Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



● Khi n  1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma

trận cột.

1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:

1.2.1 Ma trận chéo

Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0

được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n

có dạng:

 a11

 0

A

 



 0



0 ... 0 

a22 ... 0 

   



0 ... ann 



Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi

diag( a1 , a2 ,..., an ) với các phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an



1.2.2 Ma trận đơn vị:

Một ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính

đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n

1.2.3 Ma trận tam giác

Ma trận vuông có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính

bằng 0 được gọi là ma trận tam giác.

Ma trận tam giác trên có dạng:

 a11

 0

A

 



 0



Bùi Thị Hoa



a12

a22



0



a1n 

... a2 n 

( aij  0 khi i  j )

  



... ann 

...



4



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



1

0

Ví dụ: A  

0



0



2

4

0

0



3

3

1

0



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



4

2 

là ma trận tam giác trên

2



5



Ma trận tam giác dưới có dạng:

 a11

a

A   21

 



 an1



0

a22



an 2



...



0 

... 0 

( a  0 khi i  j )

   ij



... ann 



3 0 0

Ví dụ: B   1 2 0  là ma trận tam giác dưới.

0 1 1







Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi

chung là ma trận tam giác.

1.2.4 Ma trận chuyển vị

a) Định nghĩa:

Cho ma trận A  Mat  m  n, K  . Ma trận chuyển vị của ma trận A,

( ký hiệu AT ) là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cột hoán

chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.



Bùi Thị Hoa



5



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



 a11

a

Giả sử ta có ma trận A   21

 



 am1



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



a12 ... a1n 

a22 ... a2 n 

thì khi đó ma trận

   



am 2 ... amn 



 a11

a

T

chuyển vị của ma trận A là A   12

 



 a1n



a21

a22



a2 n



am1 

... am 2 

  



... amn 

...



Nếu ma trận A có cấp là m n thì ma trận AT có cấp là n  m.

Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và

ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột.

Ví dụ:

1 2 3 4

Ma trận A   5 6 7 8  thì ma trận chuyển vị của A là

9 1 2 3





1

2

AT  

3



4



5

6

7

8



9

1 

2



3



b) Định lý: Cho các ma trận A, B  Mat (m  n, K) . Khi đó ta có các

khẳng định sau:

T T



A 



 A.



AT  B T  A  B



Bùi Thị Hoa



6



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



1.2.5 Ma trận nghịch đảo.

Ma trận vuông A  Mat (n  n, K) là một ma trận khả nghịch nếu có

một ma trận vuông B  Mat (n  n, K) thỏa mãn : AB  BA  I n . Khi đó,

B được gọi là ma trận nghịch đảo của A , kí hiệu là : B  A1



1.2.6 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:

Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT  A thì ta nói A là ma trận đối

xứng.

 1 2 3

Ví dụ: Ma trận A   2 1 0  là một ma trận đối xứng cấp 3.

3 0 1







Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT   A thì A là ma trận phản đối

xứng.

Ví dụ:

 0

 2

Ma trận B  

 3



 4



2 3 4 

0 5 1 

là ma trận phản đối xứng.

5 0 3



1 3 0 



Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì aij  a ji , i, j  1, n

Nếu A là ma trận phản xứng thì aij  a ji , i, j  1, n , từ đây suy ra

aii  0 (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0).



1.3 Phép nhân hai ma trận:

Cho hai ma trận A  ( aij ) m  r và B  ( bij ) r  n , khi đó tích của hai ma trận

A và B, ký hiệu là AB là một ma trận C  ( cij ) m  n với các phần tử cij



Bùi Thị Hoa



7



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



( là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với

cột j của ma trận B ) cho bởi:

r



cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  air brj   aik bkj

k 1



Chú ý:

Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của

ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp



m  r và B là ma trận cấp r  n thì AB là ma trận cấp m  n . Do đó, với

A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn

suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận

không giao hoán.

Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma

trận 0.

1.4 Hạng của ma trận

 Hạng của một hệ vec tơ:



Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V . Ta

gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ

vectơ đã cho.

Kí hiệu hạng của hệ vec tơ 1 ,  2 , ,  n  là rank 1 ,  2 , ,  n 

 Hạng của ma trận



Cho A  M at  m  n , K  . Coi mỗi cột ( hay dòng) của A là một vectơ

ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian vectơ

Kn (tương ứng K m ). Ta gọi hạng của hệ n (tương ứng m ) vectơ này là



hạng của ma trận A và kí hiệu là rank A.



Bùi Thị Hoa



8



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột

( hạng hệ vectơ dòng ) của nó.

1.5 Phép thế và dấu của phép thế

1.5.1 Phép thế

 Ta gọi mỗi song ánh từ tập 1, 2,  n lên chính nó là một phép thế



bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập

thành một nhóm kí hiệu là Sn và Sn có n! phần tử.

Với mỗi   S n ta thường viết như sau:

 1



2







n 



 



  1   2     n  

Như vậy  1 ,  2 ,,  n   là cách sắp xếp thứ tự của 1, 2, n .

Tổng quát : song ánh của một tập hợp A gồm n phần tử vào chính nó

cũng gọi là một phép thế của tập A vì nếu ta liệt kê các phần tử của A

dưới dạng A= a1 , a 2 , , a n  thì phép thế  của A sẽ có dạng:



 a1







a2



an 



 



 a j1 a j 2  a jn 

Trong đó  j1 ,



j2 ,



j3 , 



j n   1, 2, 3,  , n . Như vậy có thể



đồng nhất phép thế này với phép thế:

1



 

 j1



Bùi Thị Hoa



2 

j2 



9



n

jn 



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



 Phép thế   S n mà   i   j ,  j   i ;   k   k , k  i, j được



gọi là một phép chuyển trí, được kí hiệu là  i , j  .

Nghĩa là phép thế  đổi chỗ hai phần tử i, j  1, 2, n cho nhau và

giữ nguyên các phần tử còn lại.

1.5.2 Nghịch thế, dấu của phép thế.

 Với n  1 ta gọi cặp số {i,j}  {1,2,…,n} là một nghịch thế của



phép thế  nếu   i     j  trái dấu với i-j nghĩa là:



 i     j 

i j



0 .



 Phép thế với số nghịch thế chẵn (tương ứng lẻ) được gọi là phép thế



chẵn ( tương ứng lẻ).

 Dấu của phép thế là một số được kí hiệu là sgn   cho bởi:



1

sgn    

1



Bùi Thị Hoa



nếu  là phép thế chẵn

nếu  là phép thế lẻ



10



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Chương 2: ĐỊNH THỨC



2.1 Định nghĩa

2.1.1 Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A|

được tính bằng:

det A 



 sgn   a 



a



1 (1) 2 (2)



...an ( n ) , trong đó Sn là tập tất cả các phép



 S n



thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.

Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường

được gọi là một định thức cấp n.

Ví dụ:

Khi n = 2 ta có định thức cấp hai:

a

det  11

 a21



a12  a11



a22  a21



a12

a22







 sgn  a    a   

1 1



2



2



 S2



1 2   1 2  

Ta có số các phép thế bậc hai: S2  

;



1 2   2 1  

1 2 

1 2

trong đó: 1  

là phép thế chẵn,  2  



 là phép thế lẻ.

1 2 

2 1



Suy ra biểu thức tính định thức cấp hai là:



a11

a21



a12

 a11a22  a12 a21 .

a22



2.1.2 Các tính chất

2.1.2.1 Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i

'

''

của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng aij  aij  aij với j = 1, 2, …,n.



Khi đó ta có:



Bùi Thị Hoa



11



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



...

det A  ai1'  ai1''

...

...

 ai1'

...



...

ai2'

...



...

ai2'  ai2''

...



...

...

... ain'  ain''

...

...



... ...

...

'

... ain  ai1''

... ...

...



...

ai2''

...



... ...

... ain''

... ...



Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như

nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A.

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Ví dụ: 4 5 6  6 5 4  2 0 2

7 8 9 7 8 9

7 8 9



2.1.2.2 Tính chất 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một

cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban

đầu nhân với  .

1 2 3

1 2 3

Ví dụ: 4 2 6  2. 2 1 3

9 8 6

9 8 6



Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì

det(  A )   n det( A ).



2.1.2.3 Tính chất 3: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là



det A  det AT .

Ví dụ:



2 0

1 3







2 1

0 3



6



2.1.2.4 Tính chất 4: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( i  j ) (hoặc hai cột khác

nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu.



Bùi Thị Hoa



12



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



1 3 5



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



3 1 7



Ví dụ: 2 7 9   2 7 9

3 1 7

1 3 5

Chú ý: Các tính chất 1, 2, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên

của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau:

2.1.2.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một

trong các điều kiện sau:





Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0.







Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau.







Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại



dòng d i mà d i  a1 d1  a2 d 2  ...  ai 1d i 1  ai 1 d i 1  ...  ak d k  ... với

ai  K .



2.1.2.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu ta cộng vào một

dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác.

2.1.2.7 Tính chất 7: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác

dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên

đường chéo chính. Tức là nếu:

 a11

 0

A

 



 0



a12

a22



0



a1n 

 a11



a

... a2 n 

21

hoặc A  

 

  





... ann 

 an1

...



0

a22



an 2



...



0 

... 0 

  



... ann 



Khi đó ta có: det A  a11 .a22 ...ann . Đặc biệt định thức của ma trận đơn vị

bằng 1.

2.1.2.8 Tính chất 8: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì:

det  A. B   detA . det B .



Bùi Thị Hoa



13



K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp



GVHD: Đinh Thị Kim Thúy



Nhận xét:

Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.

Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc

tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài

cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng

định lý Laplace sau đây.

2.2 Định lý Laplace:

2.2.1 Định thức con và phần bù đại số:

Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa

mãn 1  k  n . Nếu chọn k dòng và k cột của A thì định thức M của ma

trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này

được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.

Định thức M' của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k

dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M

Nếu k dòng đã chọn là i1 , , ik và k cột đã chọn là j1 , , jk thì ta gọi

k



 iq  jq 

.M '

 1

q 1



là phần bù đại số của định thức con M.

Khi k =1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một

M  det  aij   aij cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử aij . Nó



bằng  1



i j



M ij với M ij là định thức của ma trận vuông cấp  n  1 có



được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A. Ta kí hiệu phần bù đại

số của phần tử a ij là Aij . Khi đó ta có: Aij =  1



Bùi Thị Hoa



14



i j



M ij



K35A – SP Toán