-) là loga cùa hàm sinh moment cùa Xi, hùu han mpi ndi, khi
dó theo dinh ly Cramer's, dièu kién (3.3.1) dùng
TA^
inf A*(X) = inf A*(x).
xeA
X6.40
Chùng minh. Truóc tién, xét ve trai cùa phàn phói cùa Tr là bi chàn bòi
két qua eùa bién có hiém.
m-r
{Tr
òdóGki
C U
m
^
m-1
U Ck,i C U
oc
y Ck,i
: = | - ^ - ^ ^ G . 4 | . Có 771 càch chpn k> 0 trong két luàn trén,
trong khi PiGk,i) - Pi-kiA) và / - A > r. Do dó, theo hdp cùa càc bién
;
co bi chàn,
oo
PiTr <7n) <
mY,Pn{A
n=r
51
Truóc tién già sù ràng 0 < IA < oc. Lày m = [e'"^^^-^)] và sù dung
(3.3.1),
00
00
oo
^=1
r=l
n=r
oc
vói moi £ > 0 và càc hang só difdng C và C (phu thuóc E). Khi IA = CXD,
giong nhu già sii vói m = [e^/^J ràng
oo
Yl ^i^r < e''') < oo
V£ > 0
2
*X
Thep bó de Bprel-Cantclli, suy ra
lim i n f - l o g Tr > ^A
r—•oc
hc.c.
r
SÙ dung tình dói ngàu cùa bién eó hiém {Pm > ^} = {Tr < 777}. Khi dó
1-
hm sup:;
m—00
^
^
^
L
< — n.c.c
l o g 777
JA
Chù y ràng LA = oc, chùng minh cùa dinh ly dUde hoàn thành. Thiét
làp bàt dàng thùc (khi IA < oc), phàn du ve phài cùa phàn phói cùa Tr
càn thiét bi chàn. Cho
Bl -[-iSir
- S^l_,y) e
Ay
Chù y ràng, {/?z}/^i là càc bién có dòc làp xàc dinh bòi P(P/) = PriA).
Khidó
U BiC{Tr<
1=1
m}
suy ra
PiTr > m) < 1 - P('"u'''5/) = (1 - T(/?i))["/'"'
< g-lm/r]P(5,) ^
52
g-[m/r]Mr(>l)_
Két bop bàt dàng thùc này (cho m = [e'-(^^+^)]) vói (3.3.1), suy ra vói
mpi e > 0,
oo
oo
00
< J]exp(-C2e^3r^
r—1
trpng dó Ci, C2, G3 là càc bang só dUdng (có thè phu thuòc E). Theo bò
de Borel-Cantelh và tình dói ngàu cùa bién có { P ^ < r} = {Tr > m},
ta có
lim infm—00
l o g 777
= lim inf-—— > — h.c.c.
r-00
Tù dó suy ra dièu phài chùng minh.
53
l o g Tr
IA
D
Ket luàn
Nhu vày thòng qua ba chudng cùa luàn vàn, tòi dà trình bay nhùng
két qua ed bàn nhàt ve nguyén ly dò chéch lón trong càc truòng hdp
bién ngàu nhién dòc làp cùng phàn phói, và mò ròng trong truòng hdp
khòng cùng phàn phói. Àp dung trong vàn de kiém dinh già thiét, kiém
dinh ty só hdp ly tong quàt cho bang chù cài hùu han và dò dai hiém
trong càc di dòng ngàu nhién. Luàn vàn con có thè tiép tue dUdc phàt
trien hdn nùa, và nhùng két qua trén day se là ed so cho buóc nghién
cùu tiép theo.
Nhùng vàn de dude trình bay ò day, tòi dà nghién cùu, tòng hdp và
soan thào duói su huóng dàn tàn tình cùa thày GS. TSKH Dàng Hùng
Thàng. Tòi biét xoay quanh vàn de này con nhièu dièu thù vi nhung vi
khà nàng con han che nén khòng di sàu vào càc vàn de. Dù dà có gang
nhung sé khòng trành khòi nhùng sai sót, rat mong nhàn dUdc su chi
bào cùa thày co, dèng nghiép và ban bè. Xin chàn thành càm dn!
54
Tài Héu t h a m khào
1. Amir Dembo and Ofer Zeitouni (August 1997), Large deviations
techniques and applications.
2. M. Alanyah and B. Hack (1998), On large deviations of Markov processes with discontinuous statistics, To appear, Ann. Appi. Probab.
3. P.H. Algoet and B. M.Marcus (1992), Large deviations theorems
far empincal types of Markov chains constramed to thin sets, IEEE
Trans. Inf. Theory.
4. R. Arratia, P. morris and M. S. Watermam (1998), Stochastic scrabhle: Large deviations jor sequences with scores, J. Appi. Prop.
5. S. Asmussen (1982), Conditional limit theorems relating the random walk to its associate, with applications to nsk processes and
the GI/G/1 queue. Advances in Applied Probabihty.
55
